Номер 376, страница 105 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

376. Решите неравенство:

а) $x^2 - 5x - 50 < 0;$

б) $-m^2 - 8m + 9 \ge 0;$

в) $3y^2 + 4y - 4 > 0;$

г) $8p^2 + 2p \ge 21;$

д) $12x - 9 \le 4x^2;$

е) $-9x^2 < 1 - 6x.$

а) $x^2 - 5x - 50 < 0$

Для решения квадратного неравенства сначала найдем корни соответствующего квадратного уравнения $x^2 - 5x - 50 = 0$. Это можно сделать с помощью дискриминанта.

Формула дискриминанта: $D = b^2 - 4ac$.

$D = (-5)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-50) = 25 + 200 = 225$.

Так как $D > 0$, уравнение имеет два различных корня. $\sqrt{D} = \sqrt{225} = 15$.

Формула для нахождения корней: $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$.

$x_1 = \frac{5 - 15}{2 \cdot 1} = \frac{-10}{2} = -5$.

$x_2 = \frac{5 + 15}{2 \cdot 1} = \frac{20}{2} = 10$.

Корни -5 и 10 разбивают числовую прямую на три интервала: $(-\infty; -5)$, $(-5; 10)$ и $(10; +\infty)$.

Так как коэффициент при $x^2$ равен 1 (положительное число), ветви параболы $y = x^2 - 5x - 50$ направлены вверх. Это означает, что значения квадратного трехчлена отрицательны между корнями.

Поскольку неравенство строгое ($<0$), сами корни в решение не входят.

Ответ: $(-5; 10)$

б) $-m^2 - 8m + 9 \geq 0$

Для удобства умножим обе части неравенства на -1, изменив при этом знак неравенства на противоположный:

$m^2 + 8m - 9 \leq 0$.

Найдем корни уравнения $m^2 + 8m - 9 = 0$.

$D = 8^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-9) = 64 + 36 = 100$. $\sqrt{D} = 10$.

$m_1 = \frac{-8 - 10}{2} = -9$.

$m_2 = \frac{-8 + 10}{2} = 1$.

Ветви параболы $y = m^2 + 8m - 9$ направлены вверх. Следовательно, значения трехчлена меньше или равны нулю на отрезке между корнями.

Поскольку неравенство нестрогое ($\leq 0$), корни включаются в решение.

Ответ: $[-9; 1]$

в) $3y^2 + 4y - 4 > 0$

Найдем корни уравнения $3y^2 + 4y - 4 = 0$.

$D = 4^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-4) = 16 + 48 = 64$. $\sqrt{D} = 8$.

$y_1 = \frac{-4 - 8}{2 \cdot 3} = \frac{-12}{6} = -2$.

$y_2 = \frac{-4 + 8}{2 \cdot 3} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}$.

Ветви параболы $y = 3y^2 + 4y - 4$ направлены вверх ($a=3>0$). Значит, значения трехчлена положительны вне интервала между корнями.

Так как неравенство строгое ($>0$), корни в решение не входят.

Ответ: $(-\infty; -2) \cup (\frac{2}{3}; +\infty)$

г) $8p^2 + 2p \geq 21$

Перенесем все члены в левую часть: $8p^2 + 2p - 21 \geq 0$.

Найдем корни уравнения $8p^2 + 2p - 21 = 0$.

$D = 2^2 - 4 \cdot 8 \cdot (-21) = 4 + 672 = 676$. $\sqrt{D} = 26$.

$p_1 = \frac{-2 - 26}{2 \cdot 8} = \frac{-28}{16} = -\frac{7}{4}$.

$p_2 = \frac{-2 + 26}{2 \cdot 8} = \frac{24}{16} = \frac{3}{2}$.

Ветви параболы $y = 8p^2 + 2p - 21$ направлены вверх ($a=8>0$). Значения трехчлена больше или равны нулю на лучах вне отрезка между корнями, включая сами корни.

Ответ: $(-\infty; -\frac{7}{4}] \cup [\frac{3}{2}; +\infty)$

д) $12x - 9 \leq 4x^2$

Перенесем все члены в одну сторону, чтобы получить стандартный вид: $4x^2 - 12x + 9 \geq 0$.

Заметим, что левая часть неравенства является полным квадратом:

$4x^2 - 12x + 9 = (2x)^2 - 2 \cdot (2x) \cdot 3 + 3^2 = (2x - 3)^2$.

Неравенство принимает вид $(2x - 3)^2 \geq 0$.

Квадрат любого действительного числа всегда неотрицателен, то есть больше или равен нулю. Следовательно, это неравенство выполняется для всех действительных значений $x$.

Ответ: $(-\infty; +\infty)$

е) $-9x^2 < 1 - 6x$

Перенесем все члены в одну сторону: $9x^2 - 6x + 1 > 0$.

Левая часть неравенства также является полным квадратом:

$9x^2 - 6x + 1 = (3x)^2 - 2 \cdot (3x) \cdot 1 + 1^2 = (3x - 1)^2$.

Неравенство принимает вид $(3x - 1)^2 > 0$.

Квадрат любого действительного числа больше или равен нулю. Он равен нулю только тогда, когда выражение в скобках равно нулю. В нашем случае это происходит при $3x - 1 = 0$, то есть $x = \frac{1}{3}$.

Во всех остальных случаях $(3x - 1)^2$ будет строго больше нуля. Таким образом, решение неравенства — это все действительные числа, кроме $x = \frac{1}{3}$.

Ответ: $(-\infty; \frac{1}{3}) \cup (\frac{1}{3}; +\infty)$