Страница 104 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

358. Решите уравнение, используя введение новой переменной:

а) $(x^2 + 6x)^2 - 5(x^2 + 6x) = 24;$

б) $(x^2 - 2x - 5)^2 - 2(x^2 - 2x - 5) = 3;$

в) $(x^2 + 3x - 25)^2 - 2(x^2 + 3x - 25) = -7;$

г) $(y + 2)^4 - (y + 2)^2 = 12;$

д) $(x^2 + 2x)(x^2 + 2x + 2) = 3;$

е) $(x^2 - x - 16)(x^2 - x + 2) = 88;$

ж) $(2x^2 + 7x - 8)(2x^2 + 7x - 3) - 6 = 0.$

а)

Дано уравнение $(x^2 + 6x)^2 - 5(x^2 + 6x) = 24$.

Введем новую переменную $t = x^2 + 6x$. Исходное уравнение примет вид квадратного уравнения относительно $t$:

$t^2 - 5t = 24$

$t^2 - 5t - 24 = 0$

Найдем корни этого уравнения. Дискриминант $D = b^2 - 4ac = (-5)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-24) = 25 + 96 = 121 = 11^2$.

Корни уравнения для $t$:

$t_1 = \frac{-(-5) + 11}{2 \cdot 1} = \frac{16}{2} = 8$

$t_2 = \frac{-(-5) - 11}{2 \cdot 1} = \frac{-6}{2} = -3$

Теперь выполним обратную замену для каждого найденного значения $t$.

1) При $t = 8$ получаем уравнение: $x^2 + 6x = 8$, или $x^2 + 6x - 8 = 0$.

Дискриминант $D_1 = 6^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-8) = 36 + 32 = 68$. Корни: $x_{1,2} = \frac{-6 \pm \sqrt{68}}{2} = \frac{-6 \pm 2\sqrt{17}}{2} = -3 \pm \sqrt{17}$.

2) При $t = -3$ получаем уравнение: $x^2 + 6x = -3$, или $x^2 + 6x + 3 = 0$.

Дискриминант $D_2 = 6^2 - 4 \cdot 1 \cdot 3 = 36 - 12 = 24$. Корни: $x_{3,4} = \frac{-6 \pm \sqrt{24}}{2} = \frac{-6 \pm 2\sqrt{6}}{2} = -3 \pm \sqrt{6}$.

Ответ: $-3 \pm \sqrt{17}; -3 \pm \sqrt{6}$.

б)

Дано уравнение $(x^2 - 2x - 5)^2 - 2(x^2 - 2x - 5) = 3$.

Пусть $t = x^2 - 2x - 5$. Уравнение преобразуется к виду:

$t^2 - 2t = 3$

$t^2 - 2t - 3 = 0$

По теореме Виета, корни этого уравнения $t_1 = 3$ и $t_2 = -1$.

Выполним обратную замену.

1) При $t = 3$: $x^2 - 2x - 5 = 3$, или $x^2 - 2x - 8 = 0$.

По теореме Виета, корни этого уравнения $x_1 = 4$ и $x_2 = -2$.

2) При $t = -1$: $x^2 - 2x - 5 = -1$, или $x^2 - 2x - 4 = 0$.

Дискриминант $D = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-4) = 4 + 16 = 20$. Корни: $x_{3,4} = \frac{2 \pm \sqrt{20}}{2} = \frac{2 \pm 2\sqrt{5}}{2} = 1 \pm \sqrt{5}$.

Ответ: $4; -2; 1 \pm \sqrt{5}$.

в)

Дано уравнение $(x^2 + 3x - 25)^2 - 2(x^2 + 3x - 25) = -7$.

Введем замену $t = x^2 + 3x - 25$. Тогда уравнение можно записать как:

$t^2 - 2t = -7$

$t^2 - 2t + 7 = 0$

Найдем дискриминант этого квадратного уравнения:

$D = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 7 = 4 - 28 = -24$.

Так как дискриминант отрицательный ($D < 0$), уравнение для $t$ не имеет действительных корней. Следовательно, и исходное уравнение не имеет действительных корней.

Ответ: действительных корней нет.

г)

Дано уравнение $(y + 2)^4 - (y + 2)^2 = 12$.

Пусть $t = (y + 2)^2$. Так как квадрат любого действительного числа неотрицателен, то $t \ge 0$.

Уравнение примет вид:

$t^2 - t = 12$

$t^2 - t - 12 = 0$

По теореме Виета, корни этого уравнения $t_1 = 4$ и $t_2 = -3$.

Проверим условие $t \ge 0$. Корень $t_2 = -3$ не удовлетворяет этому условию, поэтому он является посторонним. Рассматриваем только $t = 4$.

Выполним обратную замену: $(y + 2)^2 = 4$.

Отсюда следует, что $y + 2 = 2$ или $y + 2 = -2$.

1) $y + 2 = 2 \implies y_1 = 0$.

2) $y + 2 = -2 \implies y_2 = -4$.

Ответ: $0; -4$.

д)

Дано уравнение $(x^2 + 2x)(x^2 + 2x + 2) = 3$.

Введем новую переменную $t = x^2 + 2x$. Тогда $x^2 + 2x + 2 = t + 2$.

Уравнение принимает вид:

$t(t + 2) = 3$

$t^2 + 2t - 3 = 0$

По теореме Виета, корни этого уравнения $t_1 = 1$ и $t_2 = -3$.

Выполним обратную замену.

1) При $t = 1$: $x^2 + 2x = 1$, или $x^2 + 2x - 1 = 0$.

Дискриминант $D = 2^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-1) = 8$. Корни: $x_{1,2} = \frac{-2 \pm \sqrt{8}}{2} = \frac{-2 \pm 2\sqrt{2}}{2} = -1 \pm \sqrt{2}$.

2) При $t = -3$: $x^2 + 2x = -3$, или $x^2 + 2x + 3 = 0$.

Дискриминант $D = 2^2 - 4 \cdot 1 \cdot 3 = 4 - 12 = -8$. Так как $D < 0$, это уравнение не имеет действительных корней.

Ответ: $-1 \pm \sqrt{2}$.

е)

Дано уравнение $(x^2 - x - 16)(x^2 - x + 2) = 88$.

Пусть $t = x^2 - x$. Тогда уравнение можно переписать в виде:

$(t - 16)(t + 2) = 88$

Раскроем скобки: $t^2 + 2t - 16t - 32 = 88$.

$t^2 - 14t - 120 = 0$

Дискриминант $D = (-14)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-120) = 196 + 480 = 676 = 26^2$.

Корни для $t$: $t_1 = \frac{14 + 26}{2} = 20$, $t_2 = \frac{14 - 26}{2} = -6$.

Выполним обратную замену.

1) При $t = 20$: $x^2 - x = 20$, или $x^2 - x - 20 = 0$.

По теореме Виета, корни этого уравнения $x_1 = 5$ и $x_2 = -4$.

2) При $t = -6$: $x^2 - x = -6$, или $x^2 - x + 6 = 0$.

Дискриминант $D = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 6 = 1 - 24 = -23$. Так как $D < 0$, это уравнение не имеет действительных корней.

Ответ: $5; -4$.

ж)

Дано уравнение $(2x^2 + 7x - 8)(2x^2 + 7x - 3) - 6 = 0$.

Введем замену $t = 2x^2 + 7x$. Уравнение примет вид:

$(t - 8)(t - 3) - 6 = 0$

Раскроем скобки: $t^2 - 3t - 8t + 24 - 6 = 0$.

$t^2 - 11t + 18 = 0$

По теореме Виета, корни этого уравнения $t_1 = 9$ и $t_2 = 2$.

Выполним обратную замену.

1) При $t = 9$: $2x^2 + 7x = 9$, или $2x^2 + 7x - 9 = 0$.

Дискриминант $D = 7^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-9) = 49 + 72 = 121 = 11^2$.

Корни: $x_1 = \frac{-7 + 11}{4} = 1$, $x_2 = \frac{-7 - 11}{4} = -\frac{18}{4} = -4.5$.

2) При $t = 2$: $2x^2 + 7x = 2$, или $2x^2 + 7x - 2 = 0$.

Дискриминант $D = 7^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-2) = 49 + 16 = 65$.

Корни: $x_{3,4} = \frac{-7 \pm \sqrt{65}}{4}$.

Ответ: $1; -4.5; \frac{-7 \pm \sqrt{65}}{4}$.

359. Решите уравнение:

а) $y^7 - y^6 + y = 1;$

б) $y^7 + y^6 - 27y = 27.$

а)

Перенесем все члены уравнения $y^7 - y^6 + y = 1$ в левую часть, чтобы в правой части получился ноль:

$y^7 - y^6 + y - 1 = 0$

Для решения этого уравнения применим метод группировки слагаемых. Сгруппируем первые два члена и последние два члена:

$(y^7 - y^6) + (y - 1) = 0$

Вынесем общий множитель $y^6$ из первой скобки:

$y^6(y - 1) + 1(y - 1) = 0$

Теперь мы видим, что $(y - 1)$ является общим множителем, который можно вынести за скобки:

$(y - 1)(y^6 + 1) = 0$

Произведение двух множителей равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Это приводит к двум возможным случаям:

1. $y - 1 = 0$, откуда получаем корень $y = 1$.

2. $y^6 + 1 = 0$, что равносильно $y^6 = -1$. В области действительных чисел это уравнение не имеет решений, так как четная степень ($6$) любого действительного числа не может быть отрицательной, то есть $y^6 \ge 0$.

Следовательно, единственным действительным решением данного уравнения является $y = 1$.

Ответ: $1$.

б)

Перенесем все члены уравнения $y^7 + y^6 - 27y = 27$ в левую часть:

$y^7 + y^6 - 27y - 27 = 0$

Воспользуемся методом группировки. Сгруппируем первые два члена и последние два члена:

$(y^7 + y^6) - (27y + 27) = 0$

Вынесем общие множители из каждой группы. Из первой группы вынесем $y^6$, а из второй $-27$:

$y^6(y + 1) - 27(y + 1) = 0$

Теперь вынесем за скобки общий множитель $(y + 1)$:

$(y + 1)(y^6 - 27) = 0$

Это уравнение распадается на два отдельных уравнения:

1. $y + 1 = 0$, откуда получаем первый корень $y = -1$.

2. $y^6 - 27 = 0$, что равносильно $y^6 = 27$.

Чтобы найти $y$, извлечем корень шестой степени из обеих частей уравнения. Поскольку степень корня четная, а число $27$ положительное, у нас будет два действительных корня:

$y = \pm \sqrt[6]{27}$

Упростим выражение для корня: $\sqrt[6]{27} = \sqrt[6]{3^3} = 3^{3/6} = 3^{1/2} = \sqrt{3}$.

Таким образом, мы получаем еще два решения: $y = \sqrt{3}$ и $y = -\sqrt{3}$.

В итоге, исходное уравнение имеет три действительных корня.

Ответ: $-1; -\sqrt{3}; \sqrt{3}$.

360. Решите уравнение:

a) $2x^7 + x^6 + 2x^4 + x^3 + 2x + 1 = 0;$

б) $x^7 - 2x^6 + 2x^4 - 4x^3 + x - 2 = 0.$

а) $2x^7 + x^6 + 2x^4 + x^3 + 2x + 1 = 0$

Для решения данного уравнения сгруппируем слагаемые:

$(2x^7 + 2x^4 + 2x) + (x^6 + x^3 + 1) = 0$

Вынесем общие множители за скобки в каждой группе:

$2x(x^6 + x^3 + 1) + 1(x^6 + x^3 + 1) = 0$

Теперь вынесем за скобки общий множитель $(x^6 + x^3 + 1)$:

$(2x + 1)(x^6 + x^3 + 1) = 0$

Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю. Рассмотрим два случая:

1) $2x + 1 = 0$

$2x = -1$

$x_1 = -\frac{1}{2}$

2) $x^6 + x^3 + 1 = 0$

Это уравнение является квадратным относительно $x^3$. Сделаем замену переменной: пусть $y = x^3$. Тогда уравнение примет вид:

$y^2 + y + 1 = 0$

Найдем дискриминант этого квадратного уравнения:

$D = b^2 - 4ac = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot 1 = 1 - 4 = -3$

Так как дискриминант $D < 0$, квадратное уравнение $y^2 + y + 1 = 0$ не имеет действительных корней для $y$. Следовательно, и уравнение $x^6 + x^3 + 1 = 0$ не имеет действительных корней для $x$.

Таким образом, исходное уравнение имеет единственный действительный корень.

Ответ: $x = -1/2$.

б) $x^7 - 2x^6 + 2x^4 - 4x^3 + x - 2 = 0$

Сгруппируем слагаемые для разложения на множители:

$(x^7 + 2x^4 + x) - (2x^6 + 4x^3 + 2) = 0$

Вынесем общие множители из каждой группы:

$x(x^6 + 2x^3 + 1) - 2(x^6 + 2x^3 + 1) = 0$

Вынесем за скобки общий множитель $(x^6 + 2x^3 + 1)$:

$(x - 2)(x^6 + 2x^3 + 1) = 0$

Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю. Рассмотрим два случая:

1) $x - 2 = 0$

$x_1 = 2$

2) $x^6 + 2x^3 + 1 = 0$

Это уравнение также является квадратным относительно $x^3$. Сделаем замену переменной: пусть $y = x^3$. Уравнение примет вид:

$y^2 + 2y + 1 = 0$

Это выражение является полным квадратом:

$(y + 1)^2 = 0$

Отсюда следует, что $y + 1 = 0$, то есть $y = -1$.

Вернемся к исходной переменной $x$, зная, что $y = x^3$:

$x^3 = -1$

Извлекая кубический корень, находим второй действительный корень:

$x_2 = \sqrt[3]{-1} = -1$

Таким образом, исходное уравнение имеет два действительных корня.

Ответ: $x_1 = 2, x_2 = -1$.

361. Найдите сумму корней биквадратного уравнения:

а) $x^4 - 9x^2 + 18 = 0$;

б) $x^4 + 3x^2 - 10 = 0$;

в) $4x^4 - 12x^2 + 1 = 0$;

г) $12y^4 - y^2 - 1 = 0$.

Для решения биквадратных уравнений вида $ax^4 + bx^2 + c = 0$ используется метод замены переменной. Пусть $t = x^2$, где $t \ge 0$. Тогда уравнение сводится к квадратному $at^2 + bt + c = 0$.

Важным свойством таких уравнений является то, что если $x_0$ является корнем, то и $-x_0$ также является корнем, так как $(-x_0)^4 = x_0^4$ и $(-x_0)^2 = x_0^2$. Поэтому, если у уравнения есть действительные корни и они не равны нулю (нулевой корень возможен только если свободный член $c=0$), то они всегда образуют пары противоположных по знаку чисел $(x_k, -x_k)$. Сумма каждой такой пары равна нулю, а значит и общая сумма всех действительных корней будет равна нулю. Во всех представленных задачах $c \ne 0$, поэтому корень $x=0$ отсутствует.

Проверим это, решив каждое уравнение подробно.

а) $x^4 - 9x^2 + 18 = 0$
Данное уравнение является биквадратным. Для его решения введем новую переменную.
Пусть $t = x^2$. Поскольку $x^2 \ge 0$ для любого действительного числа $x$, то на $t$ накладывается ограничение: $t \ge 0$.
Заменив $x^2$ на $t$ и $x^4$ на $t^2$, получим квадратное уравнение относительно $t$:
$t^2 - 9t + 18 = 0$
Найдем корни этого квадратного уравнения. По теореме Виета, сумма корней $t_1 + t_2 = 9$, а их произведение $t_1 \cdot t_2 = 18$. Отсюда легко находятся корни: $t_1 = 3$ и $t_2 = 6$.
Оба полученных значения для $t$ положительны, следовательно, удовлетворяют условию $t \ge 0$.
Теперь выполним обратную замену, чтобы найти корни исходного уравнения.
1. При $t = 3$, имеем $x^2 = 3$, откуда получаем два корня: $x_1 = \sqrt{3}$ и $x_2 = -\sqrt{3}$.
2. При $t = 6$, имеем $x^2 = 6$, откуда получаем еще два корня: $x_3 = \sqrt{6}$ и $x_4 = -\sqrt{6}$.
Таким образом, биквадратное уравнение имеет четыре действительных корня: $\sqrt{3}, -\sqrt{3}, \sqrt{6}, -\sqrt{6}$.
Сумма этих корней равна:
$\sqrt{3} + (-\sqrt{3}) + \sqrt{6} + (-\sqrt{6}) = 0 + 0 = 0$.
Ответ: 0.

б) $x^4 + 3x^2 - 10 = 0$
Это биквадратное уравнение. Сделаем замену $t = x^2$, где $t \ge 0$.
Получим квадратное уравнение: $t^2 + 3t - 10 = 0$.
Решим его с помощью дискриминанта:
$D = b^2 - 4ac = 3^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-10) = 9 + 40 = 49 = 7^2$.
$t = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-3 \pm 7}{2}$.
Корни для $t$:
$t_1 = \frac{-3 + 7}{2} = \frac{4}{2} = 2$.
$t_2 = \frac{-3 - 7}{2} = \frac{-10}{2} = -5$.
Проверим условие $t \ge 0$.
$t_1 = 2$ удовлетворяет условию.
$t_2 = -5$ не удовлетворяет условию, поэтому этот корень не дает действительных решений для $x$ (уравнение $x^2=-5$ не имеет действительных корней).
Выполним обратную замену для $t_1=2$:
$x^2 = 2$, откуда $x_{1,2} = \pm\sqrt{2}$.
Исходное уравнение имеет два действительных корня: $\sqrt{2}$ и $-\sqrt{2}$.
Сумма корней равна:
$\sqrt{2} + (-\sqrt{2}) = 0$.
Ответ: 0.

в) $4x^4 - 12x^2 + 1 = 0$
Это биквадратное уравнение. Сделаем замену $t = x^2$, где $t \ge 0$.
Получим квадратное уравнение: $4t^2 - 12t + 1 = 0$.
Решим его с помощью дискриминанта:
$D = (-12)^2 - 4 \cdot 4 \cdot 1 = 144 - 16 = 128$.
$t = \frac{-(-12) \pm \sqrt{128}}{2 \cdot 4} = \frac{12 \pm \sqrt{64 \cdot 2}}{8} = \frac{12 \pm 8\sqrt{2}}{8} = \frac{3 \pm 2\sqrt{2}}{2}$.
Корни для $t$:
$t_1 = \frac{3 + 2\sqrt{2}}{2}$ и $t_2 = \frac{3 - 2\sqrt{2}}{2}$.
Проверим условие $t \ge 0$.
$t_1 = \frac{3 + 2\sqrt{2}}{2}$ очевидно положителен.
Для $t_2 = \frac{3 - 2\sqrt{2}}{2}$ сравним 3 и $2\sqrt{2}$. Так как $3^2=9$ и $(2\sqrt{2})^2=8$, то $9>8$, значит $3 > 2\sqrt{2}$, и $t_2$ также положителен. Оба корня удовлетворяют условию.
Выполним обратную замену:
1. $x^2 = \frac{3 + 2\sqrt{2}}{2}$, откуда $x_{1,2} = \pm\sqrt{\frac{3 + 2\sqrt{2}}{2}}$.
2. $x^2 = \frac{3 - 2\sqrt{2}}{2}$, откуда $x_{3,4} = \pm\sqrt{\frac{3 - 2\sqrt{2}}{2}}$.
Уравнение имеет четыре действительных корня, которые являются попарно противоположными числами.
Сумма корней равна:
$\left(\sqrt{\frac{3 + 2\sqrt{2}}{2}}\right) + \left(-\sqrt{\frac{3 + 2\sqrt{2}}{2}}\right) + \left(\sqrt{\frac{3 - 2\sqrt{2}}{2}}\right) + \left(-\sqrt{\frac{3 - 2\sqrt{2}}{2}}\right) = 0 + 0 = 0$.
Ответ: 0.

г) $12y^4 - y^2 - 1 = 0$
Это биквадратное уравнение относительно переменной $y$. Сделаем замену $t = y^2$, где $t \ge 0$.
Получим квадратное уравнение: $12t^2 - t - 1 = 0$.
Решим его с помощью дискриминанта:
$D = (-1)^2 - 4 \cdot 12 \cdot (-1) = 1 + 48 = 49 = 7^2$.
$t = \frac{-(-1) \pm \sqrt{49}}{2 \cdot 12} = \frac{1 \pm 7}{24}$.
Корни для $t$:
$t_1 = \frac{1 + 7}{24} = \frac{8}{24} = \frac{1}{3}$.
$t_2 = \frac{1 - 7}{24} = \frac{-6}{24} = -\frac{1}{4}$.
Проверим условие $t \ge 0$.
$t_1 = \frac{1}{3}$ удовлетворяет условию.
$t_2 = -\frac{1}{4}$ не удовлетворяет условию, поэтому этот корень отбрасываем.
Выполним обратную замену для $t_1=\frac{1}{3}$:
$y^2 = \frac{1}{3}$, откуда $y_{1,2} = \pm\sqrt{\frac{1}{3}} = \pm\frac{1}{\sqrt{3}}$.
Исходное уравнение имеет два действительных корня: $\frac{1}{\sqrt{3}}$ и $-\frac{1}{\sqrt{3}}$.
Сумма корней равна:
$\frac{1}{\sqrt{3}} + \left(-\frac{1}{\sqrt{3}}\right) = 0$.
Ответ: 0.

362. Является ли число:

a) $\sqrt{3 + \sqrt{5}}$ корнем биквадратного уравнения $x^4 - 6x^2 + 3 = 0$;

б) $\sqrt{5 - \sqrt{2}}$ корнем биквадратного уравнения $x^4 - 10x^2 + 23 = 0$?

а) Чтобы проверить, является ли число $x = \sqrt{3 + \sqrt{5}}$ корнем биквадратного уравнения $x^4 - 6x^2 + 3 = 0$, можно подставить это число в уравнение.

Способ 1: Прямая подстановка

Найдем значения $x^2$ и $x^4$ для данного числа.

$x^2 = (\sqrt{3 + \sqrt{5}})^2 = 3 + \sqrt{5}$

$x^4 = (x^2)^2 = (3 + \sqrt{5})^2 = 3^2 + 2 \cdot 3 \cdot \sqrt{5} + (\sqrt{5})^2 = 9 + 6\sqrt{5} + 5 = 14 + 6\sqrt{5}$

Теперь подставим полученные значения в левую часть уравнения $x^4 - 6x^2 + 3 = 0$:

$(14 + 6\sqrt{5}) - 6(3 + \sqrt{5}) + 3$

Раскроем скобки и упростим выражение:

$14 + 6\sqrt{5} - 18 - 6\sqrt{5} + 3 = (14 - 18 + 3) + (6\sqrt{5} - 6\sqrt{5}) = -1 + 0 = -1$

Поскольку $-1 \neq 0$, равенство не выполняется. Следовательно, число $\sqrt{3 + \sqrt{5}}$ не является корнем данного уравнения.

Способ 2: Решение уравнения

Решим биквадратное уравнение $x^4 - 6x^2 + 3 = 0$. Для этого сделаем замену переменной: пусть $y = x^2$ (при этом $y \ge 0$).

Получим квадратное уравнение относительно $y$:

$y^2 - 6y + 3 = 0$

Найдем его корни с помощью формулы для корней квадратного уравнения:

$y = \frac{-(-6) \pm \sqrt{(-6)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 3}}{2 \cdot 1} = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 12}}{2} = \frac{6 \pm \sqrt{24}}{2} = \frac{6 \pm 2\sqrt{6}}{2} = 3 \pm \sqrt{6}$

Мы получили два положительных значения для $y$: $y_1 = 3 + \sqrt{6}$ и $y_2 = 3 - \sqrt{6}$.

Теперь вернемся к замене $x^2 = y$:

$x^2 = 3 + \sqrt{6}$ или $x^2 = 3 - \sqrt{6}$.

Отсюда корни исходного биквадратного уравнения равны $x = \pm\sqrt{3 + \sqrt{6}}$ и $x = \pm\sqrt{3 - \sqrt{6}}$.

Данное для проверки число $\sqrt{3 + \sqrt{5}}$ не совпадает ни с одним из найденных корней.

Ответ: нет.

б) Проверим, является ли число $x = \sqrt{5 - \sqrt{2}}$ корнем биквадратного уравнения $x^4 - 10x^2 + 23 = 0$.

Способ 1: Прямая подстановка

Найдем значения $x^2$ и $x^4$ для данного числа.

$x^2 = (\sqrt{5 - \sqrt{2}})^2 = 5 - \sqrt{2}$

$x^4 = (x^2)^2 = (5 - \sqrt{2})^2 = 5^2 - 2 \cdot 5 \cdot \sqrt{2} + (\sqrt{2})^2 = 25 - 10\sqrt{2} + 2 = 27 - 10\sqrt{2}$

Подставим полученные значения в левую часть уравнения $x^4 - 10x^2 + 23 = 0$:

$(27 - 10\sqrt{2}) - 10(5 - \sqrt{2}) + 23$

Раскроем скобки и упростим выражение:

$27 - 10\sqrt{2} - 50 + 10\sqrt{2} + 23 = (27 - 50 + 23) + (-10\sqrt{2} + 10\sqrt{2}) = 0 + 0 = 0$

Поскольку $0 = 0$, равенство выполняется. Следовательно, число $\sqrt{5 - \sqrt{2}}$ является корнем данного уравнения.

Способ 2: Решение уравнения

Решим биквадратное уравнение $x^4 - 10x^2 + 23 = 0$, сделав замену $y = x^2$ ($y \ge 0$).

Получим квадратное уравнение:

$y^2 - 10y + 23 = 0$

Найдем его корни:

$y = \frac{-(-10) \pm \sqrt{(-10)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 23}}{2 \cdot 1} = \frac{10 \pm \sqrt{100 - 92}}{2} = \frac{10 \pm \sqrt{8}}{2} = \frac{10 \pm 2\sqrt{2}}{2} = 5 \pm \sqrt{2}$

Оба значения для $y$ положительны: $y_1 = 5 + \sqrt{2}$ и $y_2 = 5 - \sqrt{2}$.

Вернемся к замене $x^2 = y$:

$x^2 = 5 + \sqrt{2}$ или $x^2 = 5 - \sqrt{2}$.

Корни исходного биквадратного уравнения: $x = \pm\sqrt{5 + \sqrt{2}}$ и $x = \pm\sqrt{5 - \sqrt{2}}$.

Данное для проверки число $\sqrt{5 - \sqrt{2}}$ является одним из найденных корней.

Ответ: да.

363. Разложите на множители трёхчлен:

а) $x^4 - 20x^2 + 64;$

б) $x^4 - 17x^2 + 16;$

в) $x^4 - 5x^2 - 36;$

г) $x^4 - 3x^2 - 4;$

д) $9x^4 - 10x^2 + 1;$

е) $4x^4 - 17x^2 + 4.$

а) $x^4 - 20x^2 + 64$

Данный трёхчлен является биквадратным. Для его разложения на множители введём замену переменной. Пусть $y = x^2$, тогда $x^4 = (x^2)^2 = y^2$.

Подставив новую переменную в исходное выражение, получим квадратный трёхчлен относительно $y$: $y^2 - 20y + 64$.

Чтобы разложить его на множители, найдём корни уравнения $y^2 - 20y + 64 = 0$. Воспользуемся теоремой Виета:

$y_1 + y_2 = 20$

$y_1 \cdot y_2 = 64$

Подбором находим корни: $y_1 = 4$ и $y_2 = 16$.

Тогда разложение квадратного трёхчлена имеет вид: $(y - 4)(y - 16)$.

Теперь выполним обратную замену $y = x^2$:

$(x^2 - 4)(x^2 - 16)$.

Каждый из множителей в скобках представляет собой разность квадратов, которую можно разложить по формуле $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$:

$x^2 - 4 = x^2 - 2^2 = (x - 2)(x + 2)$

$x^2 - 16 = x^2 - 4^2 = (x - 4)(x + 4)$

Таким образом, окончательное разложение на множители:

Ответ: $(x - 2)(x + 2)(x - 4)(x + 4)$.

б) $x^4 - 17x^2 + 16$

Сделаем замену $y = x^2$. Получим квадратный трёхчлен $y^2 - 17y + 16$.

Найдём корни уравнения $y^2 - 17y + 16 = 0$. По теореме Виета, сумма корней равна 17, а произведение равно 16. Корни: $y_1 = 1$ и $y_2 = 16$.

Разложение для $y$: $(y - 1)(y - 16)$.

Выполним обратную замену $y = x^2$:

$(x^2 - 1)(x^2 - 16)$.

Применим формулу разности квадратов к обоим множителям:

$x^2 - 1 = x^2 - 1^2 = (x - 1)(x + 1)$

$x^2 - 16 = x^2 - 4^2 = (x - 4)(x + 4)$

Окончательное разложение:

Ответ: $(x - 1)(x + 1)(x - 4)(x + 4)$.

в) $x^4 - 5x^2 - 36$

Пусть $y = x^2$. Получаем $y^2 - 5y - 36$.

Решим квадратное уравнение $y^2 - 5y - 36 = 0$. Найдём дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = (-5)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-36) = 25 + 144 = 169 = 13^2$.

Корни уравнения:

$y_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{5 + 13}{2} = 9$

$y_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{5 - 13}{2} = -4$

Разложение для $y$: $(y - 9)(y - (-4)) = (y - 9)(y + 4)$.

Выполним обратную замену $y = x^2$:

$(x^2 - 9)(x^2 + 4)$.

Первый множитель — это разность квадратов: $x^2 - 9 = (x - 3)(x + 3)$.

Второй множитель $x^2 + 4$ является суммой квадратов и не разлагается на множители с действительными коэффициентами.

Окончательное разложение:

Ответ: $(x - 3)(x + 3)(x^2 + 4)$.

г) $x^4 - 3x^2 - 4$

Пусть $y = x^2$. Получаем $y^2 - 3y - 4$.

Решим уравнение $y^2 - 3y - 4 = 0$. По теореме Виета, сумма корней равна 3, а произведение равно -4. Корни: $y_1 = 4$ и $y_2 = -1$.

Разложение для $y$: $(y - 4)(y - (-1)) = (y - 4)(y + 1)$.

Выполним обратную замену $y = x^2$:

$(x^2 - 4)(x^2 + 1)$.

Первый множитель — разность квадратов: $x^2 - 4 = (x - 2)(x + 2)$.

Второй множитель $x^2 + 1$ не разлагается на множители с действительными коэффициентами.

Окончательное разложение:

Ответ: $(x - 2)(x + 2)(x^2 + 1)$.

д) $9x^4 - 10x^2 + 1$

Пусть $y = x^2$. Получаем $9y^2 - 10y + 1$.

Решим квадратное уравнение $9y^2 - 10y + 1 = 0$. Найдём дискриминант:

$D = (-10)^2 - 4 \cdot 9 \cdot 1 = 100 - 36 = 64 = 8^2$.

Корни уравнения:

$y_1 = \frac{10 + 8}{2 \cdot 9} = \frac{18}{18} = 1$

$y_2 = \frac{10 - 8}{2 \cdot 9} = \frac{2}{18} = \frac{1}{9}$

Разложение для $y$: $9(y - 1)(y - \frac{1}{9}) = (y - 1)(9y - 1)$.

Выполним обратную замену $y = x^2$:

$(x^2 - 1)(9x^2 - 1)$.

Оба множителя — разности квадратов:

$x^2 - 1 = (x - 1)(x + 1)$

$9x^2 - 1 = (3x)^2 - 1^2 = (3x - 1)(3x + 1)$

Окончательное разложение:

Ответ: $(x - 1)(x + 1)(3x - 1)(3x + 1)$.

е) $4x^4 - 17x^2 + 4$

Пусть $y = x^2$. Получаем $4y^2 - 17y + 4$.

Решим квадратное уравнение $4y^2 - 17y + 4 = 0$. Найдём дискриминант:

$D = (-17)^2 - 4 \cdot 4 \cdot 4 = 289 - 64 = 225 = 15^2$.

Корни уравнения:

$y_1 = \frac{17 + 15}{2 \cdot 4} = \frac{32}{8} = 4$

$y_2 = \frac{17 - 15}{2 \cdot 4} = \frac{2}{8} = \frac{1}{4}$

Разложение для $y$: $4(y - 4)(y - \frac{1}{4}) = (y - 4)(4y - 1)$.

Выполним обратную замену $y = x^2$:

$(x^2 - 4)(4x^2 - 1)$.

Оба множителя — разности квадратов:

$x^2 - 4 = (x - 2)(x + 2)$

$4x^2 - 1 = (2x)^2 - 1^2 = (2x - 1)(2x + 1)$

Окончательное разложение:

Ответ: $(x - 2)(x + 2)(2x - 1)(2x + 1)$.

364. Решите уравнение:

a) $\frac{3y^3 + 12y^2 - 27y - 108}{y^2 - 16} = 0;$

б) $\frac{y^3 + 6y^2 - y - 6}{y^3 - 36y} = 0.$

а)

Рассмотрим уравнение: $$ \frac{3y^3 + 12y^2 - 27y - 108}{y^2 - 16} = 0 $$ Дробь равна нулю тогда и только тогда, когда ее числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю.

1. Найдем значения $y$, при которых числитель равен нулю:
$ 3y^3 + 12y^2 - 27y - 108 = 0 $
Вынесем общий множитель 3 за скобки:
$ 3(y^3 + 4y^2 - 9y - 36) = 0 $
$ y^3 + 4y^2 - 9y - 36 = 0 $
Разложим левую часть на множители методом группировки:
$ (y^3 + 4y^2) - (9y + 36) = 0 $
$ y^2(y + 4) - 9(y + 4) = 0 $
$ (y^2 - 9)(y + 4) = 0 $
Произведение равно нулю, если один из множителей равен нулю:
$ y^2 - 9 = 0 \implies y^2 = 9 \implies y = 3 $ или $ y = -3 $.
$ y + 4 = 0 \implies y = -4 $.
Таким образом, потенциальные корни уравнения: $3, -3, -4$.

2. Найдем область допустимых значений (ОДЗ), определив, при каких значениях $y$ знаменатель не равен нулю:
$ y^2 - 16 \neq 0 $
$ y^2 \neq 16 $
$ y \neq 4 $ и $ y \neq -4 $.

3. Сравним корни, полученные из числителя, с ОДЗ. Корень $y = -4$ не входит в ОДЗ, так как при этом значении знаменатель обращается в ноль, следовательно, это посторонний корень. Корни $y = 3$ и $y = -3$ удовлетворяют ОДЗ.

Ответ: $y = -3, y = 3$.

б)

Рассмотрим уравнение: $$ \frac{y^3 + 6y^2 - y - 6}{y^3 - 36y} = 0 $$ Это рациональное уравнение. Оно равносильно системе, в которой числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю.

1. Решим уравнение, приравняв числитель к нулю:
$ y^3 + 6y^2 - y - 6 = 0 $
Разложим левую часть на множители методом группировки:
$ (y^3 + 6y^2) - (y + 6) = 0 $
$ y^2(y + 6) - 1(y + 6) = 0 $
$ (y^2 - 1)(y + 6) = 0 $
$ (y - 1)(y + 1)(y + 6) = 0 $
Отсюда получаем три возможных корня: $ y = 1, y = -1, y = -6 $.

2. Найдем область допустимых значений (ОДЗ). Знаменатель не должен быть равен нулю:
$ y^3 - 36y \neq 0 $
Вынесем общий множитель $y$:
$ y(y^2 - 36) \neq 0 $
$ y(y - 6)(y + 6) \neq 0 $
Это означает, что $ y \neq 0, y \neq 6, y \neq -6 $.

3. Проверим найденные корни на соответствие ОДЗ. Корень $y = -6$ не удовлетворяет ОДЗ, так как при этом значении знаменатель равен нулю, поэтому это посторонний корень. Корни $y = 1$ и $y = -1$ входят в ОДЗ и являются решениями уравнения.

Ответ: $y = -1, y = 1$.

365. При каких значениях $x$ разность дробей $\frac{1}{x+2}$ и $\frac{1}{x+4}$ равна разности дробей $\frac{1}{x+8}$ и $\frac{1}{x+20}$?

Чтобы найти значения x, при которых разность дробей $\frac{1}{x+2}$ и $\frac{1}{x+4}$ равна разности дробей $\frac{1}{x+8}$ и $\frac{1}{x+20}$, составим уравнение в соответствии с условием задачи:

$\frac{1}{x+2} - \frac{1}{x+4} = \frac{1}{x+8} - \frac{1}{x+20}$

Прежде всего, определим область допустимых значений (ОДЗ) для переменной x. Знаменатели дробей не могут быть равны нулю, поэтому:

• $x+2 \neq 0 \implies x \neq -2$
• $x+4 \neq 0 \implies x \neq -4$
• $x+8 \neq 0 \implies x \neq -8$
• $x+20 \neq 0 \implies x \neq -20$

Теперь упростим левую и правую части уравнения, приведя дроби в каждой части к общему знаменателю.

Упростим левую часть:

$\frac{1}{x+2} - \frac{1}{x+4} = \frac{1 \cdot (x+4) - 1 \cdot (x+2)}{(x+2)(x+4)} = \frac{x+4-x-2}{(x+2)(x+4)} = \frac{2}{(x+2)(x+4)}$

Упростим правую часть:

$\frac{1}{x+8} - \frac{1}{x+20} = \frac{1 \cdot (x+20) - 1 \cdot (x+8)}{(x+8)(x+20)} = \frac{x+20-x-8}{(x+8)(x+20)} = \frac{12}{(x+8)(x+20)}$

Теперь наше уравнение имеет вид:

$\frac{2}{(x+2)(x+4)} = \frac{12}{(x+8)(x+20)}$

Можно разделить обе части уравнения на 2, чтобы упростить его:

$\frac{1}{(x+2)(x+4)} = \frac{6}{(x+8)(x+20)}$

Применим свойство пропорции (перекрестное умножение), чтобы избавиться от дробей:

$1 \cdot (x+8)(x+20) = 6 \cdot (x+2)(x+4)$

Раскроем скобки в обеих частях уравнения:

$x^2 + 20x + 8x + 160 = 6(x^2 + 4x + 2x + 8)$

$x^2 + 28x + 160 = 6(x^2 + 6x + 8)$

$x^2 + 28x + 160 = 6x^2 + 36x + 48$

Перенесем все члены уравнения в правую часть, чтобы получить стандартное квадратное уравнение $ax^2 + bx + c = 0$:

$0 = (6x^2 - x^2) + (36x - 28x) + (48 - 160)$

$0 = 5x^2 + 8x - 112$

Решим полученное квадратное уравнение $5x^2 + 8x - 112 = 0$ с помощью формулы корней через дискриминант.

Найдем дискриминант $D = b^2 - 4ac$:

$D = 8^2 - 4 \cdot 5 \cdot (-112) = 64 + 20 \cdot 112 = 64 + 2240 = 2304$

Найдем квадратный корень из дискриминанта: $\sqrt{D} = \sqrt{2304} = 48$.

Теперь найдем корни уравнения по формуле $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:

$x_1 = \frac{-8 + 48}{2 \cdot 5} = \frac{40}{10} = 4$

$x_2 = \frac{-8 - 48}{2 \cdot 5} = \frac{-56}{10} = -5.6$

Оба найденных корня ($4$ и $-5.6$) не совпадают ни с одним из значений, исключенных из ОДЗ ($-2, -4, -8, -20$), следовательно, оба являются решениями исходного уравнения.

Ответ: $x=4$ или $x=-5.6$.

366. Решите уравнение, используя выделение целой части из дроби:

a) $ \frac{x^2 - 5x + 3}{x - 5} - \frac{x^2 + 5x + 1}{x + 5} = \frac{1}{4}; $

б) $ \frac{x^2 + 6x + 10}{x + 3} - \frac{x^2 - 6x + 7}{x - 3} = 7\frac{1}{8}. $

а)

Исходное уравнение:

$\frac{x^2 - 5x + 3}{x - 5} - \frac{x^2 + 5x + 1}{x + 5} = \frac{1}{4}$

Область допустимых значений (ОДЗ): знаменатели дробей не могут быть равны нулю, следовательно, $x - 5 \neq 0$ и $x + 5 \neq 0$. Это означает, что $x \neq 5$ и $x \neq -5$.

Для упрощения уравнения выделим целую часть из каждой дроби. Это можно сделать, представив числитель в виде суммы или разности выражений, одно из которых делится на знаменатель без остатка.

Для первой дроби $\frac{x^2 - 5x + 3}{x - 5}$:

$\frac{x^2 - 5x + 3}{x - 5} = \frac{x(x - 5) + 3}{x - 5} = \frac{x(x - 5)}{x - 5} + \frac{3}{x - 5} = x + \frac{3}{x - 5}$

Для второй дроби $\frac{x^2 + 5x + 1}{x + 5}$:

$\frac{x^2 + 5x + 1}{x + 5} = \frac{x(x + 5) + 1}{x + 5} = \frac{x(x + 5)}{x + 5} + \frac{1}{x + 5} = x + \frac{1}{x + 5}$

Теперь подставим упрощенные выражения обратно в уравнение:

$(x + \frac{3}{x - 5}) - (x + \frac{1}{x + 5}) = \frac{1}{4}$

Раскроем скобки. Обратите внимание, что знак перед второй скобкой меняет знаки слагаемых внутри нее.

$x + \frac{3}{x - 5} - x - \frac{1}{x + 5} = \frac{1}{4}$

Переменные $x$ взаимно уничтожаются, и уравнение значительно упрощается:

$\frac{3}{x - 5} - \frac{1}{x + 5} = \frac{1}{4}$

Приведем дроби в левой части к общему знаменателю $(x - 5)(x + 5) = x^2 - 25$:

$\frac{3(x + 5) - 1(x - 5)}{(x - 5)(x + 5)} = \frac{1}{4}$

$\frac{3x + 15 - x + 5}{x^2 - 25} = \frac{1}{4}$

$\frac{2x + 20}{x^2 - 25} = \frac{1}{4}$

Решим полученное уравнение, используя свойство пропорции (перекрестное умножение):

$4(2x + 20) = 1(x^2 - 25)$

$8x + 80 = x^2 - 25$

Перенесем все члены уравнения в одну сторону, чтобы получить стандартное квадратное уравнение $ax^2 + bx + c = 0$:

$x^2 - 8x - 25 - 80 = 0$

$x^2 - 8x - 105 = 0$

Решим это уравнение с помощью дискриминанта $D = b^2 - 4ac$:

$D = (-8)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-105) = 64 + 420 = 484$

Так как $D > 0$, уравнение имеет два корня. $\sqrt{D} = \sqrt{484} = 22$.

Найдем корни:

$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{8 + 22}{2 \cdot 1} = \frac{30}{2} = 15$

$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{8 - 22}{2 \cdot 1} = \frac{-14}{2} = -7$

Проверим, удовлетворяют ли найденные корни ОДЗ ($x \neq 5, x \neq -5$). Оба корня $15$ и $-7$ удовлетворяют этому условию.

Ответ: $-7; 15$.

б)

Исходное уравнение:

$\frac{x^2 + 6x + 10}{x + 3} - \frac{x^2 - 6x + 7}{x - 3} = 7\frac{1}{8}$

ОДЗ: $x + 3 \neq 0 \implies x \neq -3$ и $x - 3 \neq 0 \implies x \neq 3$.

Преобразуем смешанное число в неправильную дробь: $7\frac{1}{8} = \frac{7 \cdot 8 + 1}{8} = \frac{57}{8}$.

Выделим целую часть из каждой дроби, используя формулы сокращенного умножения, чтобы упростить числители.

Для первой дроби $\frac{x^2 + 6x + 10}{x + 3}$:

$\frac{x^2 + 6x + 10}{x + 3} = \frac{(x^2 + 6x + 9) + 1}{x + 3} = \frac{(x + 3)^2 + 1}{x + 3} = \frac{(x + 3)^2}{x + 3} + \frac{1}{x + 3} = x + 3 + \frac{1}{x + 3}$

Для второй дроби $\frac{x^2 - 6x + 7}{x - 3}$:

$\frac{x^2 - 6x + 7}{x - 3} = \frac{(x^2 - 6x + 9) - 2}{x - 3} = \frac{(x - 3)^2 - 2}{x - 3} = \frac{(x - 3)^2}{x - 3} - \frac{2}{x - 3} = x - 3 - \frac{2}{x - 3}$

Подставим полученные выражения в уравнение:

$(x + 3 + \frac{1}{x + 3}) - (x - 3 - \frac{2}{x - 3}) = \frac{57}{8}$

Раскроем скобки:

$x + 3 + \frac{1}{x + 3} - x + 3 + \frac{2}{x - 3} = \frac{57}{8}$

Упростим левую часть:

$6 + \frac{1}{x + 3} + \frac{2}{x - 3} = \frac{57}{8}$

Перенесем константу $6$ в правую часть уравнения:

$\frac{1}{x + 3} + \frac{2}{x - 3} = \frac{57}{8} - 6 = \frac{57}{8} - \frac{48}{8} = \frac{9}{8}$

Приведем дроби к общему знаменателю $(x + 3)(x - 3) = x^2 - 9$:

$\frac{1(x - 3) + 2(x + 3)}{(x + 3)(x - 3)} = \frac{9}{8}$

$\frac{x - 3 + 2x + 6}{x^2 - 9} = \frac{9}{8}$

$\frac{3x + 3}{x^2 - 9} = \frac{9}{8}$

Применим свойство пропорции:

$8(3x + 3) = 9(x^2 - 9)$

$24x + 24 = 9x^2 - 81$

Соберем все члены в одной части, чтобы получить квадратное уравнение:

$9x^2 - 24x - 81 - 24 = 0$

$9x^2 - 24x - 105 = 0$

Все коэффициенты этого уравнения делятся на 3. Разделим обе части на 3 для упрощения:

$3x^2 - 8x - 35 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение через дискриминант $D = b^2 - 4ac$:

$D = (-8)^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-35) = 64 + 420 = 484 = 22^2$

Найдем корни:

$x_1 = \frac{-(-8) + 22}{2 \cdot 3} = \frac{8 + 22}{6} = \frac{30}{6} = 5$

$x_2 = \frac{-(-8) - 22}{2 \cdot 3} = \frac{8 - 22}{6} = \frac{-14}{6} = -\frac{7}{3}$

Оба корня $5$ и $-\frac{7}{3}$ удовлетворяют ОДЗ ($x \neq 3, x \neq -3$).

Ответ: $-\frac{7}{3}; 5$.