Номер 362, страница 104 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

362. Является ли число:

a) $\sqrt{3 + \sqrt{5}}$ корнем биквадратного уравнения $x^4 - 6x^2 + 3 = 0$;

б) $\sqrt{5 - \sqrt{2}}$ корнем биквадратного уравнения $x^4 - 10x^2 + 23 = 0$?

а) Чтобы проверить, является ли число $x = \sqrt{3 + \sqrt{5}}$ корнем биквадратного уравнения $x^4 - 6x^2 + 3 = 0$, можно подставить это число в уравнение.

Способ 1: Прямая подстановка

Найдем значения $x^2$ и $x^4$ для данного числа.

$x^2 = (\sqrt{3 + \sqrt{5}})^2 = 3 + \sqrt{5}$

$x^4 = (x^2)^2 = (3 + \sqrt{5})^2 = 3^2 + 2 \cdot 3 \cdot \sqrt{5} + (\sqrt{5})^2 = 9 + 6\sqrt{5} + 5 = 14 + 6\sqrt{5}$

Теперь подставим полученные значения в левую часть уравнения $x^4 - 6x^2 + 3 = 0$:

$(14 + 6\sqrt{5}) - 6(3 + \sqrt{5}) + 3$

Раскроем скобки и упростим выражение:

$14 + 6\sqrt{5} - 18 - 6\sqrt{5} + 3 = (14 - 18 + 3) + (6\sqrt{5} - 6\sqrt{5}) = -1 + 0 = -1$

Поскольку $-1 \neq 0$, равенство не выполняется. Следовательно, число $\sqrt{3 + \sqrt{5}}$ не является корнем данного уравнения.

Способ 2: Решение уравнения

Решим биквадратное уравнение $x^4 - 6x^2 + 3 = 0$. Для этого сделаем замену переменной: пусть $y = x^2$ (при этом $y \ge 0$).

Получим квадратное уравнение относительно $y$:

$y^2 - 6y + 3 = 0$

Найдем его корни с помощью формулы для корней квадратного уравнения:

$y = \frac{-(-6) \pm \sqrt{(-6)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 3}}{2 \cdot 1} = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 12}}{2} = \frac{6 \pm \sqrt{24}}{2} = \frac{6 \pm 2\sqrt{6}}{2} = 3 \pm \sqrt{6}$

Мы получили два положительных значения для $y$: $y_1 = 3 + \sqrt{6}$ и $y_2 = 3 - \sqrt{6}$.

Теперь вернемся к замене $x^2 = y$:

$x^2 = 3 + \sqrt{6}$ или $x^2 = 3 - \sqrt{6}$.

Отсюда корни исходного биквадратного уравнения равны $x = \pm\sqrt{3 + \sqrt{6}}$ и $x = \pm\sqrt{3 - \sqrt{6}}$.

Данное для проверки число $\sqrt{3 + \sqrt{5}}$ не совпадает ни с одним из найденных корней.

Ответ: нет.

б) Проверим, является ли число $x = \sqrt{5 - \sqrt{2}}$ корнем биквадратного уравнения $x^4 - 10x^2 + 23 = 0$.

Способ 1: Прямая подстановка

Найдем значения $x^2$ и $x^4$ для данного числа.

$x^2 = (\sqrt{5 - \sqrt{2}})^2 = 5 - \sqrt{2}$

$x^4 = (x^2)^2 = (5 - \sqrt{2})^2 = 5^2 - 2 \cdot 5 \cdot \sqrt{2} + (\sqrt{2})^2 = 25 - 10\sqrt{2} + 2 = 27 - 10\sqrt{2}$

Подставим полученные значения в левую часть уравнения $x^4 - 10x^2 + 23 = 0$:

$(27 - 10\sqrt{2}) - 10(5 - \sqrt{2}) + 23$

Раскроем скобки и упростим выражение:

$27 - 10\sqrt{2} - 50 + 10\sqrt{2} + 23 = (27 - 50 + 23) + (-10\sqrt{2} + 10\sqrt{2}) = 0 + 0 = 0$

Поскольку $0 = 0$, равенство выполняется. Следовательно, число $\sqrt{5 - \sqrt{2}}$ является корнем данного уравнения.

Способ 2: Решение уравнения

Решим биквадратное уравнение $x^4 - 10x^2 + 23 = 0$, сделав замену $y = x^2$ ($y \ge 0$).

Получим квадратное уравнение:

$y^2 - 10y + 23 = 0$

Найдем его корни:

$y = \frac{-(-10) \pm \sqrt{(-10)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 23}}{2 \cdot 1} = \frac{10 \pm \sqrt{100 - 92}}{2} = \frac{10 \pm \sqrt{8}}{2} = \frac{10 \pm 2\sqrt{2}}{2} = 5 \pm \sqrt{2}$

Оба значения для $y$ положительны: $y_1 = 5 + \sqrt{2}$ и $y_2 = 5 - \sqrt{2}$.

Вернемся к замене $x^2 = y$:

$x^2 = 5 + \sqrt{2}$ или $x^2 = 5 - \sqrt{2}$.

Корни исходного биквадратного уравнения: $x = \pm\sqrt{5 + \sqrt{2}}$ и $x = \pm\sqrt{5 - \sqrt{2}}$.

Данное для проверки число $\sqrt{5 - \sqrt{2}}$ является одним из найденных корней.

Ответ: да.