Номер 374, страница 105 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

374. При каких значениях $a$ сумма чисел $a$ и $\frac{1}{a}$ в $3\frac{1}{4}$ раза меньше суммы их кубов?

Пусть даны числа $a$ и $\frac{1}{a}$. По определению дроби, $a \ne 0$.

Сумма этих чисел равна $S = a + \frac{1}{a}$.

Сумма их кубов равна $C = a^3 + \left(\frac{1}{a}\right)^3 = a^3 + \frac{1}{a^3}$.

Согласно условию задачи, сумма чисел в $3\frac{1}{4}$ раза меньше суммы их кубов. Это означает, что сумма кубов равна произведению суммы чисел на $3\frac{1}{4}$. Запишем это в виде уравнения:

$C = 3\frac{1}{4} \cdot S$

$a^3 + \frac{1}{a^3} = 3\frac{1}{4} \cdot \left(a + \frac{1}{a}\right)$

Преобразуем смешанную дробь в неправильную: $3\frac{1}{4} = \frac{3 \cdot 4 + 1}{4} = \frac{13}{4}$.

Уравнение примет вид:

$a^3 + \frac{1}{a^3} = \frac{13}{4}\left(a + \frac{1}{a}\right)$

Используем формулу суммы кубов $x^3 + y^3 = (x+y)(x^2-xy+y^2)$. Применим ее к левой части уравнения, где $x=a$ и $y=\frac{1}{a}$:

$a^3 + \frac{1}{a^3} = \left(a + \frac{1}{a}\right)\left(a^2 - a \cdot \frac{1}{a} + \frac{1}{a^2}\right) = \left(a + \frac{1}{a}\right)\left(a^2 - 1 + \frac{1}{a^2}\right)$

Подставим полученное выражение в наше уравнение:

$\left(a + \frac{1}{a}\right)\left(a^2 - 1 + \frac{1}{a^2}\right) = \frac{13}{4}\left(a + \frac{1}{a}\right)$

Перенесем все слагаемые в одну сторону:

$\left(a + \frac{1}{a}\right)\left(a^2 - 1 + \frac{1}{a^2}\right) - \frac{13}{4}\left(a + \frac{1}{a}\right) = 0$

Вынесем общий множитель $\left(a + \frac{1}{a}\right)$ за скобки:

$\left(a + \frac{1}{a}\right) \left[ \left(a^2 - 1 + \frac{1}{a^2}\right) - \frac{13}{4} \right] = 0$

Произведение равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Это приводит к двум независимым уравнениям.

1) $a + \frac{1}{a} = 0$. Умножим обе части на $a$ (так как $a \ne 0$): $a^2 + 1 = 0$, или $a^2 = -1$. Это уравнение не имеет решений в области действительных чисел.

2) $a^2 - 1 + \frac{1}{a^2} - \frac{13}{4} = 0$. Сгруппируем члены:

$a^2 + \frac{1}{a^2} - \left(1 + \frac{13}{4}\right) = 0$

$a^2 + \frac{1}{a^2} - \left(\frac{4}{4} + \frac{13}{4}\right) = 0$

$a^2 + \frac{1}{a^2} - \frac{17}{4} = 0 \implies a^2 + \frac{1}{a^2} = \frac{17}{4}$

Для решения этого уравнения удобно ввести замену. Пусть $t = a + \frac{1}{a}$. Тогда $t^2 = \left(a + \frac{1}{a}\right)^2 = a^2 + 2 \cdot a \cdot \frac{1}{a} + \frac{1}{a^2} = a^2 + 2 + \frac{1}{a^2}$. Отсюда можно выразить $a^2 + \frac{1}{a^2} = t^2 - 2$.

Подставим это в уравнение:

$t^2 - 2 = \frac{17}{4}$

$t^2 = \frac{17}{4} + 2 = \frac{17}{4} + \frac{8}{4} = \frac{25}{4}$

$t = \pm\sqrt{\frac{25}{4}} = \pm\frac{5}{2}$

Теперь выполним обратную замену для каждого значения $t$.

Если $t = \frac{5}{2}$, то $a + \frac{1}{a} = \frac{5}{2}$. Умножим на $2a$: $2a^2 + 2 = 5a$, что дает квадратное уравнение $2a^2 - 5a + 2 = 0$. Его дискриминант $D = (-5)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 2 = 25 - 16 = 9$. Корни: $a = \frac{5 \pm \sqrt{9}}{4} = \frac{5 \pm 3}{4}$. Получаем $a_1 = \frac{8}{4} = 2$ и $a_2 = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$.

Если $t = -\frac{5}{2}$, то $a + \frac{1}{a} = -\frac{5}{2}$. Умножим на $2a$: $2a^2 + 2 = -5a$, что дает квадратное уравнение $2a^2 + 5a + 2 = 0$. Его дискриминант $D = 5^2 - 4 \cdot 2 \cdot 2 = 25 - 16 = 9$. Корни: $a = \frac{-5 \pm \sqrt{9}}{4} = \frac{-5 \pm 3}{4}$. Получаем $a_3 = \frac{-2}{4} = -\frac{1}{2}$ и $a_4 = \frac{-8}{4} = -2$.

Следовательно, существует четыре значения $a$, удовлетворяющих условию задачи.

Ответ: $a \in \left\{-2; -0,5; 0,5; 2\right\}$.