Страница 105 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

367. Найдите корни уравнения:

a) $ \frac{1}{x^2 - 6x + 8} - \frac{1}{x - 2} + \frac{10}{x^2 - 4} = 0; $

б) $ \frac{3}{x^2 - x - 6} + \frac{3}{x + 2} = \frac{7}{x^2 - 9}. $

Исходное уравнение: $\frac{1}{x^2 - 6x + 8} - \frac{1}{x - 2} + \frac{10}{x^2 - 4} = 0$.

Для начала разложим знаменатели на множители. Для знаменателя первой дроби $x^2 - 6x + 8$ найдем корни уравнения $x^2 - 6x + 8 = 0$. По теореме Виета, $x_1+x_2=6$ и $x_1 \cdot x_2=8$, откуда корни $x_1=2$ и $x_2=4$. Таким образом, $x^2 - 6x + 8 = (x-2)(x-4)$. Знаменатель третьей дроби $x^2 - 4$ является разностью квадратов: $x^2 - 4 = (x-2)(x+2)$.

Перепишем уравнение в новом виде:

$\frac{1}{(x - 2)(x - 4)} - \frac{1}{x - 2} + \frac{10}{(x - 2)(x + 2)} = 0$

Определим область допустимых значений (ОДЗ), исключив значения $x$, при которых знаменатели обращаются в ноль:
$x - 2 \neq 0 \implies x \neq 2$
$x - 4 \neq 0 \implies x \neq 4$
$x + 2 \neq 0 \implies x \neq -2$
Следовательно, ОДЗ: $x \notin \{-2, 2, 4\}$.

Общий знаменатель для всех дробей: $(x - 2)(x - 4)(x + 2)$. Умножим обе части уравнения на общий знаменатель, чтобы избавиться от дробей:

$1 \cdot (x + 2) - 1 \cdot (x - 4)(x + 2) + 10 \cdot (x - 4) = 0$

Раскроем скобки и упростим полученное выражение:

$x + 2 - (x^2 + 2x - 4x - 8) + 10x - 40 = 0$
$x + 2 - (x^2 - 2x - 8) + 10x - 40 = 0$
$x + 2 - x^2 + 2x + 8 + 10x - 40 = 0$

Приведем подобные слагаемые:

$-x^2 + (1+2+10)x + (2+8-40) = 0$
$-x^2 + 13x - 30 = 0$

Умножим обе части на $-1$, чтобы получить стандартный вид квадратного уравнения:

$x^2 - 13x + 30 = 0$

Решим это уравнение. Можно использовать теорему Виета ($x_1+x_2=13, x_1 \cdot x_2=30$), откуда $x_1=3, x_2=10$. Или найдем корни через дискриминант:
$D = b^2 - 4ac = (-13)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 30 = 169 - 120 = 49 = 7^2$
$x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{13 \pm 7}{2}$
$x_1 = \frac{13 + 7}{2} = \frac{20}{2} = 10$
$x_2 = \frac{13 - 7}{2} = \frac{6}{2} = 3$

Проверим, входят ли найденные корни в ОДЗ. Оба корня, $3$ и $10$, не совпадают с исключенными значениями $\{-2, 2, 4\}$, следовательно, являются решениями уравнения.

Ответ: $3; 10$.

Исходное уравнение: $\frac{3}{x^2 - x - 6} + \frac{3}{x + 2} = \frac{7}{x^2 - 9}$.

Разложим знаменатели на множители. Для $x^2 - x - 6$ найдем корни уравнения $x^2 - x - 6 = 0$. По теореме Виета, $x_1+x_2=1, x_1 \cdot x_2=-6$, откуда $x_1=3, x_2=-2$. Таким образом, $x^2 - x - 6 = (x-3)(x+2)$. Знаменатель $x^2 - 9$ раскладывается как разность квадратов: $x^2 - 9 = (x-3)(x+3)$.

Перепишем уравнение:

$\frac{3}{(x - 3)(x + 2)} + \frac{3}{x + 2} = \frac{7}{(x - 3)(x + 3)}$

Определим ОДЗ:
$x - 3 \neq 0 \implies x \neq 3$
$x + 2 \neq 0 \implies x \neq -2$
$x + 3 \neq 0 \implies x \neq -3$
ОДЗ: $x \notin \{-3, -2, 3\}$.

Общий знаменатель: $(x - 3)(x + 2)(x + 3)$. Умножим на него обе части уравнения:

$3(x+3) + 3(x-3)(x+3) = 7(x+2)$

Раскроем скобки и упростим:

$3x + 9 + 3(x^2 - 9) = 7x + 14$
$3x + 9 + 3x^2 - 27 = 7x + 14$

Перенесем все слагаемые в левую часть и приведем подобные:

$3x^2 + 3x - 7x + 9 - 27 - 14 = 0$
$3x^2 - 4x - 32 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение с помощью дискриминанта:
$D = b^2 - 4ac = (-4)^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-32) = 16 + 384 = 400 = 20^2$
$x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{4 \pm 20}{2 \cdot 3} = \frac{4 \pm 20}{6}$
$x_1 = \frac{4 + 20}{6} = \frac{24}{6} = 4$
$x_2 = \frac{4 - 20}{6} = \frac{-16}{6} = -\frac{8}{3}$

Проверим корни на соответствие ОДЗ. Оба корня, $4$ и $-\frac{8}{3}$, удовлетворяют условию $x \notin \{-3, -2, 3\}$, поэтому являются решениями уравнения.

Ответ: $-\frac{8}{3}; 4$.

368. Решите уравнение

$\frac{1}{x^3 - x^2 + x - 1} + \frac{4x^2 + 21}{x^3 + x^2 + x + 1} = \frac{4x^3 - 3x^2 + 14x - 4}{x^4 - 1}$

Для решения данного уравнения сначала разложим знаменатели на множители, чтобы найти область допустимых значений (ОДЗ) и общий знаменатель.

1. Разложение знаменателей на множители и ОДЗ

Знаменатель первой дроби:

$x^3 - x^2 + x - 1 = x^2(x - 1) + 1(x - 1) = (x - 1)(x^2 + 1)$

Знаменатель второй дроби:

$x^3 + x^2 + x + 1 = x^2(x + 1) + 1(x + 1) = (x + 1)(x^2 + 1)$

Знаменатель правой части:

$x^4 - 1 = (x^2 - 1)(x^2 + 1) = (x - 1)(x + 1)(x^2 + 1)$

Область допустимых значений (ОДЗ) определяется условиями, что знаменатели не равны нулю:

$(x - 1)(x^2 + 1) \neq 0 \implies x - 1 \neq 0 \implies x \neq 1$ (так как $x^2 + 1$ всегда больше 0)

$(x + 1)(x^2 + 1) \neq 0 \implies x + 1 \neq 0 \implies x \neq -1$

Таким образом, ОДЗ: $x \in (-\infty; -1) \cup (-1; 1) \cup (1; +\infty)$.

2. Преобразование уравнения

Перепишем исходное уравнение с разложенными знаменателями:

$$ \frac{1}{(x - 1)(x^2 + 1)} + \frac{4x^2 + 21}{(x + 1)(x^2 + 1)} = \frac{4x^3 - 3x^2 + 14x - 4}{(x - 1)(x + 1)(x^2 + 1)} $$

Общий знаменатель для всех дробей — это $(x - 1)(x + 1)(x^2 + 1)$. Умножим обе части уравнения на этот общий знаменатель, учитывая ОДЗ:

$$ 1 \cdot (x + 1) + (4x^2 + 21) \cdot (x - 1) = 4x^3 - 3x^2 + 14x - 4 $$

3. Решение полученного уравнения

Раскроем скобки в левой части уравнения:

$$ x + 1 + (4x^3 - 4x^2 + 21x - 21) = 4x^3 - 3x^2 + 14x - 4 $$

Приведем подобные слагаемые в левой части:

$$ 4x^3 - 4x^2 + 22x - 20 = 4x^3 - 3x^2 + 14x - 4 $$

Перенесем все члены уравнения в одну сторону (например, в правую), чтобы приравнять выражение к нулю:

$$ 0 = (4x^3 - 4x^3) + (-3x^2 + 4x^2) + (14x - 22x) + (-4 + 20) $$

$$ 0 = x^2 - 8x + 16 $$

Получили квадратное уравнение $x^2 - 8x + 16 = 0$.

Левая часть этого уравнения является полным квадратом разности:

$$ (x - 4)^2 = 0 $$

Это уравнение имеет единственный корень:

$$ x - 4 = 0 \implies x = 4 $$

4. Проверка корня

Найденный корень $x = 4$ необходимо проверить на соответствие ОДЗ ($x \neq 1$ и $x \neq -1$).

Так как $4 \neq 1$ и $4 \neq -1$, корень $x = 4$ является решением исходного уравнения.

Ответ: $4$

369. Найдите корни уравнения:

a) $x^2 = \frac{7x - 4}{4x - 7};$

б) $x^2 = \frac{5x - 3}{3x - 5}.$

а) $x^2 = \frac{7x - 4}{4x - 7}$

Данное уравнение является дробно-рациональным. Сначала определим область допустимых значений (ОДЗ). Знаменатель дроби не может быть равен нулю:
$4x - 7 \neq 0$
$4x \neq 7$
$x \neq \frac{7}{4}$

Теперь решим уравнение. Умножим обе части уравнения на знаменатель $(4x - 7)$, чтобы избавиться от дроби:
$x^2 (4x - 7) = 7x - 4$

Раскроем скобки и перенесем все члены в левую часть, чтобы получить кубическое уравнение:
$4x^3 - 7x^2 = 7x - 4$
$4x^3 - 7x^2 - 7x + 4 = 0$

Попробуем найти целые или рациональные корни этого уравнения. Возможные рациональные корни имеют вид $\frac{p}{q}$, где $p$ — делитель свободного члена (4), а $q$ — делитель старшего коэффициента (4). Проверим один из возможных корней, например, $x = -1$:
$4(-1)^3 - 7(-1)^2 - 7(-1) + 4 = 4(-1) - 7(1) + 7 + 4 = -4 - 7 + 7 + 4 = 0$
Так как получилось верное равенство, $x_1 = -1$ является корнем уравнения.

Теперь мы можем разделить многочлен $4x^3 - 7x^2 - 7x + 4$ на двучлен $(x + 1)$, чтобы найти остальные корни. В результате деления получаем квадратный трехчлен $4x^2 - 11x + 4$. Таким образом, уравнение можно переписать в виде:
$(x + 1)(4x^2 - 11x + 4) = 0$

Это произведение равно нулю, если один из множителей равен нулю. Мы уже нашли корень $x_1 = -1$ из первого множителя. Теперь приравняем к нулю второй множитель:
$4x^2 - 11x + 4 = 0$

Решим это квадратное уравнение с помощью дискриминанта:
$D = b^2 - 4ac = (-11)^2 - 4 \cdot 4 \cdot 4 = 121 - 64 = 57$
Так как $D > 0$, уравнение имеет два действительных корня:
$x_{2,3} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{11 \pm \sqrt{57}}{2 \cdot 4} = \frac{11 \pm \sqrt{57}}{8}$
Таким образом, мы получили еще два корня: $x_2 = \frac{11 + \sqrt{57}}{8}$ и $x_3 = \frac{11 - \sqrt{57}}{8}$.

Все найденные корни ($-1$, $\frac{11 + \sqrt{57}}{8}$, $\frac{11 - \sqrt{57}}{8}$) не равны $\frac{7}{4}$, следовательно, они входят в ОДЗ.

Ответ: $x_1 = -1$, $x_2 = \frac{11 + \sqrt{57}}{8}$, $x_3 = \frac{11 - \sqrt{57}}{8}$.

б) $x^2 = \frac{5x - 3}{3x - 5}$

Найдем область допустимых значений (ОДЗ). Знаменатель дроби не должен быть равен нулю:
$3x - 5 \neq 0$
$3x \neq 5$
$x \neq \frac{5}{3}$

Умножим обе части уравнения на знаменатель $(3x - 5)$:
$x^2 (3x - 5) = 5x - 3$

Преобразуем уравнение, перенеся все члены в левую часть:
$3x^3 - 5x^2 = 5x - 3$
$3x^3 - 5x^2 - 5x + 3 = 0$

Найдем один из корней подбором. Проверим $x = -1$:
$3(-1)^3 - 5(-1)^2 - 5(-1) + 3 = 3(-1) - 5(1) + 5 + 3 = -3 - 5 + 5 + 3 = 0$
Значит, $x_1 = -1$ является корнем уравнения.

Разделим многочлен $3x^3 - 5x^2 - 5x + 3$ на $(x + 1)$. В результате деления получим $3x^2 - 8x + 3$. Уравнение примет вид:
$(x + 1)(3x^2 - 8x + 3) = 0$

Один корень нам известен, $x_1 = -1$. Найдем остальные, решив квадратное уравнение:
$3x^2 - 8x + 3 = 0$

Вычислим дискриминант:
$D = b^2 - 4ac = (-8)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 3 = 64 - 36 = 28$
Так как $D > 0$, находим два корня:
$x_{2,3} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{8 \pm \sqrt{28}}{2 \cdot 3} = \frac{8 \pm 2\sqrt{7}}{6} = \frac{2(4 \pm \sqrt{7})}{6} = \frac{4 \pm \sqrt{7}}{3}$
Получаем еще два корня: $x_2 = \frac{4 + \sqrt{7}}{3}$ и $x_3 = \frac{4 - \sqrt{7}}{3}$.

Все три корня ($-1$, $\frac{4 + \sqrt{7}}{3}$, $\frac{4 - \sqrt{7}}{3}$) удовлетворяют условию ОДЗ ($x \neq \frac{5}{3}$).

Ответ: $x_1 = -1$, $x_2 = \frac{4 + \sqrt{7}}{3}$, $x_3 = \frac{4 - \sqrt{7}}{3}$.

370. Решите уравнение, обозначив одно из слагаемых через t, а другое через $\frac{1}{t}$:

а) $\frac{x^2+1}{x} + \frac{x}{x^2+1} = 2\frac{1}{2}$;

б) $\frac{x^2+2}{3x-2} + \frac{3x-2}{x^2+2} = 2\frac{1}{6}$.

а)

Дано уравнение: $ \frac{x^2 + 1}{x} + \frac{x}{x^2 + 1} = 2\frac{1}{2} $.

Заметим, что слагаемые в левой части уравнения являются взаимно обратными выражениями. Следуя указанию, введем замену переменной.

Пусть $ t = \frac{x^2 + 1}{x} $. Тогда второе слагаемое $ \frac{x}{x^2 + 1} $ будет равно $ \frac{1}{t} $.

Определим область допустимых значений (ОДЗ) для переменной $x$. Знаменатели дробей не могут быть равны нулю: $ x \neq 0 $ и $ x^2 + 1 \neq 0 $. Выражение $x^2 + 1$ всегда положительно для любого действительного $x$, поэтому единственное ограничение — $ x \neq 0 $.

Подставим новую переменную в уравнение. Смешанное число $2\frac{1}{2}$ представим в виде неправильной дроби $ \frac{5}{2} $.

$ t + \frac{1}{t} = \frac{5}{2} $

Умножим обе части уравнения на $2t$, чтобы избавиться от знаменателей. Это возможно, так как $t \neq 0$ (поскольку $x^2+1 \neq 0$).

$ 2t \cdot t + 2t \cdot \frac{1}{t} = 2t \cdot \frac{5}{2} $

$ 2t^2 + 2 = 5t $

Перенесем все члены в левую часть, чтобы получить стандартное квадратное уравнение:

$ 2t^2 - 5t + 2 = 0 $

Решим это уравнение относительно $t$ с помощью дискриминанта:

$ D = b^2 - 4ac = (-5)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 2 = 25 - 16 = 9 $.

Корни уравнения для $t$:

$ t_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{5 + \sqrt{9}}{2 \cdot 2} = \frac{5 + 3}{4} = \frac{8}{4} = 2 $

$ t_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{5 - \sqrt{9}}{2 \cdot 2} = \frac{5 - 3}{4} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2} $

Теперь необходимо выполнить обратную замену для каждого найденного значения $t$.

Случай 1: $ t = 2 $.

$ \frac{x^2 + 1}{x} = 2 $

$ x^2 + 1 = 2x $

$ x^2 - 2x + 1 = 0 $

Это полный квадрат разности: $ (x - 1)^2 = 0 $.

Отсюда $ x - 1 = 0 $, то есть $ x = 1 $. Этот корень удовлетворяет ОДЗ ($ x \neq 0 $).

Случай 2: $ t = \frac{1}{2} $.

$ \frac{x^2 + 1}{x} = \frac{1}{2} $

$ 2(x^2 + 1) = x $

$ 2x^2 + 2 = x $

$ 2x^2 - x + 2 = 0 $

Найдем дискриминант этого квадратного уравнения:

$ D = (-1)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 2 = 1 - 16 = -15 $.

Так как дискриминант $ D < 0 $, это уравнение не имеет действительных корней.

Следовательно, исходное уравнение имеет только один корень.

Ответ: $1$.

б)

Дано уравнение: $ \frac{x^2 + 2}{3x - 2} + \frac{3x - 2}{x^2 + 2} = 2\frac{1}{6} $.

Аналогично предыдущему пункту, слагаемые в левой части являются взаимно обратными. Введем замену.

Пусть $ t = \frac{x^2 + 2}{3x - 2} $. Тогда $ \frac{3x - 2}{x^2 + 2} = \frac{1}{t} $.

ОДЗ: знаменатели не должны быть равны нулю. $ 3x - 2 \neq 0 \implies x \neq \frac{2}{3} $. Знаменатель $ x^2 + 2 $ всегда больше нуля.

Подставим $t$ в уравнение, предварительно переведя $2\frac{1}{6}$ в неправильную дробь $ \frac{13}{6} $.

$ t + \frac{1}{t} = \frac{13}{6} $

Умножим обе части на $6t$ (при $t \neq 0$):

$ 6t^2 + 6 = 13t $

Приведем к стандартному виду квадратного уравнения:

$ 6t^2 - 13t + 6 = 0 $

Найдем дискриминант:

$ D = b^2 - 4ac = (-13)^2 - 4 \cdot 6 \cdot 6 = 169 - 144 = 25 $.

Корни уравнения для $t$:

$ t_1 = \frac{13 + \sqrt{25}}{2 \cdot 6} = \frac{13 + 5}{12} = \frac{18}{12} = \frac{3}{2} $

$ t_2 = \frac{13 - \sqrt{25}}{2 \cdot 6} = \frac{13 - 5}{12} = \frac{8}{12} = \frac{2}{3} $

Выполним обратную замену для каждого значения $t$.

Случай 1: $ t = \frac{3}{2} $.

$ \frac{x^2 + 2}{3x - 2} = \frac{3}{2} $

Используем свойство пропорции:

$ 2(x^2 + 2) = 3(3x - 2) $

$ 2x^2 + 4 = 9x - 6 $

$ 2x^2 - 9x + 10 = 0 $

Решим это квадратное уравнение. Дискриминант:

$ D = (-9)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 10 = 81 - 80 = 1 $.

Корни:

$ x_1 = \frac{9 + \sqrt{1}}{2 \cdot 2} = \frac{10}{4} = \frac{5}{2} = 2,5 $

$ x_2 = \frac{9 - \sqrt{1}}{2 \cdot 2} = \frac{8}{4} = 2 $

Оба корня ($2$ и $2,5$) удовлетворяют ОДЗ ($ x \neq \frac{2}{3} $).

Случай 2: $ t = \frac{2}{3} $.

$ \frac{x^2 + 2}{3x - 2} = \frac{2}{3} $

$ 3(x^2 + 2) = 2(3x - 2) $

$ 3x^2 + 6 = 6x - 4 $

$ 3x^2 - 6x + 10 = 0 $

Найдем дискриминант:

$ D = (-6)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 10 = 36 - 120 = -84 $.

Так как $ D < 0 $, это уравнение не имеет действительных корней.

Следовательно, решениями исходного уравнения являются $x=2$ и $x=2,5$.

Ответ: $2; 2,5$.

371. Решите уравнение, используя подстановку $y = x^2$:

a) $\frac{x^4}{x^2 - 2} + \frac{1 - 4x^2}{2 - x^2} + 4 = 0;$

б) $\frac{x^2 + 3}{x^2 + 1} + \frac{2}{x^2 - 4} + \frac{10}{x^4 - 3x^2 - 4} = 0.$

Исходное уравнение:$ \frac{x^4}{x^2 - 2} + \frac{1 - 4x^2}{2 - x^2} + 4 = 0 $

Заметим, что знаменатель второй дроби можно представить в виде $2 - x^2 = -(x^2 - 2)$. Преобразуем уравнение, вынеся минус перед дробью:$ \frac{x^4}{x^2 - 2} - \frac{1 - 4x^2}{x^2 - 2} + 4 = 0 $

Область допустимых значений (ОДЗ) определяется условием, что знаменатель не равен нулю: $x^2 - 2 \neq 0$, то есть $x^2 \neq 2$, откуда $x \neq \pm\sqrt{2}$.

Теперь, когда знаменатели одинаковы, объединим дроби:$ \frac{x^4 - (1 - 4x^2)}{x^2 - 2} + 4 = 0 $$ \frac{x^4 + 4x^2 - 1}{x^2 - 2} + 4 = 0 $

Согласно условию, введем замену $y = x^2$. Поскольку квадрат любого действительного числа неотрицателен, должно выполняться условие $y \ge 0$. Также из ОДЗ следует, что $y \neq 2$. Уравнение принимает вид:$ \frac{y^2 + 4y - 1}{y - 2} + 4 = 0 $

Чтобы решить это уравнение, приведем все члены к общему знаменателю $y - 2$:$ \frac{y^2 + 4y - 1 + 4(y - 2)}{y - 2} = 0 $$ \frac{y^2 + 4y - 1 + 4y - 8}{y - 2} = 0 $$ \frac{y^2 + 8y - 9}{y - 2} = 0 $

Дробь равна нулю тогда и только тогда, когда ее числитель равен нулю, а знаменатель отличен от нуля. Приравниваем числитель к нулю:$ y^2 + 8y - 9 = 0 $

Решим это квадратное уравнение. По теореме Виета, сумма корней равна $-8$, а их произведение равно $-9$. Легко подобрать корни: $y_1 = 1$ и $y_2 = -9$.

Проверим найденные корни на соответствие условиям $y \ge 0$ и $y \neq 2$:

• $y_1 = 1$: условие $1 \ge 0$ выполнено, и $1 \neq 2$ также выполнено. Следовательно, этот корень подходит.
• $y_2 = -9$: условие $-9 \ge 0$ не выполнено. Этот корень является посторонним.

Таким образом, у нас есть единственное решение для $y$: $y=1$.

Теперь выполним обратную замену, чтобы найти $x$:$ x^2 = 1 $Отсюда получаем два корня: $x_1 = 1$ и $x_2 = -1$.

Оба корня удовлетворяют ОДЗ ($x \neq \pm\sqrt{2}$).

Ответ: $x = \pm 1$.

Исходное уравнение:$ \frac{x^2 + 3}{x^2 + 1} + \frac{2}{x^2 - 4} + \frac{10}{x^4 - 3x^2 - 4} = 0 $

Определим область допустимых значений (ОДЗ), исключив значения $x$, при которых знаменатели обращаются в ноль:

• $x^2 + 1 \neq 0$: это выражение всегда больше или равно 1, поэтому оно никогда не равно нулю для действительных $x$.
• $x^2 - 4 \neq 0 \implies (x-2)(x+2) \neq 0 \implies x \neq \pm 2$.
• $x^4 - 3x^2 - 4 \neq 0$: разложим этот многочлен на множители. Сделав замену $t = x^2$, получим $t^2 - 3t - 4$. Корнями уравнения $t^2 - 3t - 4 = 0$ являются $t_1=4$ и $t_2=-1$. Значит, $x^4 - 3x^2 - 4 = (x^2 - 4)(x^2 + 1)$. Условие $(x^2 - 4)(x^2 + 1) \neq 0$ сводится к уже рассмотренным $x^2-4 \neq 0$ и $x^2+1 \neq 0$.

Итак, ОДЗ: $x \neq \pm 2$.

Введем замену $y = x^2$. Учитывая, что $x^2 \ge 0$, имеем $y \ge 0$. Из ОДЗ также следует, что $x^2 \neq 4$, то есть $y \neq 4$. Запишем уравнение с новой переменной, используя разложение знаменателя:$ \frac{y + 3}{y + 1} + \frac{2}{y - 4} + \frac{10}{(y+1)(y-4)} = 0 $

Приведем все дроби к общему знаменателю $(y+1)(y-4)$:$ \frac{(y + 3)(y - 4)}{(y+1)(y-4)} + \frac{2(y + 1)}{(y+1)(y-4)} + \frac{10}{(y+1)(y-4)} = 0 $

Теперь мы можем сложить числители:$ \frac{(y + 3)(y - 4) + 2(y + 1) + 10}{(y+1)(y-4)} = 0 $

Раскроем скобки в числителе и приведем подобные слагаемые:$ (y^2 - 4y + 3y - 12) + (2y + 2) + 10 = 0 $$ y^2 - y - 12 + 2y + 12 = 0 $$ y^2 + y = 0 $

Вынесем $y$ за скобки:$ y(y + 1) = 0 $

Это уравнение имеет два корня: $y_1 = 0$ и $y_2 = -1$.

Проверим эти корни на соответствие условиям для переменной $y$: $y \ge 0$, $y \neq 4$. Также из знаменателя уравнения с $y$ следует, что $y \neq -1$.

• $y_1 = 0$: условие $0 \ge 0$ выполнено. Условия $0 \neq 4$ и $0 \neq -1$ также выполнены. Этот корень подходит.
• $y_2 = -1$: условие $-1 \ge 0$ не выполнено. Кроме того, это значение делает знаменатель равным нулю, поэтому это посторонний корень.

Единственное подходящее значение для $y$ - это $y=0$.

Выполним обратную замену:$ x^2 = 0 $$ x = 0 $

Проверим найденный корень по ОДЗ: $0 \neq \pm 2$. Условие выполняется.

Ответ: $x=0$.

372. Решите уравнение:

а) $(\frac{x+1}{x-2})^2 - 16(\frac{x-2}{x+1})^2 = 15;$

б) $(\frac{x+3}{x-5})^2 - 9(\frac{x-5}{x+3})^2 = 8.$

а) Исходное уравнение: $ \left(\frac{x+1}{x-2}\right)^2 - 16\left(\frac{x-2}{x+1}\right)^2 = 15 $.

Область допустимых значений (ОДЗ) определяется условиями, что знаменатели не равны нулю: $x-2 \neq 0$ и $x+1 \neq 0$. Отсюда следует, что $x \neq 2$ и $x \neq -1$.

Данное уравнение является биквадратным относительно дроби. Чтобы его решить, введем замену. Пусть $y = \left(\frac{x+1}{x-2}\right)^2$. Тогда обратная дробь в квадрате будет равна $\left(\frac{x-2}{x+1}\right)^2 = \frac{1}{y}$.

Подставим новую переменную в уравнение:

$ y - \frac{16}{y} = 15 $

Так как $y$ является квадратом выражения, $y \ge 0$. Также $y \neq 0$, иначе второе слагаемое не определено. Домножим обе части уравнения на $y$ (при $y \neq 0$), чтобы избавиться от знаменателя:

$ y^2 - 16 = 15y $

Перенесем все члены в одну сторону, чтобы получить стандартное квадратное уравнение:

$ y^2 - 15y - 16 = 0 $

Решим это уравнение с помощью дискриминанта или по теореме Виета. По теореме Виета, сумма корней равна 15, а произведение -16. Легко подобрать корни: $y_1 = 16$ и $y_2 = -1$.

Корень $y_2 = -1$ не удовлетворяет условию $y \ge 0$, поэтому он является посторонним. Остается один корень $y_1 = 16$.

Выполним обратную замену:

$ \left(\frac{x+1}{x-2}\right)^2 = 16 $

Извлечем квадратный корень из обеих частей уравнения. Это приведет к двум возможным случаям:

$ \frac{x+1}{x-2} = 4 \quad \text{или} \quad \frac{x+1}{x-2} = -4 $

Решим каждое из этих линейных уравнений:
1) $ \frac{x+1}{x-2} = 4 $
$ x+1 = 4(x-2) $
$ x+1 = 4x - 8 $
$ 9 = 3x $
$ x_1 = 3 $
Этот корень удовлетворяет ОДЗ ($3 \neq 2$ и $3 \neq -1$).

2) $ \frac{x+1}{x-2} = -4 $
$ x+1 = -4(x-2) $
$ x+1 = -4x + 8 $
$ 5x = 7 $
$ x_2 = \frac{7}{5} $
Этот корень также удовлетворяет ОДЗ ($\frac{7}{5} \neq 2$ и $\frac{7}{5} \neq -1$).

Таким образом, уравнение имеет два корня.
Ответ: $3; \frac{7}{5}$.

б) Исходное уравнение: $ \left(\frac{x+3}{x-5}\right)^2 - 9\left(\frac{x-5}{x+3}\right)^2 = 8 $.

ОДЗ: $x-5 \neq 0$ и $x+3 \neq 0$, следовательно, $x \neq 5$ и $x \neq -3$.

Аналогично предыдущему пункту, введем замену. Пусть $y = \left(\frac{x+3}{x-5}\right)^2$. Тогда $\left(\frac{x-5}{x+3}\right)^2 = \frac{1}{y}$.

Подставляем в уравнение:

$ y - \frac{9}{y} = 8 $

Умножим на $y$ (при $y \neq 0$):

$ y^2 - 9 = 8y $

Приведем к стандартному виду:

$ y^2 - 8y - 9 = 0 $

Решим полученное квадратное уравнение. По теореме Виета, сумма корней равна 8, а произведение -9. Корни: $y_1 = 9$ и $y_2 = -1$.

Корень $y_2 = -1$ является посторонним, так как $y = \left(\frac{x+3}{x-5}\right)^2 \ge 0$.

Рассмотрим $y_1 = 9$ и сделаем обратную замену:

$ \left(\frac{x+3}{x-5}\right)^2 = 9 $

Извлекаем квадратный корень:

$ \frac{x+3}{x-5} = 3 \quad \text{или} \quad \frac{x+3}{x-5} = -3 $

Решим каждое уравнение:
1) $ \frac{x+3}{x-5} = 3 $
$ x+3 = 3(x-5) $
$ x+3 = 3x - 15 $
$ 18 = 2x $
$ x_1 = 9 $
Корень удовлетворяет ОДЗ ($9 \neq 5$ и $9 \neq -3$).

2) $ \frac{x+3}{x-5} = -3 $
$ x+3 = -3(x-5) $
$ x+3 = -3x + 15 $
$ 4x = 12 $
$ x_2 = 3 $
Корень удовлетворяет ОДЗ ($3 \neq 5$ и $3 \neq -3$).

Уравнение имеет два корня.
Ответ: $9; 3$.

373. Решите уравнение, используя введение новой переменной:

a) $2\left(x^{2}+\frac{1}{x^{2}}\right)-\left(x+\frac{1}{x}\right)=2;$

б) $9x^{2}-18x+\frac{9}{x^{2}}-\frac{18}{x}=22.$

а) Решим уравнение $2\left(x^2 + \frac{1}{x^2}\right) - \left(x + \frac{1}{x}\right) = 2$.

Область допустимых значений (ОДЗ) для этого уравнения: $x \ne 0$.

Введем новую переменную. Пусть $t = x + \frac{1}{x}$.

Чтобы выразить $x^2 + \frac{1}{x^2}$ через $t$, возведем обе части замены в квадрат:

$t^2 = \left(x + \frac{1}{x}\right)^2 = x^2 + 2 \cdot x \cdot \frac{1}{x} + \frac{1}{x^2} = x^2 + 2 + \frac{1}{x^2}$

Отсюда получаем: $x^2 + \frac{1}{x^2} = t^2 - 2$.

Теперь подставим выражения с $t$ в исходное уравнение:

$2(t^2 - 2) - t = 2$

Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые, чтобы получить квадратное уравнение относительно $t$:

$2t^2 - 4 - t = 2$

$2t^2 - t - 6 = 0$

Решим это уравнение с помощью дискриминанта:

$D = b^2 - 4ac = (-1)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-6) = 1 + 48 = 49 = 7^2$

Корни для $t$:

$t_1 = \frac{-(-1) + 7}{2 \cdot 2} = \frac{8}{4} = 2$

$t_2 = \frac{-(-1) - 7}{2 \cdot 2} = \frac{-6}{4} = -\frac{3}{2}$

Выполним обратную замену для каждого значения $t$.

1) При $t = 2$:

$x + \frac{1}{x} = 2$

Умножим на $x$ (с учетом ОДЗ $x \ne 0$):

$x^2 + 1 = 2x$

$x^2 - 2x + 1 = 0$

$(x-1)^2 = 0$

$x = 1$

2) При $t = -\frac{3}{2}$:

$x + \frac{1}{x} = -\frac{3}{2}$

Умножим на $2x$ (с учетом ОДЗ $x \ne 0$):

$2x^2 + 2 = -3x$

$2x^2 + 3x + 2 = 0$

Дискриминант этого уравнения: $D = 3^2 - 4 \cdot 2 \cdot 2 = 9 - 16 = -7$.

Так как $D < 0$, в этом случае действительных корней нет.

Следовательно, у исходного уравнения есть только один корень.

Ответ: $1$.

б) Решим уравнение $9x^2 - 18x + \frac{9}{x^2} - \frac{18}{x} = 22$.

Область допустимых значений (ОДЗ): $x \ne 0$.

Сгруппируем слагаемые в левой части уравнения:

$\left(9x^2 + \frac{9}{x^2}\right) - \left(18x + \frac{18}{x}\right) = 22$

Вынесем общие множители за скобки:

$9\left(x^2 + \frac{1}{x^2}\right) - 18\left(x + \frac{1}{x}\right) = 22$

Как и в предыдущем пункте, введем замену $t = x + \frac{1}{x}$, из которой следует, что $x^2 + \frac{1}{x^2} = t^2 - 2$.

Подставим эти выражения в преобразованное уравнение:

$9(t^2 - 2) - 18t = 22$

Раскроем скобки и решим полученное квадратное уравнение:

$9t^2 - 18 - 18t = 22$

$9t^2 - 18t - 40 = 0$

Найдем дискриминант:

$D = (-18)^2 - 4 \cdot 9 \cdot (-40) = 324 + 1440 = 1764 = 42^2$

Корни для $t$:

$t_1 = \frac{18 + 42}{2 \cdot 9} = \frac{60}{18} = \frac{10}{3}$

$t_2 = \frac{18 - 42}{2 \cdot 9} = \frac{-24}{18} = -\frac{4}{3}$

Выполним обратную замену для каждого значения $t$.

1) При $t = \frac{10}{3}$:

$x + \frac{1}{x} = \frac{10}{3}$

Умножим на $3x$ (с учетом ОДЗ $x \ne 0$):

$3x^2 + 3 = 10x$

$3x^2 - 10x + 3 = 0$

Дискриминант: $D = (-10)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 3 = 100 - 36 = 64 = 8^2$.

Корни для $x$:

$x_1 = \frac{10 + 8}{2 \cdot 3} = \frac{18}{6} = 3$

$x_2 = \frac{10 - 8}{2 \cdot 3} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$

2) При $t = -\frac{4}{3}$:

$x + \frac{1}{x} = -\frac{4}{3}$

Умножим на $3x$ (с учетом ОДЗ $x \ne 0$):

$3x^2 + 3 = -4x$

$3x^2 + 4x + 3 = 0$

Дискриминант: $D = 4^2 - 4 \cdot 3 \cdot 3 = 16 - 36 = -20$.

Так как $D < 0$, в этом случае действительных корней нет.

Следовательно, у исходного уравнения есть два корня.

Ответ: $3; \frac{1}{3}$.

374. При каких значениях $a$ сумма чисел $a$ и $\frac{1}{a}$ в $3\frac{1}{4}$ раза меньше суммы их кубов?

Пусть даны числа $a$ и $\frac{1}{a}$. По определению дроби, $a \ne 0$.

Сумма этих чисел равна $S = a + \frac{1}{a}$.

Сумма их кубов равна $C = a^3 + \left(\frac{1}{a}\right)^3 = a^3 + \frac{1}{a^3}$.

Согласно условию задачи, сумма чисел в $3\frac{1}{4}$ раза меньше суммы их кубов. Это означает, что сумма кубов равна произведению суммы чисел на $3\frac{1}{4}$. Запишем это в виде уравнения:

$C = 3\frac{1}{4} \cdot S$

$a^3 + \frac{1}{a^3} = 3\frac{1}{4} \cdot \left(a + \frac{1}{a}\right)$

Преобразуем смешанную дробь в неправильную: $3\frac{1}{4} = \frac{3 \cdot 4 + 1}{4} = \frac{13}{4}$.

Уравнение примет вид:

$a^3 + \frac{1}{a^3} = \frac{13}{4}\left(a + \frac{1}{a}\right)$

Используем формулу суммы кубов $x^3 + y^3 = (x+y)(x^2-xy+y^2)$. Применим ее к левой части уравнения, где $x=a$ и $y=\frac{1}{a}$:

$a^3 + \frac{1}{a^3} = \left(a + \frac{1}{a}\right)\left(a^2 - a \cdot \frac{1}{a} + \frac{1}{a^2}\right) = \left(a + \frac{1}{a}\right)\left(a^2 - 1 + \frac{1}{a^2}\right)$

Подставим полученное выражение в наше уравнение:

$\left(a + \frac{1}{a}\right)\left(a^2 - 1 + \frac{1}{a^2}\right) = \frac{13}{4}\left(a + \frac{1}{a}\right)$

Перенесем все слагаемые в одну сторону:

$\left(a + \frac{1}{a}\right)\left(a^2 - 1 + \frac{1}{a^2}\right) - \frac{13}{4}\left(a + \frac{1}{a}\right) = 0$

Вынесем общий множитель $\left(a + \frac{1}{a}\right)$ за скобки:

$\left(a + \frac{1}{a}\right) \left[ \left(a^2 - 1 + \frac{1}{a^2}\right) - \frac{13}{4} \right] = 0$

Произведение равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Это приводит к двум независимым уравнениям.

1) $a + \frac{1}{a} = 0$. Умножим обе части на $a$ (так как $a \ne 0$): $a^2 + 1 = 0$, или $a^2 = -1$. Это уравнение не имеет решений в области действительных чисел.

2) $a^2 - 1 + \frac{1}{a^2} - \frac{13}{4} = 0$. Сгруппируем члены:

$a^2 + \frac{1}{a^2} - \left(1 + \frac{13}{4}\right) = 0$

$a^2 + \frac{1}{a^2} - \left(\frac{4}{4} + \frac{13}{4}\right) = 0$

$a^2 + \frac{1}{a^2} - \frac{17}{4} = 0 \implies a^2 + \frac{1}{a^2} = \frac{17}{4}$

Для решения этого уравнения удобно ввести замену. Пусть $t = a + \frac{1}{a}$. Тогда $t^2 = \left(a + \frac{1}{a}\right)^2 = a^2 + 2 \cdot a \cdot \frac{1}{a} + \frac{1}{a^2} = a^2 + 2 + \frac{1}{a^2}$. Отсюда можно выразить $a^2 + \frac{1}{a^2} = t^2 - 2$.

Подставим это в уравнение:

$t^2 - 2 = \frac{17}{4}$

$t^2 = \frac{17}{4} + 2 = \frac{17}{4} + \frac{8}{4} = \frac{25}{4}$

$t = \pm\sqrt{\frac{25}{4}} = \pm\frac{5}{2}$

Теперь выполним обратную замену для каждого значения $t$.

Если $t = \frac{5}{2}$, то $a + \frac{1}{a} = \frac{5}{2}$. Умножим на $2a$: $2a^2 + 2 = 5a$, что дает квадратное уравнение $2a^2 - 5a + 2 = 0$. Его дискриминант $D = (-5)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 2 = 25 - 16 = 9$. Корни: $a = \frac{5 \pm \sqrt{9}}{4} = \frac{5 \pm 3}{4}$. Получаем $a_1 = \frac{8}{4} = 2$ и $a_2 = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$.

Если $t = -\frac{5}{2}$, то $a + \frac{1}{a} = -\frac{5}{2}$. Умножим на $2a$: $2a^2 + 2 = -5a$, что дает квадратное уравнение $2a^2 + 5a + 2 = 0$. Его дискриминант $D = 5^2 - 4 \cdot 2 \cdot 2 = 25 - 16 = 9$. Корни: $a = \frac{-5 \pm \sqrt{9}}{4} = \frac{-5 \pm 3}{4}$. Получаем $a_3 = \frac{-2}{4} = -\frac{1}{2}$ и $a_4 = \frac{-8}{4} = -2$.

Следовательно, существует четыре значения $a$, удовлетворяющих условию задачи.

Ответ: $a \in \left\{-2; -0,5; 0,5; 2\right\}$.

375. Решите уравнение:

a) $x^3 + \frac{1}{x^3} = 22\left(x + \frac{1}{x}\right)$;

б) $x^3 - \frac{1}{x^3} = 19\left(x - \frac{1}{x}\right)$.

а) $x^3 + \frac{1}{x^3} = 22(x + \frac{1}{x})$

Данное уравнение является возвратным. Область допустимых значений (ОДЗ) для переменной $x$ определяется условием $x \neq 0$.

Для решения введем новую переменную. Пусть $y = x + \frac{1}{x}$.

Теперь необходимо выразить левую часть уравнения, $x^3 + \frac{1}{x^3}$, через $y$. Для этого воспользуемся формулой куба суммы $(a+b)^3 = a^3+b^3+3ab(a+b)$, из которой следует, что $a^3+b^3 = (a+b)^3 - 3ab(a+b)$.

Применив эту формулу для $a=x$ и $b=\frac{1}{x}$, получим:

$x^3 + \frac{1}{x^3} = (x + \frac{1}{x})^3 - 3 \cdot x \cdot \frac{1}{x} (x + \frac{1}{x}) = (x + \frac{1}{x})^3 - 3(x + \frac{1}{x})$.

Так как $y = x + \frac{1}{x}$, то:

$x^3 + \frac{1}{x^3} = y^3 - 3y$.

Подставим полученные выражения в исходное уравнение:

$y^3 - 3y = 22y$.

Перенесем все слагаемые в левую часть и решим полученное кубическое уравнение относительно $y$:

$y^3 - 3y - 22y = 0$

$y^3 - 25y = 0$

Вынесем $y$ за скобки:

$y(y^2 - 25) = 0$

Разложим на множители, используя формулу разности квадратов:

$y(y - 5)(y + 5) = 0$.

Это уравнение имеет три корня:

$y_1 = 0$, $y_2 = 5$, $y_3 = -5$.

Теперь необходимо выполнить обратную замену для каждого найденного значения $y$.

1. При $y = 0$:

$x + \frac{1}{x} = 0$.

Умножим обе части на $x$:

$x^2 + 1 = 0$, или $x^2 = -1$.

Данное уравнение не имеет решений в области действительных чисел.

2. При $y = 5$:

$x + \frac{1}{x} = 5$.

Умножим обе части на $x$ и перенесем все в левую часть:

$x^2 - 5x + 1 = 0$.

Решим это квадратное уравнение с помощью дискриминанта: $D = b^2 - 4ac = (-5)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 1 = 25 - 4 = 21$.

Корни уравнения: $x_{1,2} = \frac{-(-5) \pm \sqrt{21}}{2 \cdot 1} = \frac{5 \pm \sqrt{21}}{2}$.

3. При $y = -5$:

$x + \frac{1}{x} = -5$.

$x^2 + 5x + 1 = 0$.

Дискриминант: $D = 5^2 - 4 \cdot 1 \cdot 1 = 25 - 4 = 21$.

Корни уравнения: $x_{3,4} = \frac{-5 \pm \sqrt{21}}{2 \cdot 1} = \frac{-5 \pm \sqrt{21}}{2}$.

Ответ: $\frac{5 \pm \sqrt{21}}{2}; \frac{-5 \pm \sqrt{21}}{2}$.

б) $x^3 - \frac{1}{x^3} = 19(x - \frac{1}{x})$

ОДЗ: $x \neq 0$.

Данное уравнение также решается методом замены переменной. Пусть $z = x - \frac{1}{x}$.

Выразим $x^3 - \frac{1}{x^3}$ через $z$. Воспользуемся формулой куба разности $(a-b)^3 = a^3-b^3-3ab(a-b)$, откуда $a^3-b^3 = (a-b)^3 + 3ab(a-b)$.

Для $a=x$ и $b=\frac{1}{x}$ получаем:

$x^3 - \frac{1}{x^3} = (x - \frac{1}{x})^3 + 3 \cdot x \cdot \frac{1}{x} (x - \frac{1}{x}) = (x - \frac{1}{x})^3 + 3(x - \frac{1}{x})$.

Подставляя $z = x - \frac{1}{x}$, имеем:

$x^3 - \frac{1}{x^3} = z^3 + 3z$.

Подставим это в исходное уравнение:

$z^3 + 3z = 19z$.

Решим уравнение относительно $z$:

$z^3 + 3z - 19z = 0$

$z^3 - 16z = 0$

$z(z^2 - 16) = 0$

$z(z - 4)(z + 4) = 0$.

Корни этого уравнения:

$z_1 = 0$, $z_2 = 4$, $z_3 = -4$.

Выполним обратную замену для каждого значения $z$.

1. При $z = 0$:

$x - \frac{1}{x} = 0$.

$x^2 - 1 = 0$, или $x^2 = 1$.

Отсюда $x_{1,2} = \pm 1$.

2. При $z = 4$:

$x - \frac{1}{x} = 4$.

$x^2 - 4x - 1 = 0$.

Дискриминант: $D = (-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-1) = 16 + 4 = 20$.

Корни: $x_{3,4} = \frac{4 \pm \sqrt{20}}{2} = \frac{4 \pm 2\sqrt{5}}{2} = 2 \pm \sqrt{5}$.

3. При $z = -4$:

$x - \frac{1}{x} = -4$.

$x^2 + 4x - 1 = 0$.

Дискриминант: $D = 4^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-1) = 16 + 4 = 20$.

Корни: $x_{5,6} = \frac{-4 \pm \sqrt{20}}{2} = \frac{-4 \pm 2\sqrt{5}}{2} = -2 \pm \sqrt{5}$.

Ответ: $\pm 1; 2 \pm \sqrt{5}; -2 \pm \sqrt{5}$.

376. Решите неравенство:

а) $x^2 - 5x - 50 < 0;$

б) $-m^2 - 8m + 9 \ge 0;$

в) $3y^2 + 4y - 4 > 0;$

г) $8p^2 + 2p \ge 21;$

д) $12x - 9 \le 4x^2;$

е) $-9x^2 < 1 - 6x.$

а) $x^2 - 5x - 50 < 0$

Для решения квадратного неравенства сначала найдем корни соответствующего квадратного уравнения $x^2 - 5x - 50 = 0$. Это можно сделать с помощью дискриминанта.

Формула дискриминанта: $D = b^2 - 4ac$.

$D = (-5)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-50) = 25 + 200 = 225$.

Так как $D > 0$, уравнение имеет два различных корня. $\sqrt{D} = \sqrt{225} = 15$.

Формула для нахождения корней: $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$.

$x_1 = \frac{5 - 15}{2 \cdot 1} = \frac{-10}{2} = -5$.

$x_2 = \frac{5 + 15}{2 \cdot 1} = \frac{20}{2} = 10$.

Корни -5 и 10 разбивают числовую прямую на три интервала: $(-\infty; -5)$, $(-5; 10)$ и $(10; +\infty)$.

Так как коэффициент при $x^2$ равен 1 (положительное число), ветви параболы $y = x^2 - 5x - 50$ направлены вверх. Это означает, что значения квадратного трехчлена отрицательны между корнями.

Поскольку неравенство строгое ($<0$), сами корни в решение не входят.

Ответ: $(-5; 10)$

б) $-m^2 - 8m + 9 \geq 0$

Для удобства умножим обе части неравенства на -1, изменив при этом знак неравенства на противоположный:

$m^2 + 8m - 9 \leq 0$.

Найдем корни уравнения $m^2 + 8m - 9 = 0$.

$D = 8^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-9) = 64 + 36 = 100$. $\sqrt{D} = 10$.

$m_1 = \frac{-8 - 10}{2} = -9$.

$m_2 = \frac{-8 + 10}{2} = 1$.

Ветви параболы $y = m^2 + 8m - 9$ направлены вверх. Следовательно, значения трехчлена меньше или равны нулю на отрезке между корнями.

Поскольку неравенство нестрогое ($\leq 0$), корни включаются в решение.

Ответ: $[-9; 1]$

в) $3y^2 + 4y - 4 > 0$

Найдем корни уравнения $3y^2 + 4y - 4 = 0$.

$D = 4^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-4) = 16 + 48 = 64$. $\sqrt{D} = 8$.

$y_1 = \frac{-4 - 8}{2 \cdot 3} = \frac{-12}{6} = -2$.

$y_2 = \frac{-4 + 8}{2 \cdot 3} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}$.

Ветви параболы $y = 3y^2 + 4y - 4$ направлены вверх ($a=3>0$). Значит, значения трехчлена положительны вне интервала между корнями.

Так как неравенство строгое ($>0$), корни в решение не входят.

Ответ: $(-\infty; -2) \cup (\frac{2}{3}; +\infty)$

г) $8p^2 + 2p \geq 21$

Перенесем все члены в левую часть: $8p^2 + 2p - 21 \geq 0$.

Найдем корни уравнения $8p^2 + 2p - 21 = 0$.

$D = 2^2 - 4 \cdot 8 \cdot (-21) = 4 + 672 = 676$. $\sqrt{D} = 26$.

$p_1 = \frac{-2 - 26}{2 \cdot 8} = \frac{-28}{16} = -\frac{7}{4}$.

$p_2 = \frac{-2 + 26}{2 \cdot 8} = \frac{24}{16} = \frac{3}{2}$.

Ветви параболы $y = 8p^2 + 2p - 21$ направлены вверх ($a=8>0$). Значения трехчлена больше или равны нулю на лучах вне отрезка между корнями, включая сами корни.

Ответ: $(-\infty; -\frac{7}{4}] \cup [\frac{3}{2}; +\infty)$

д) $12x - 9 \leq 4x^2$

Перенесем все члены в одну сторону, чтобы получить стандартный вид: $4x^2 - 12x + 9 \geq 0$.

Заметим, что левая часть неравенства является полным квадратом:

$4x^2 - 12x + 9 = (2x)^2 - 2 \cdot (2x) \cdot 3 + 3^2 = (2x - 3)^2$.

Неравенство принимает вид $(2x - 3)^2 \geq 0$.

Квадрат любого действительного числа всегда неотрицателен, то есть больше или равен нулю. Следовательно, это неравенство выполняется для всех действительных значений $x$.

Ответ: $(-\infty; +\infty)$

е) $-9x^2 < 1 - 6x$

Перенесем все члены в одну сторону: $9x^2 - 6x + 1 > 0$.

Левая часть неравенства также является полным квадратом:

$9x^2 - 6x + 1 = (3x)^2 - 2 \cdot (3x) \cdot 1 + 1^2 = (3x - 1)^2$.

Неравенство принимает вид $(3x - 1)^2 > 0$.

Квадрат любого действительного числа больше или равен нулю. Он равен нулю только тогда, когда выражение в скобках равно нулю. В нашем случае это происходит при $3x - 1 = 0$, то есть $x = \frac{1}{3}$.

Во всех остальных случаях $(3x - 1)^2$ будет строго больше нуля. Таким образом, решение неравенства — это все действительные числа, кроме $x = \frac{1}{3}$.

Ответ: $(-\infty; \frac{1}{3}) \cup (\frac{1}{3}; +\infty)$