Номер 372, страница 105 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

372. Решите уравнение:

а) $(\frac{x+1}{x-2})^2 - 16(\frac{x-2}{x+1})^2 = 15;$

б) $(\frac{x+3}{x-5})^2 - 9(\frac{x-5}{x+3})^2 = 8.$

а) Исходное уравнение: $ \left(\frac{x+1}{x-2}\right)^2 - 16\left(\frac{x-2}{x+1}\right)^2 = 15 $.

Область допустимых значений (ОДЗ) определяется условиями, что знаменатели не равны нулю: $x-2 \neq 0$ и $x+1 \neq 0$. Отсюда следует, что $x \neq 2$ и $x \neq -1$.

Данное уравнение является биквадратным относительно дроби. Чтобы его решить, введем замену. Пусть $y = \left(\frac{x+1}{x-2}\right)^2$. Тогда обратная дробь в квадрате будет равна $\left(\frac{x-2}{x+1}\right)^2 = \frac{1}{y}$.

Подставим новую переменную в уравнение:

$ y - \frac{16}{y} = 15 $

Так как $y$ является квадратом выражения, $y \ge 0$. Также $y \neq 0$, иначе второе слагаемое не определено. Домножим обе части уравнения на $y$ (при $y \neq 0$), чтобы избавиться от знаменателя:

$ y^2 - 16 = 15y $

Перенесем все члены в одну сторону, чтобы получить стандартное квадратное уравнение:

$ y^2 - 15y - 16 = 0 $

Решим это уравнение с помощью дискриминанта или по теореме Виета. По теореме Виета, сумма корней равна 15, а произведение -16. Легко подобрать корни: $y_1 = 16$ и $y_2 = -1$.

Корень $y_2 = -1$ не удовлетворяет условию $y \ge 0$, поэтому он является посторонним. Остается один корень $y_1 = 16$.

Выполним обратную замену:

$ \left(\frac{x+1}{x-2}\right)^2 = 16 $

Извлечем квадратный корень из обеих частей уравнения. Это приведет к двум возможным случаям:

$ \frac{x+1}{x-2} = 4 \quad \text{или} \quad \frac{x+1}{x-2} = -4 $

Решим каждое из этих линейных уравнений:
1) $ \frac{x+1}{x-2} = 4 $
$ x+1 = 4(x-2) $
$ x+1 = 4x - 8 $
$ 9 = 3x $
$ x_1 = 3 $
Этот корень удовлетворяет ОДЗ ($3 \neq 2$ и $3 \neq -1$).

2) $ \frac{x+1}{x-2} = -4 $
$ x+1 = -4(x-2) $
$ x+1 = -4x + 8 $
$ 5x = 7 $
$ x_2 = \frac{7}{5} $
Этот корень также удовлетворяет ОДЗ ($\frac{7}{5} \neq 2$ и $\frac{7}{5} \neq -1$).

Таким образом, уравнение имеет два корня.
Ответ: $3; \frac{7}{5}$.

б) Исходное уравнение: $ \left(\frac{x+3}{x-5}\right)^2 - 9\left(\frac{x-5}{x+3}\right)^2 = 8 $.

ОДЗ: $x-5 \neq 0$ и $x+3 \neq 0$, следовательно, $x \neq 5$ и $x \neq -3$.

Аналогично предыдущему пункту, введем замену. Пусть $y = \left(\frac{x+3}{x-5}\right)^2$. Тогда $\left(\frac{x-5}{x+3}\right)^2 = \frac{1}{y}$.

Подставляем в уравнение:

$ y - \frac{9}{y} = 8 $

Умножим на $y$ (при $y \neq 0$):

$ y^2 - 9 = 8y $

Приведем к стандартному виду:

$ y^2 - 8y - 9 = 0 $

Решим полученное квадратное уравнение. По теореме Виета, сумма корней равна 8, а произведение -9. Корни: $y_1 = 9$ и $y_2 = -1$.

Корень $y_2 = -1$ является посторонним, так как $y = \left(\frac{x+3}{x-5}\right)^2 \ge 0$.

Рассмотрим $y_1 = 9$ и сделаем обратную замену:

$ \left(\frac{x+3}{x-5}\right)^2 = 9 $

Извлекаем квадратный корень:

$ \frac{x+3}{x-5} = 3 \quad \text{или} \quad \frac{x+3}{x-5} = -3 $

Решим каждое уравнение:
1) $ \frac{x+3}{x-5} = 3 $
$ x+3 = 3(x-5) $
$ x+3 = 3x - 15 $
$ 18 = 2x $
$ x_1 = 9 $
Корень удовлетворяет ОДЗ ($9 \neq 5$ и $9 \neq -3$).

2) $ \frac{x+3}{x-5} = -3 $
$ x+3 = -3(x-5) $
$ x+3 = -3x + 15 $
$ 4x = 12 $
$ x_2 = 3 $
Корень удовлетворяет ОДЗ ($3 \neq 5$ и $3 \neq -3$).

Уравнение имеет два корня.
Ответ: $9; 3$.