Номер 373, страница 105 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

373. Решите уравнение, используя введение новой переменной:

a) $2\left(x^{2}+\frac{1}{x^{2}}\right)-\left(x+\frac{1}{x}\right)=2;$

б) $9x^{2}-18x+\frac{9}{x^{2}}-\frac{18}{x}=22.$

а) Решим уравнение $2\left(x^2 + \frac{1}{x^2}\right) - \left(x + \frac{1}{x}\right) = 2$.

Область допустимых значений (ОДЗ) для этого уравнения: $x \ne 0$.

Введем новую переменную. Пусть $t = x + \frac{1}{x}$.

Чтобы выразить $x^2 + \frac{1}{x^2}$ через $t$, возведем обе части замены в квадрат:

$t^2 = \left(x + \frac{1}{x}\right)^2 = x^2 + 2 \cdot x \cdot \frac{1}{x} + \frac{1}{x^2} = x^2 + 2 + \frac{1}{x^2}$

Отсюда получаем: $x^2 + \frac{1}{x^2} = t^2 - 2$.

Теперь подставим выражения с $t$ в исходное уравнение:

$2(t^2 - 2) - t = 2$

Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые, чтобы получить квадратное уравнение относительно $t$:

$2t^2 - 4 - t = 2$

$2t^2 - t - 6 = 0$

Решим это уравнение с помощью дискриминанта:

$D = b^2 - 4ac = (-1)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-6) = 1 + 48 = 49 = 7^2$

Корни для $t$:

$t_1 = \frac{-(-1) + 7}{2 \cdot 2} = \frac{8}{4} = 2$

$t_2 = \frac{-(-1) - 7}{2 \cdot 2} = \frac{-6}{4} = -\frac{3}{2}$

Выполним обратную замену для каждого значения $t$.

1) При $t = 2$:

$x + \frac{1}{x} = 2$

Умножим на $x$ (с учетом ОДЗ $x \ne 0$):

$x^2 + 1 = 2x$

$x^2 - 2x + 1 = 0$

$(x-1)^2 = 0$

$x = 1$

2) При $t = -\frac{3}{2}$:

$x + \frac{1}{x} = -\frac{3}{2}$

Умножим на $2x$ (с учетом ОДЗ $x \ne 0$):

$2x^2 + 2 = -3x$

$2x^2 + 3x + 2 = 0$

Дискриминант этого уравнения: $D = 3^2 - 4 \cdot 2 \cdot 2 = 9 - 16 = -7$.

Так как $D < 0$, в этом случае действительных корней нет.

Следовательно, у исходного уравнения есть только один корень.

Ответ: $1$.

б) Решим уравнение $9x^2 - 18x + \frac{9}{x^2} - \frac{18}{x} = 22$.

Область допустимых значений (ОДЗ): $x \ne 0$.

Сгруппируем слагаемые в левой части уравнения:

$\left(9x^2 + \frac{9}{x^2}\right) - \left(18x + \frac{18}{x}\right) = 22$

Вынесем общие множители за скобки:

$9\left(x^2 + \frac{1}{x^2}\right) - 18\left(x + \frac{1}{x}\right) = 22$

Как и в предыдущем пункте, введем замену $t = x + \frac{1}{x}$, из которой следует, что $x^2 + \frac{1}{x^2} = t^2 - 2$.

Подставим эти выражения в преобразованное уравнение:

$9(t^2 - 2) - 18t = 22$

Раскроем скобки и решим полученное квадратное уравнение:

$9t^2 - 18 - 18t = 22$

$9t^2 - 18t - 40 = 0$

Найдем дискриминант:

$D = (-18)^2 - 4 \cdot 9 \cdot (-40) = 324 + 1440 = 1764 = 42^2$

Корни для $t$:

$t_1 = \frac{18 + 42}{2 \cdot 9} = \frac{60}{18} = \frac{10}{3}$

$t_2 = \frac{18 - 42}{2 \cdot 9} = \frac{-24}{18} = -\frac{4}{3}$

Выполним обратную замену для каждого значения $t$.

1) При $t = \frac{10}{3}$:

$x + \frac{1}{x} = \frac{10}{3}$

Умножим на $3x$ (с учетом ОДЗ $x \ne 0$):

$3x^2 + 3 = 10x$

$3x^2 - 10x + 3 = 0$

Дискриминант: $D = (-10)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 3 = 100 - 36 = 64 = 8^2$.

Корни для $x$:

$x_1 = \frac{10 + 8}{2 \cdot 3} = \frac{18}{6} = 3$

$x_2 = \frac{10 - 8}{2 \cdot 3} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$

2) При $t = -\frac{4}{3}$:

$x + \frac{1}{x} = -\frac{4}{3}$

Умножим на $3x$ (с учетом ОДЗ $x \ne 0$):

$3x^2 + 3 = -4x$

$3x^2 + 4x + 3 = 0$

Дискриминант: $D = 4^2 - 4 \cdot 3 \cdot 3 = 16 - 36 = -20$.

Так как $D < 0$, в этом случае действительных корней нет.

Следовательно, у исходного уравнения есть два корня.

Ответ: $3; \frac{1}{3}$.