Номер 360, страница 104 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

360. Решите уравнение:

a) $2x^7 + x^6 + 2x^4 + x^3 + 2x + 1 = 0;$

б) $x^7 - 2x^6 + 2x^4 - 4x^3 + x - 2 = 0.$

а) $2x^7 + x^6 + 2x^4 + x^3 + 2x + 1 = 0$

Для решения данного уравнения сгруппируем слагаемые:

$(2x^7 + 2x^4 + 2x) + (x^6 + x^3 + 1) = 0$

Вынесем общие множители за скобки в каждой группе:

$2x(x^6 + x^3 + 1) + 1(x^6 + x^3 + 1) = 0$

Теперь вынесем за скобки общий множитель $(x^6 + x^3 + 1)$:

$(2x + 1)(x^6 + x^3 + 1) = 0$

Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю. Рассмотрим два случая:

1) $2x + 1 = 0$

$2x = -1$

$x_1 = -\frac{1}{2}$

2) $x^6 + x^3 + 1 = 0$

Это уравнение является квадратным относительно $x^3$. Сделаем замену переменной: пусть $y = x^3$. Тогда уравнение примет вид:

$y^2 + y + 1 = 0$

Найдем дискриминант этого квадратного уравнения:

$D = b^2 - 4ac = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot 1 = 1 - 4 = -3$

Так как дискриминант $D < 0$, квадратное уравнение $y^2 + y + 1 = 0$ не имеет действительных корней для $y$. Следовательно, и уравнение $x^6 + x^3 + 1 = 0$ не имеет действительных корней для $x$.

Таким образом, исходное уравнение имеет единственный действительный корень.

Ответ: $x = -1/2$.

б) $x^7 - 2x^6 + 2x^4 - 4x^3 + x - 2 = 0$

Сгруппируем слагаемые для разложения на множители:

$(x^7 + 2x^4 + x) - (2x^6 + 4x^3 + 2) = 0$

Вынесем общие множители из каждой группы:

$x(x^6 + 2x^3 + 1) - 2(x^6 + 2x^3 + 1) = 0$

Вынесем за скобки общий множитель $(x^6 + 2x^3 + 1)$:

$(x - 2)(x^6 + 2x^3 + 1) = 0$

Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю. Рассмотрим два случая:

1) $x - 2 = 0$

$x_1 = 2$

2) $x^6 + 2x^3 + 1 = 0$

Это уравнение также является квадратным относительно $x^3$. Сделаем замену переменной: пусть $y = x^3$. Уравнение примет вид:

$y^2 + 2y + 1 = 0$

Это выражение является полным квадратом:

$(y + 1)^2 = 0$

Отсюда следует, что $y + 1 = 0$, то есть $y = -1$.

Вернемся к исходной переменной $x$, зная, что $y = x^3$:

$x^3 = -1$

Извлекая кубический корень, находим второй действительный корень:

$x_2 = \sqrt[3]{-1} = -1$

Таким образом, исходное уравнение имеет два действительных корня.

Ответ: $x_1 = 2, x_2 = -1$.