Номер 366, страница 104 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

366. Решите уравнение, используя выделение целой части из дроби:

a) $ \frac{x^2 - 5x + 3}{x - 5} - \frac{x^2 + 5x + 1}{x + 5} = \frac{1}{4}; $

б) $ \frac{x^2 + 6x + 10}{x + 3} - \frac{x^2 - 6x + 7}{x - 3} = 7\frac{1}{8}. $

а)

Исходное уравнение:

$\frac{x^2 - 5x + 3}{x - 5} - \frac{x^2 + 5x + 1}{x + 5} = \frac{1}{4}$

Область допустимых значений (ОДЗ): знаменатели дробей не могут быть равны нулю, следовательно, $x - 5 \neq 0$ и $x + 5 \neq 0$. Это означает, что $x \neq 5$ и $x \neq -5$.

Для упрощения уравнения выделим целую часть из каждой дроби. Это можно сделать, представив числитель в виде суммы или разности выражений, одно из которых делится на знаменатель без остатка.

Для первой дроби $\frac{x^2 - 5x + 3}{x - 5}$:

$\frac{x^2 - 5x + 3}{x - 5} = \frac{x(x - 5) + 3}{x - 5} = \frac{x(x - 5)}{x - 5} + \frac{3}{x - 5} = x + \frac{3}{x - 5}$

Для второй дроби $\frac{x^2 + 5x + 1}{x + 5}$:

$\frac{x^2 + 5x + 1}{x + 5} = \frac{x(x + 5) + 1}{x + 5} = \frac{x(x + 5)}{x + 5} + \frac{1}{x + 5} = x + \frac{1}{x + 5}$

Теперь подставим упрощенные выражения обратно в уравнение:

$(x + \frac{3}{x - 5}) - (x + \frac{1}{x + 5}) = \frac{1}{4}$

Раскроем скобки. Обратите внимание, что знак перед второй скобкой меняет знаки слагаемых внутри нее.

$x + \frac{3}{x - 5} - x - \frac{1}{x + 5} = \frac{1}{4}$

Переменные $x$ взаимно уничтожаются, и уравнение значительно упрощается:

$\frac{3}{x - 5} - \frac{1}{x + 5} = \frac{1}{4}$

Приведем дроби в левой части к общему знаменателю $(x - 5)(x + 5) = x^2 - 25$:

$\frac{3(x + 5) - 1(x - 5)}{(x - 5)(x + 5)} = \frac{1}{4}$

$\frac{3x + 15 - x + 5}{x^2 - 25} = \frac{1}{4}$

$\frac{2x + 20}{x^2 - 25} = \frac{1}{4}$

Решим полученное уравнение, используя свойство пропорции (перекрестное умножение):

$4(2x + 20) = 1(x^2 - 25)$

$8x + 80 = x^2 - 25$

Перенесем все члены уравнения в одну сторону, чтобы получить стандартное квадратное уравнение $ax^2 + bx + c = 0$:

$x^2 - 8x - 25 - 80 = 0$

$x^2 - 8x - 105 = 0$

Решим это уравнение с помощью дискриминанта $D = b^2 - 4ac$:

$D = (-8)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-105) = 64 + 420 = 484$

Так как $D > 0$, уравнение имеет два корня. $\sqrt{D} = \sqrt{484} = 22$.

Найдем корни:

$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{8 + 22}{2 \cdot 1} = \frac{30}{2} = 15$

$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{8 - 22}{2 \cdot 1} = \frac{-14}{2} = -7$

Проверим, удовлетворяют ли найденные корни ОДЗ ($x \neq 5, x \neq -5$). Оба корня $15$ и $-7$ удовлетворяют этому условию.

Ответ: $-7; 15$.

б)

Исходное уравнение:

$\frac{x^2 + 6x + 10}{x + 3} - \frac{x^2 - 6x + 7}{x - 3} = 7\frac{1}{8}$

ОДЗ: $x + 3 \neq 0 \implies x \neq -3$ и $x - 3 \neq 0 \implies x \neq 3$.

Преобразуем смешанное число в неправильную дробь: $7\frac{1}{8} = \frac{7 \cdot 8 + 1}{8} = \frac{57}{8}$.

Выделим целую часть из каждой дроби, используя формулы сокращенного умножения, чтобы упростить числители.

Для первой дроби $\frac{x^2 + 6x + 10}{x + 3}$:

$\frac{x^2 + 6x + 10}{x + 3} = \frac{(x^2 + 6x + 9) + 1}{x + 3} = \frac{(x + 3)^2 + 1}{x + 3} = \frac{(x + 3)^2}{x + 3} + \frac{1}{x + 3} = x + 3 + \frac{1}{x + 3}$

Для второй дроби $\frac{x^2 - 6x + 7}{x - 3}$:

$\frac{x^2 - 6x + 7}{x - 3} = \frac{(x^2 - 6x + 9) - 2}{x - 3} = \frac{(x - 3)^2 - 2}{x - 3} = \frac{(x - 3)^2}{x - 3} - \frac{2}{x - 3} = x - 3 - \frac{2}{x - 3}$

Подставим полученные выражения в уравнение:

$(x + 3 + \frac{1}{x + 3}) - (x - 3 - \frac{2}{x - 3}) = \frac{57}{8}$

Раскроем скобки:

$x + 3 + \frac{1}{x + 3} - x + 3 + \frac{2}{x - 3} = \frac{57}{8}$

Упростим левую часть:

$6 + \frac{1}{x + 3} + \frac{2}{x - 3} = \frac{57}{8}$

Перенесем константу $6$ в правую часть уравнения:

$\frac{1}{x + 3} + \frac{2}{x - 3} = \frac{57}{8} - 6 = \frac{57}{8} - \frac{48}{8} = \frac{9}{8}$

Приведем дроби к общему знаменателю $(x + 3)(x - 3) = x^2 - 9$:

$\frac{1(x - 3) + 2(x + 3)}{(x + 3)(x - 3)} = \frac{9}{8}$

$\frac{x - 3 + 2x + 6}{x^2 - 9} = \frac{9}{8}$

$\frac{3x + 3}{x^2 - 9} = \frac{9}{8}$

Применим свойство пропорции:

$8(3x + 3) = 9(x^2 - 9)$

$24x + 24 = 9x^2 - 81$

Соберем все члены в одной части, чтобы получить квадратное уравнение:

$9x^2 - 24x - 81 - 24 = 0$

$9x^2 - 24x - 105 = 0$

Все коэффициенты этого уравнения делятся на 3. Разделим обе части на 3 для упрощения:

$3x^2 - 8x - 35 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение через дискриминант $D = b^2 - 4ac$:

$D = (-8)^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-35) = 64 + 420 = 484 = 22^2$

Найдем корни:

$x_1 = \frac{-(-8) + 22}{2 \cdot 3} = \frac{8 + 22}{6} = \frac{30}{6} = 5$

$x_2 = \frac{-(-8) - 22}{2 \cdot 3} = \frac{8 - 22}{6} = \frac{-14}{6} = -\frac{7}{3}$

Оба корня $5$ и $-\frac{7}{3}$ удовлетворяют ОДЗ ($x \neq 3, x \neq -3$).

Ответ: $-\frac{7}{3}; 5$.