Номер 375, страница 105 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

375. Решите уравнение:

a) $x^3 + \frac{1}{x^3} = 22\left(x + \frac{1}{x}\right)$;

б) $x^3 - \frac{1}{x^3} = 19\left(x - \frac{1}{x}\right)$.

а) $x^3 + \frac{1}{x^3} = 22(x + \frac{1}{x})$

Данное уравнение является возвратным. Область допустимых значений (ОДЗ) для переменной $x$ определяется условием $x \neq 0$.

Для решения введем новую переменную. Пусть $y = x + \frac{1}{x}$.

Теперь необходимо выразить левую часть уравнения, $x^3 + \frac{1}{x^3}$, через $y$. Для этого воспользуемся формулой куба суммы $(a+b)^3 = a^3+b^3+3ab(a+b)$, из которой следует, что $a^3+b^3 = (a+b)^3 - 3ab(a+b)$.

Применив эту формулу для $a=x$ и $b=\frac{1}{x}$, получим:

$x^3 + \frac{1}{x^3} = (x + \frac{1}{x})^3 - 3 \cdot x \cdot \frac{1}{x} (x + \frac{1}{x}) = (x + \frac{1}{x})^3 - 3(x + \frac{1}{x})$.

Так как $y = x + \frac{1}{x}$, то:

$x^3 + \frac{1}{x^3} = y^3 - 3y$.

Подставим полученные выражения в исходное уравнение:

$y^3 - 3y = 22y$.

Перенесем все слагаемые в левую часть и решим полученное кубическое уравнение относительно $y$:

$y^3 - 3y - 22y = 0$

$y^3 - 25y = 0$

Вынесем $y$ за скобки:

$y(y^2 - 25) = 0$

Разложим на множители, используя формулу разности квадратов:

$y(y - 5)(y + 5) = 0$.

Это уравнение имеет три корня:

$y_1 = 0$, $y_2 = 5$, $y_3 = -5$.

Теперь необходимо выполнить обратную замену для каждого найденного значения $y$.

1. При $y = 0$:

$x + \frac{1}{x} = 0$.

Умножим обе части на $x$:

$x^2 + 1 = 0$, или $x^2 = -1$.

Данное уравнение не имеет решений в области действительных чисел.

2. При $y = 5$:

$x + \frac{1}{x} = 5$.

Умножим обе части на $x$ и перенесем все в левую часть:

$x^2 - 5x + 1 = 0$.

Решим это квадратное уравнение с помощью дискриминанта: $D = b^2 - 4ac = (-5)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 1 = 25 - 4 = 21$.

Корни уравнения: $x_{1,2} = \frac{-(-5) \pm \sqrt{21}}{2 \cdot 1} = \frac{5 \pm \sqrt{21}}{2}$.

3. При $y = -5$:

$x + \frac{1}{x} = -5$.

$x^2 + 5x + 1 = 0$.

Дискриминант: $D = 5^2 - 4 \cdot 1 \cdot 1 = 25 - 4 = 21$.

Корни уравнения: $x_{3,4} = \frac{-5 \pm \sqrt{21}}{2 \cdot 1} = \frac{-5 \pm \sqrt{21}}{2}$.

Ответ: $\frac{5 \pm \sqrt{21}}{2}; \frac{-5 \pm \sqrt{21}}{2}$.

б) $x^3 - \frac{1}{x^3} = 19(x - \frac{1}{x})$

ОДЗ: $x \neq 0$.

Данное уравнение также решается методом замены переменной. Пусть $z = x - \frac{1}{x}$.

Выразим $x^3 - \frac{1}{x^3}$ через $z$. Воспользуемся формулой куба разности $(a-b)^3 = a^3-b^3-3ab(a-b)$, откуда $a^3-b^3 = (a-b)^3 + 3ab(a-b)$.

Для $a=x$ и $b=\frac{1}{x}$ получаем:

$x^3 - \frac{1}{x^3} = (x - \frac{1}{x})^3 + 3 \cdot x \cdot \frac{1}{x} (x - \frac{1}{x}) = (x - \frac{1}{x})^3 + 3(x - \frac{1}{x})$.

Подставляя $z = x - \frac{1}{x}$, имеем:

$x^3 - \frac{1}{x^3} = z^3 + 3z$.

Подставим это в исходное уравнение:

$z^3 + 3z = 19z$.

Решим уравнение относительно $z$:

$z^3 + 3z - 19z = 0$

$z^3 - 16z = 0$

$z(z^2 - 16) = 0$

$z(z - 4)(z + 4) = 0$.

Корни этого уравнения:

$z_1 = 0$, $z_2 = 4$, $z_3 = -4$.

Выполним обратную замену для каждого значения $z$.

1. При $z = 0$:

$x - \frac{1}{x} = 0$.

$x^2 - 1 = 0$, или $x^2 = 1$.

Отсюда $x_{1,2} = \pm 1$.

2. При $z = 4$:

$x - \frac{1}{x} = 4$.

$x^2 - 4x - 1 = 0$.

Дискриминант: $D = (-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-1) = 16 + 4 = 20$.

Корни: $x_{3,4} = \frac{4 \pm \sqrt{20}}{2} = \frac{4 \pm 2\sqrt{5}}{2} = 2 \pm \sqrt{5}$.

3. При $z = -4$:

$x - \frac{1}{x} = -4$.

$x^2 + 4x - 1 = 0$.

Дискриминант: $D = 4^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-1) = 16 + 4 = 20$.

Корни: $x_{5,6} = \frac{-4 \pm \sqrt{20}}{2} = \frac{-4 \pm 2\sqrt{5}}{2} = -2 \pm \sqrt{5}$.

Ответ: $\pm 1; 2 \pm \sqrt{5}; -2 \pm \sqrt{5}$.