Номер 368, страница 105 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

368. Решите уравнение

$\frac{1}{x^3 - x^2 + x - 1} + \frac{4x^2 + 21}{x^3 + x^2 + x + 1} = \frac{4x^3 - 3x^2 + 14x - 4}{x^4 - 1}$

Для решения данного уравнения сначала разложим знаменатели на множители, чтобы найти область допустимых значений (ОДЗ) и общий знаменатель.

1. Разложение знаменателей на множители и ОДЗ

Знаменатель первой дроби:

$x^3 - x^2 + x - 1 = x^2(x - 1) + 1(x - 1) = (x - 1)(x^2 + 1)$

Знаменатель второй дроби:

$x^3 + x^2 + x + 1 = x^2(x + 1) + 1(x + 1) = (x + 1)(x^2 + 1)$

Знаменатель правой части:

$x^4 - 1 = (x^2 - 1)(x^2 + 1) = (x - 1)(x + 1)(x^2 + 1)$

Область допустимых значений (ОДЗ) определяется условиями, что знаменатели не равны нулю:

$(x - 1)(x^2 + 1) \neq 0 \implies x - 1 \neq 0 \implies x \neq 1$ (так как $x^2 + 1$ всегда больше 0)

$(x + 1)(x^2 + 1) \neq 0 \implies x + 1 \neq 0 \implies x \neq -1$

Таким образом, ОДЗ: $x \in (-\infty; -1) \cup (-1; 1) \cup (1; +\infty)$.

2. Преобразование уравнения

Перепишем исходное уравнение с разложенными знаменателями:

$$ \frac{1}{(x - 1)(x^2 + 1)} + \frac{4x^2 + 21}{(x + 1)(x^2 + 1)} = \frac{4x^3 - 3x^2 + 14x - 4}{(x - 1)(x + 1)(x^2 + 1)} $$

Общий знаменатель для всех дробей — это $(x - 1)(x + 1)(x^2 + 1)$. Умножим обе части уравнения на этот общий знаменатель, учитывая ОДЗ:

$$ 1 \cdot (x + 1) + (4x^2 + 21) \cdot (x - 1) = 4x^3 - 3x^2 + 14x - 4 $$

3. Решение полученного уравнения

Раскроем скобки в левой части уравнения:

$$ x + 1 + (4x^3 - 4x^2 + 21x - 21) = 4x^3 - 3x^2 + 14x - 4 $$

Приведем подобные слагаемые в левой части:

$$ 4x^3 - 4x^2 + 22x - 20 = 4x^3 - 3x^2 + 14x - 4 $$

Перенесем все члены уравнения в одну сторону (например, в правую), чтобы приравнять выражение к нулю:

$$ 0 = (4x^3 - 4x^3) + (-3x^2 + 4x^2) + (14x - 22x) + (-4 + 20) $$

$$ 0 = x^2 - 8x + 16 $$

Получили квадратное уравнение $x^2 - 8x + 16 = 0$.

Левая часть этого уравнения является полным квадратом разности:

$$ (x - 4)^2 = 0 $$

Это уравнение имеет единственный корень:

$$ x - 4 = 0 \implies x = 4 $$

4. Проверка корня

Найденный корень $x = 4$ необходимо проверить на соответствие ОДЗ ($x \neq 1$ и $x \neq -1$).

Так как $4 \neq 1$ и $4 \neq -1$, корень $x = 4$ является решением исходного уравнения.

Ответ: $4$