Номер 369, страница 105 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

369. Найдите корни уравнения:

a) $x^2 = \frac{7x - 4}{4x - 7};$

б) $x^2 = \frac{5x - 3}{3x - 5}.$

а) $x^2 = \frac{7x - 4}{4x - 7}$

Данное уравнение является дробно-рациональным. Сначала определим область допустимых значений (ОДЗ). Знаменатель дроби не может быть равен нулю:
$4x - 7 \neq 0$
$4x \neq 7$
$x \neq \frac{7}{4}$

Теперь решим уравнение. Умножим обе части уравнения на знаменатель $(4x - 7)$, чтобы избавиться от дроби:
$x^2 (4x - 7) = 7x - 4$

Раскроем скобки и перенесем все члены в левую часть, чтобы получить кубическое уравнение:
$4x^3 - 7x^2 = 7x - 4$
$4x^3 - 7x^2 - 7x + 4 = 0$

Попробуем найти целые или рациональные корни этого уравнения. Возможные рациональные корни имеют вид $\frac{p}{q}$, где $p$ — делитель свободного члена (4), а $q$ — делитель старшего коэффициента (4). Проверим один из возможных корней, например, $x = -1$:
$4(-1)^3 - 7(-1)^2 - 7(-1) + 4 = 4(-1) - 7(1) + 7 + 4 = -4 - 7 + 7 + 4 = 0$
Так как получилось верное равенство, $x_1 = -1$ является корнем уравнения.

Теперь мы можем разделить многочлен $4x^3 - 7x^2 - 7x + 4$ на двучлен $(x + 1)$, чтобы найти остальные корни. В результате деления получаем квадратный трехчлен $4x^2 - 11x + 4$. Таким образом, уравнение можно переписать в виде:
$(x + 1)(4x^2 - 11x + 4) = 0$

Это произведение равно нулю, если один из множителей равен нулю. Мы уже нашли корень $x_1 = -1$ из первого множителя. Теперь приравняем к нулю второй множитель:
$4x^2 - 11x + 4 = 0$

Решим это квадратное уравнение с помощью дискриминанта:
$D = b^2 - 4ac = (-11)^2 - 4 \cdot 4 \cdot 4 = 121 - 64 = 57$
Так как $D > 0$, уравнение имеет два действительных корня:
$x_{2,3} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{11 \pm \sqrt{57}}{2 \cdot 4} = \frac{11 \pm \sqrt{57}}{8}$
Таким образом, мы получили еще два корня: $x_2 = \frac{11 + \sqrt{57}}{8}$ и $x_3 = \frac{11 - \sqrt{57}}{8}$.

Все найденные корни ($-1$, $\frac{11 + \sqrt{57}}{8}$, $\frac{11 - \sqrt{57}}{8}$) не равны $\frac{7}{4}$, следовательно, они входят в ОДЗ.

Ответ: $x_1 = -1$, $x_2 = \frac{11 + \sqrt{57}}{8}$, $x_3 = \frac{11 - \sqrt{57}}{8}$.

б) $x^2 = \frac{5x - 3}{3x - 5}$

Найдем область допустимых значений (ОДЗ). Знаменатель дроби не должен быть равен нулю:
$3x - 5 \neq 0$
$3x \neq 5$
$x \neq \frac{5}{3}$

Умножим обе части уравнения на знаменатель $(3x - 5)$:
$x^2 (3x - 5) = 5x - 3$

Преобразуем уравнение, перенеся все члены в левую часть:
$3x^3 - 5x^2 = 5x - 3$
$3x^3 - 5x^2 - 5x + 3 = 0$

Найдем один из корней подбором. Проверим $x = -1$:
$3(-1)^3 - 5(-1)^2 - 5(-1) + 3 = 3(-1) - 5(1) + 5 + 3 = -3 - 5 + 5 + 3 = 0$
Значит, $x_1 = -1$ является корнем уравнения.

Разделим многочлен $3x^3 - 5x^2 - 5x + 3$ на $(x + 1)$. В результате деления получим $3x^2 - 8x + 3$. Уравнение примет вид:
$(x + 1)(3x^2 - 8x + 3) = 0$

Один корень нам известен, $x_1 = -1$. Найдем остальные, решив квадратное уравнение:
$3x^2 - 8x + 3 = 0$

Вычислим дискриминант:
$D = b^2 - 4ac = (-8)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 3 = 64 - 36 = 28$
Так как $D > 0$, находим два корня:
$x_{2,3} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{8 \pm \sqrt{28}}{2 \cdot 3} = \frac{8 \pm 2\sqrt{7}}{6} = \frac{2(4 \pm \sqrt{7})}{6} = \frac{4 \pm \sqrt{7}}{3}$
Получаем еще два корня: $x_2 = \frac{4 + \sqrt{7}}{3}$ и $x_3 = \frac{4 - \sqrt{7}}{3}$.

Все три корня ($-1$, $\frac{4 + \sqrt{7}}{3}$, $\frac{4 - \sqrt{7}}{3}$) удовлетворяют условию ОДЗ ($x \neq \frac{5}{3}$).

Ответ: $x_1 = -1$, $x_2 = \frac{4 + \sqrt{7}}{3}$, $x_3 = \frac{4 - \sqrt{7}}{3}$.