Номер 363, страница 104 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

363. Разложите на множители трёхчлен:

а) $x^4 - 20x^2 + 64;$

б) $x^4 - 17x^2 + 16;$

в) $x^4 - 5x^2 - 36;$

г) $x^4 - 3x^2 - 4;$

д) $9x^4 - 10x^2 + 1;$

е) $4x^4 - 17x^2 + 4.$

а) $x^4 - 20x^2 + 64$

Данный трёхчлен является биквадратным. Для его разложения на множители введём замену переменной. Пусть $y = x^2$, тогда $x^4 = (x^2)^2 = y^2$.

Подставив новую переменную в исходное выражение, получим квадратный трёхчлен относительно $y$: $y^2 - 20y + 64$.

Чтобы разложить его на множители, найдём корни уравнения $y^2 - 20y + 64 = 0$. Воспользуемся теоремой Виета:

$y_1 + y_2 = 20$

$y_1 \cdot y_2 = 64$

Подбором находим корни: $y_1 = 4$ и $y_2 = 16$.

Тогда разложение квадратного трёхчлена имеет вид: $(y - 4)(y - 16)$.

Теперь выполним обратную замену $y = x^2$:

$(x^2 - 4)(x^2 - 16)$.

Каждый из множителей в скобках представляет собой разность квадратов, которую можно разложить по формуле $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$:

$x^2 - 4 = x^2 - 2^2 = (x - 2)(x + 2)$

$x^2 - 16 = x^2 - 4^2 = (x - 4)(x + 4)$

Таким образом, окончательное разложение на множители:

Ответ: $(x - 2)(x + 2)(x - 4)(x + 4)$.

б) $x^4 - 17x^2 + 16$

Сделаем замену $y = x^2$. Получим квадратный трёхчлен $y^2 - 17y + 16$.

Найдём корни уравнения $y^2 - 17y + 16 = 0$. По теореме Виета, сумма корней равна 17, а произведение равно 16. Корни: $y_1 = 1$ и $y_2 = 16$.

Разложение для $y$: $(y - 1)(y - 16)$.

Выполним обратную замену $y = x^2$:

$(x^2 - 1)(x^2 - 16)$.

Применим формулу разности квадратов к обоим множителям:

$x^2 - 1 = x^2 - 1^2 = (x - 1)(x + 1)$

$x^2 - 16 = x^2 - 4^2 = (x - 4)(x + 4)$

Окончательное разложение:

Ответ: $(x - 1)(x + 1)(x - 4)(x + 4)$.

в) $x^4 - 5x^2 - 36$

Пусть $y = x^2$. Получаем $y^2 - 5y - 36$.

Решим квадратное уравнение $y^2 - 5y - 36 = 0$. Найдём дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = (-5)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-36) = 25 + 144 = 169 = 13^2$.

Корни уравнения:

$y_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{5 + 13}{2} = 9$

$y_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{5 - 13}{2} = -4$

Разложение для $y$: $(y - 9)(y - (-4)) = (y - 9)(y + 4)$.

Выполним обратную замену $y = x^2$:

$(x^2 - 9)(x^2 + 4)$.

Первый множитель — это разность квадратов: $x^2 - 9 = (x - 3)(x + 3)$.

Второй множитель $x^2 + 4$ является суммой квадратов и не разлагается на множители с действительными коэффициентами.

Окончательное разложение:

Ответ: $(x - 3)(x + 3)(x^2 + 4)$.

г) $x^4 - 3x^2 - 4$

Пусть $y = x^2$. Получаем $y^2 - 3y - 4$.

Решим уравнение $y^2 - 3y - 4 = 0$. По теореме Виета, сумма корней равна 3, а произведение равно -4. Корни: $y_1 = 4$ и $y_2 = -1$.

Разложение для $y$: $(y - 4)(y - (-1)) = (y - 4)(y + 1)$.

Выполним обратную замену $y = x^2$:

$(x^2 - 4)(x^2 + 1)$.

Первый множитель — разность квадратов: $x^2 - 4 = (x - 2)(x + 2)$.

Второй множитель $x^2 + 1$ не разлагается на множители с действительными коэффициентами.

Окончательное разложение:

Ответ: $(x - 2)(x + 2)(x^2 + 1)$.

д) $9x^4 - 10x^2 + 1$

Пусть $y = x^2$. Получаем $9y^2 - 10y + 1$.

Решим квадратное уравнение $9y^2 - 10y + 1 = 0$. Найдём дискриминант:

$D = (-10)^2 - 4 \cdot 9 \cdot 1 = 100 - 36 = 64 = 8^2$.

Корни уравнения:

$y_1 = \frac{10 + 8}{2 \cdot 9} = \frac{18}{18} = 1$

$y_2 = \frac{10 - 8}{2 \cdot 9} = \frac{2}{18} = \frac{1}{9}$

Разложение для $y$: $9(y - 1)(y - \frac{1}{9}) = (y - 1)(9y - 1)$.

Выполним обратную замену $y = x^2$:

$(x^2 - 1)(9x^2 - 1)$.

Оба множителя — разности квадратов:

$x^2 - 1 = (x - 1)(x + 1)$

$9x^2 - 1 = (3x)^2 - 1^2 = (3x - 1)(3x + 1)$

Окончательное разложение:

Ответ: $(x - 1)(x + 1)(3x - 1)(3x + 1)$.

е) $4x^4 - 17x^2 + 4$

Пусть $y = x^2$. Получаем $4y^2 - 17y + 4$.

Решим квадратное уравнение $4y^2 - 17y + 4 = 0$. Найдём дискриминант:

$D = (-17)^2 - 4 \cdot 4 \cdot 4 = 289 - 64 = 225 = 15^2$.

Корни уравнения:

$y_1 = \frac{17 + 15}{2 \cdot 4} = \frac{32}{8} = 4$

$y_2 = \frac{17 - 15}{2 \cdot 4} = \frac{2}{8} = \frac{1}{4}$

Разложение для $y$: $4(y - 4)(y - \frac{1}{4}) = (y - 4)(4y - 1)$.

Выполним обратную замену $y = x^2$:

$(x^2 - 4)(4x^2 - 1)$.

Оба множителя — разности квадратов:

$x^2 - 4 = (x - 2)(x + 2)$

$4x^2 - 1 = (2x)^2 - 1^2 = (2x - 1)(2x + 1)$

Окончательное разложение:

Ответ: $(x - 2)(x + 2)(2x - 1)(2x + 1)$.