Страница 107 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

386. Решите неравенство:

а) $(x + 1,2)(6 - x)(x - 4) > 0;$

б) $(\frac{1}{3} - x)(\frac{1}{2} - x)(\frac{1}{7} - x) < 0;$

в) $(x + 0,6)(1,6 + x)(1,2 - x) > 0;$

г) $(1,7 - x)(1,8 + x)(1,9 - x) < 0.$

а) $(x + 1,2)(6 - x)(x - 4) > 0$

Для решения неравенства используем метод интервалов. Сначала найдем нули функции $f(x) = (x + 1,2)(6 - x)(x - 4)$, приравняв каждый множитель к нулю:
$x + 1,2 = 0 \implies x_1 = -1,2$
$6 - x = 0 \implies x_2 = 6$
$x - 4 = 0 \implies x_3 = 4$

Чтобы применить метод интервалов стандартным образом, приведем неравенство к виду, где коэффициент при $x$ в каждой скобке положителен. Вынесем $-1$ из скобки $(6 - x)$:
$(x + 1,2)(-1)(x - 6)(x - 4) > 0$
Разделим обе части неравенства на $-1$ и изменим знак неравенства на противоположный:
$(x + 1,2)(x - 6)(x - 4) < 0$

Отметим найденные корни $-1,2$, $4$, $6$ на числовой прямой. Так как неравенство строгое, точки будут выколотыми. Эти точки разбивают прямую на четыре интервала: $(-\infty; -1,2)$, $(-1,2; 4)$, $(4; 6)$, $(6; +\infty)$.
Определим знак выражения в крайнем правом интервале $(6; +\infty)$, взяв, например, $x=10$: $(10+1,2)(10-6)(10-4) > 0$. Значит, в этом интервале стоит знак "+".
Так как все корни имеют нечетную кратность (равную 1), знаки в соседних интервалах будут чередоваться. Расставим знаки: $ - \text{ на } (-\infty; -1,2) $, $ + \text{ на } (-1,2; 4) $, $ - \text{ на } (4; 6) $, $ + \text{ на } (6; +\infty) $.

Нас интересуют интервалы, где выражение меньше нуля (знак "−"). Это интервалы $(-\infty; -1,2)$ и $(4; 6)$.

Ответ: $x \in (-\infty; -1,2) \cup (4; 6)$.

б) $(\frac{1}{3} - x)(\frac{1}{2} - x)(\frac{1}{7} - x) < 0$

Находим нули выражения:
$\frac{1}{3} - x = 0 \implies x_1 = \frac{1}{3}$
$\frac{1}{2} - x = 0 \implies x_2 = \frac{1}{2}$
$\frac{1}{7} - x = 0 \implies x_3 = \frac{1}{7}$

Приведем неравенство к стандартному виду. Вынесем $-1$ из каждой скобки:
$(-1)(x - \frac{1}{3})(-1)(x - \frac{1}{2})(-1)(x - \frac{1}{7}) < 0$
$(-1)^3 (x - \frac{1}{3})(x - \frac{1}{2})(x - \frac{1}{7}) < 0$
$-(x - \frac{1}{3})(x - \frac{1}{2})(x - \frac{1}{7}) < 0$
Умножим на $-1$ и сменим знак неравенства:
$(x - \frac{1}{3})(x - \frac{1}{2})(x - \frac{1}{7}) > 0$

Расположим корни на числовой прямой в порядке возрастания: $\frac{1}{7}$, $\frac{1}{3}$, $\frac{1}{2}$. Точки выколотые.
Определяем знаки на интервалах. Для $x > \frac{1}{2}$ (например, $x=1$) выражение положительно. Далее знаки чередуются.
Интервалы и знаки: $(-\infty; \frac{1}{7})$ - знак "−"; $(\frac{1}{7}; \frac{1}{3})$ - знак "+"; $(\frac{1}{3}; \frac{1}{2})$ - знак "−"; $(\frac{1}{2}; +\infty)$ - знак "+".

Выбираем интервалы, где выражение больше нуля (знак "+").

Ответ: $x \in (\frac{1}{7}; \frac{1}{3}) \cup (\frac{1}{2}; +\infty)$.

в) $(x + 0,6)(1,6 + x)(1,2 - x) > 0$

Находим нули выражения:
$x + 0,6 = 0 \implies x_1 = -0,6$
$1,6 + x = 0 \implies x_2 = -1,6$
$1,2 - x = 0 \implies x_3 = 1,2$

Приводим к стандартному виду, вынося $-1$ из скобки $(1,2 - x)$:
$(x + 0,6)(x + 1,6)(-1)(x - 1,2) > 0$
Умножаем на $-1$ и меняем знак:
$(x + 0,6)(x + 1,6)(x - 1,2) < 0$

Располагаем корни на числовой прямой в порядке возрастания: $-1,6$, $-0,6$, $1,2$. Точки выколотые.
Для $x > 1,2$ выражение положительно. Далее знаки чередуются.
Знаки на интервалах: $ - \text{ на } (-\infty; -1,6) $, $ + \text{ на } (-1,6; -0,6) $, $ - \text{ на } (-0,6; 1,2) $, $ + \text{ на } (1,2; +\infty) $.

Нам нужны интервалы со знаком "−".

Ответ: $x \in (-\infty; -1,6) \cup (-0,6; 1,2)$.

г) $(1,7 - x)(1,8 + x)(1,9 - x) < 0$

Находим нули выражения:
$1,7 - x = 0 \implies x_1 = 1,7$
$1,8 + x = 0 \implies x_2 = -1,8$
$1,9 - x = 0 \implies x_3 = 1,9$

Приводим к стандартному виду. Выносим $-1$ из скобок $(1,7 - x)$ и $(1,9 - x)$:
$(-1)(x - 1,7)(x + 1,8)(-1)(x - 1,9) < 0$
$(-1)^2 (x - 1,7)(x + 1,8)(x - 1,9) < 0$
Так как $(-1)^2=1$, знак неравенства не меняется:
$(x + 1,8)(x - 1,7)(x - 1,9) < 0$

Располагаем корни на числовой прямой в порядке возрастания: $-1,8$, $1,7$, $1,9$. Точки выколотые.
Для $x > 1,9$ выражение положительно. Далее знаки чередуются.
Знаки на интервалах: $ - \text{ на } (-\infty; -1,8) $, $ + \text{ на } (-1,8; 1,7) $, $ - \text{ на } (1,7; 1,9) $, $ + \text{ на } (1,9; +\infty) $.

Выбираем интервалы, где выражение меньше нуля (знак "−").

Ответ: $x \in (-\infty; -1,8) \cup (1,7; 1,9)$.

387. При каких значениях $x$ произведение $(3x - 5)(x + 4)(2 - x)$:

а) равно нулю;

б) положительно;

в) отрицательно?

Дано произведение трех множителей: $(3x-5)(x+4)(2-x)$.

а) равно нулю;

Произведение равно нулю в том и только в том случае, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Поэтому приравняем каждый множитель к нулю, чтобы найти соответствующие значения $x$.

1) $3x - 5 = 0$
$3x = 5$
$x_1 = \frac{5}{3}$

2) $x + 4 = 0$
$x_2 = -4$

3) $2 - x = 0$
$x_3 = 2$

Таким образом, произведение обращается в нуль при трех значениях $x$.

Ответ: $x = -4; \frac{5}{3}; 2$.

Для того чтобы определить, когда произведение положительно или отрицательно, воспользуемся методом интервалов. Нанесём на числовую ось корни, найденные в пункте а), в порядке их возрастания: $-4$, $\frac{5}{3}$ и $2$.

Эти точки разбивают числовую ось на четыре интервала: $(-\infty; -4)$, $(-4; \frac{5}{3})$, $(\frac{5}{3}; 2)$ и $(2; +\infty)$.

Теперь определим знак произведения в каждом интервале. Для этого можно взять любую "пробную" точку из каждого интервала и подставить её в исходное выражение $(3x-5)(x+4)(2-x)$.

• В интервале $(2; +\infty)$ возьмем $x=10$.
$(3 \cdot 10 - 5)(10+4)(2-10) = (25)(14)(-8)$. Произведение имеет знак "минус".
• В интервале $(\frac{5}{3}; 2)$ возьмем $x=1,8$ (так как $\frac{5}{3} \approx 1,67$).
$(3 \cdot 1,8 - 5)(1,8+4)(2-1,8) = (5,4 - 5)(5,8)(0,2) = (0,4)(5,8)(0,2)$. Все множители положительны, произведение имеет знак "плюс".
• В интервале $(-4; \frac{5}{3})$ возьмем $x=0$.
$(3 \cdot 0 - 5)(0+4)(2-0) = (-5)(4)(2)$. Произведение имеет знак "минус".
• В интервале $(-\infty; -4)$ возьмем $x=-5$.
$(3 \cdot (-5) - 5)(-5+4)(2-(-5)) = (-20)(-1)(7)$. Произведение имеет знак "плюс".

Расставим знаки на интервалах: $(-\infty; -4)$ - плюс, $(-4; \frac{5}{3})$ - минус, $(\frac{5}{3}; 2)$ - плюс, $(2; +\infty)$ - минус.

б) положительно;

Произведение положительно (больше нуля) на тех интервалах, где стоит знак "плюс".

Ответ: $x \in (-\infty; -4) \cup (\frac{5}{3}; 2)$.

в) отрицательно?

Произведение отрицательно (меньше нуля) на тех интервалах, где стоит знак "минус".

Ответ: $x \in (-4; \frac{5}{3}) \cup (2; +\infty)$.

388. Решите неравенство:

a) $(18x - 36)(x - 7) > 0;$

б) $(x - 7,3)(9,8 - x) > 0;$

в) $(x + 0,8)(4 - x)(x - 20) < 0;$

г) $(10x + 3)(17 - x)(x - 5) \ge 0.$

а) $(18x - 36)(x - 7) > 0$

Для решения данного неравенства применим метод интервалов. Сначала найдем корни левой части, приравняв ее к нулю:
$(18x - 36)(x - 7) = 0$.
Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю.
1) $18x - 36 = 0 \Rightarrow 18x = 36 \Rightarrow x_1 = 2$.
2) $x - 7 = 0 \Rightarrow x_2 = 7$.

Нанесем найденные корни на числовую ось. Так как неравенство строгое (знак $> $), точки $x=2$ и $x=7$ будут выколотыми (не входят в решение). Эти точки разбивают числовую ось на три интервала: $(-\infty; 2)$, $(2; 7)$ и $(7; +\infty)$.

Определим знак выражения $(18x - 36)(x - 7)$ на каждом из интервалов.
- В интервале $(7; +\infty)$ выберем пробную точку, например $x=10$. Подставим ее в выражение: $(18 \cdot 10 - 36)(10 - 7) = (144)(3) > 0$. Значит, на этом интервале выражение положительно (+).
- В интервале $(2; 7)$ выберем $x=3$: $(18 \cdot 3 - 36)(3 - 7) = (18)(-4) < 0$. Знак (-).
- В интервале $(-\infty; 2)$ выберем $x=0$: $(18 \cdot 0 - 36)(0 - 7) = (-36)(-7) > 0$. Знак (+).

Поскольку знак неравенства $> 0$, нас интересуют интервалы со знаком «+».

Ответ: $x \in (-\infty; 2) \cup (7; +\infty)$.

б) $(x - 7,3)(9,8 - x) > 0$

Решаем методом интервалов. Найдем корни:
1) $x - 7,3 = 0 \Rightarrow x_1 = 7,3$.
2) $9,8 - x = 0 \Rightarrow x_2 = 9,8$.

Отметим на числовой оси выколотые точки $7,3$ и $9,8$. Они разбивают ось на интервалы: $(-\infty; 7,3)$, $(7,3; 9,8)$ и $(9,8; +\infty)$.

Определим знаки на интервалах. Заметим, что во втором множителе $(9,8 - x)$ коэффициент при $x$ отрицательный. Это приведет к тому, что на самом правом интервале $(9,8; +\infty)$ выражение будет отрицательным. Проверим, взяв $x=10$: $(10 - 7,3)(9,8 - 10) = (2,7)(-0,2) < 0$. Знак (-).
Так как все корни имеют нечетную кратность (равную 1), знаки на интервалах будут чередоваться: $(-\infty; 7,3)$ - знак (-), $(7,3; 9,8)$ - знак (+), $(9,8; +\infty)$ - знак (-).

Нас интересует интервал, где выражение больше нуля, то есть имеет знак «+».

Ответ: $x \in (7,3; 9,8)$.

в) $(x + 0,8)(4 - x)(x - 20) < 0$

Применим метод интервалов. Найдем корни:
1) $x + 0,8 = 0 \Rightarrow x_1 = -0,8$.
2) $4 - x = 0 \Rightarrow x_2 = 4$.
3) $x - 20 = 0 \Rightarrow x_3 = 20$.

Нанесем на числовую ось выколотые точки $-0,8$, $4$ и $20$. Они делят ось на четыре интервала: $(-\infty; -0,8)$, $(-0,8; 4)$, $(4; 20)$ и $(20; +\infty)$.

Определим знаки на интервалах. Множитель $(4 - x)$ имеет отрицательный коэффициент при $x$. Поэтому на крайнем правом интервале $(20; +\infty)$ выражение будет отрицательным. Проверим, взяв $x=21$: $(21 + 0,8)(4 - 21)(21 - 20) = (+)(-)(+) < 0$. Знак (-).
Знаки чередуются: $(-\infty; -0,8)$ - знак (+), $(-0,8; 4)$ - знак (-), $(4; 20)$ - знак (+), $(20; +\infty)$ - знак (-).

Нас интересуют интервалы, где выражение меньше нуля (знак «-»).

Ответ: $x \in (-0,8; 4) \cup (20; +\infty)$.

г) $(10x + 3)(17 - x)(x - 5) \geq 0$

Решаем методом интервалов. Найдем корни:
1) $10x + 3 = 0 \Rightarrow 10x = -3 \Rightarrow x_1 = -0,3$.
2) $17 - x = 0 \Rightarrow x_2 = 17$.
3) $x - 5 = 0 \Rightarrow x_3 = 5$.

Нанесем корни на числовую ось. Так как неравенство нестрогое ($\geq$), точки $-0,3$, $5$ и $17$ будут закрашенными (входят в решение). Расположим их в порядке возрастания: $-0,3; 5; 17$. Они разбивают ось на четыре интервала.

Определим знаки. Из-за множителя $(17 - x)$ на крайнем правом интервале $(17; +\infty)$ будет знак «-». Проверим, взяв $x=20$: $(10\cdot20+3)(17-20)(20-5) = (+)(-)(+) < 0$. Знак (-).
Знаки чередуются: $(-\infty; -0,3)$ - знак (+), $(-0,3; 5)$ - знак (-), $(5; 17)$ - знак (+), $(17; +\infty)$ - знак (-).

Нас интересуют интервалы, где выражение больше или равно нулю. Это интервалы со знаком «+» и сами точки-корни.

Ответ: $x \in (-\infty; -0,3] \cup [5; 17]$.

389. Решите неравенство, разложив его левую часть на множители:

a) $(x^2 - 16)(x + 17) > 0;$

б) $(x - \frac{2}{3})(x^2 - 121) < 0;$

в) $x^3 - 25x < 0;$

г) $x^3 - 0,01x > 0;$

д) $(x^2 - 9)(x^2 - 1) > 0;$

е) $(x^2 - 15x)(x^2 - 36) < 0.$

а) $(x^2 - 16)(x + 17) > 0$

Разложим на множители выражение $(x^2 - 16)$, используя формулу разности квадратов $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$.
$x^2 - 16 = x^2 - 4^2 = (x - 4)(x + 4)$.
Неравенство принимает вид:
$(x - 4)(x + 4)(x + 17) > 0$.
Решим это неравенство методом интервалов. Найдем корни левой части, приравняв ее к нулю:
$(x - 4)(x + 4)(x + 17) = 0$.
Корни уравнения: $x_1 = -17$, $x_2 = -4$, $x_3 = 4$.
Нанесем эти точки на числовую ось. Они разбивают ось на четыре интервала: $(-\infty; -17)$, $(-17; -4)$, $(-4; 4)$, $(4; \infty)$.
Определим знак выражения на каждом интервале. Для крайнего правого интервала $(4; \infty)$ возьмем пробное значение, например $x = 5$:
$(5 - 4)(5 + 4)(5 + 17) = 1 \cdot 9 \cdot 22 > 0$. Знак "+".
Так как все корни имеют кратность 1 (нечетную), знаки в интервалах чередуются: -, +, -, +.
Интервалы, на которых выражение больше нуля (имеют знак "+"): $(-17; -4)$ и $(4; \infty)$.
Ответ: $x \in (-17; -4) \cup (4; \infty)$.

б) $(x - \frac{2}{3})(x^2 - 121) < 0$

Разложим на множители выражение $(x^2 - 121)$ по формуле разности квадратов:
$x^2 - 121 = x^2 - 11^2 = (x - 11)(x + 11)$.
Неравенство принимает вид:
$(x - \frac{2}{3})(x - 11)(x + 11) < 0$.
Найдем корни левой части: $x_1 = -11$, $x_2 = \frac{2}{3}$, $x_3 = 11$.
Отметим корни на числовой оси, что делит ее на интервалы: $(-\infty; -11)$, $(-11; \frac{2}{3})$, $(\frac{2}{3}; 11)$, $(11; \infty)$.
Определим знаки. При $x = 12$: $(12 - \frac{2}{3})(12 - 11)(12 + 11) > 0$. Знак на $(11; \infty)$ — "+".
Знаки чередуются: +, -, +, -.
Нас интересуют интервалы, где выражение меньше нуля (знак "-"): $(-\infty; -11)$ и $(\frac{2}{3}; 11)$.
Ответ: $x \in (-\infty; -11) \cup (\frac{2}{3}; 11)$.

в) $x^3 - 25x < 0$

Сначала вынесем общий множитель $x$ за скобки:
$x(x^2 - 25) < 0$.
Затем разложим на множители разность квадратов $(x^2 - 25)$:
$x(x - 5)(x + 5) < 0$.
Корни левой части: $x_1 = -5$, $x_2 = 0$, $x_3 = 5$.
Интервалы на числовой оси: $(-\infty; -5)$, $(-5; 0)$, $(0; 5)$, $(5; \infty)$.
Определим знаки. При $x = 6$: $6(6 - 5)(6 + 5) > 0$. Знак на $(5; \infty)$ — "+".
Знаки чередуются: +, -, +, -.
Выбираем интервалы со знаком "-": $(-\infty; -5)$ и $(0; 5)$.
Ответ: $x \in (-\infty; -5) \cup (0; 5)$.

г) $x^3 - 0,01x > 0$

Вынесем $x$ за скобки:
$x(x^2 - 0,01) > 0$.
Разложим разность квадратов $(x^2 - 0,01)$:
$x(x - 0,1)(x + 0,1) > 0$.
Корни левой части: $x_1 = -0,1$, $x_2 = 0$, $x_3 = 0,1$.
Интервалы на числовой оси: $(-\infty; -0,1)$, $(-0,1; 0)$, $(0; 0,1)$, $(0,1; \infty)$.
Определим знаки. При $x = 1$: $1(1 - 0,1)(1 + 0,1) > 0$. Знак на $(0,1; \infty)$ — "+".
Знаки чередуются: -, +, -, +.
Выбираем интервалы со знаком "+": $(-0,1; 0)$ и $(0,1; \infty)$.
Ответ: $x \in (-0,1; 0) \cup (0,1; \infty)$.

д) $(x^2 - 9)(x^2 - 1) > 0$

Разложим каждый множитель по формуле разности квадратов:
$(x - 3)(x + 3)(x - 1)(x + 1) > 0$.
Корни левой части: $x_1 = -3$, $x_2 = -1$, $x_3 = 1$, $x_4 = 3$.
Интервалы на числовой оси: $(-\infty; -3)$, $(-3; -1)$, $(-1; 1)$, $(1; 3)$, $(3; \infty)$.
Определим знаки. При $x = 4$: $(4 - 3)(4 + 3)(4 - 1)(4 + 1) > 0$. Знак на $(3; \infty)$ — "+".
Знаки чередуются: +, -, +, -, +.
Выбираем интервалы со знаком "+": $(-\infty; -3)$, $(-1; 1)$ и $(3; \infty)$.
Ответ: $x \in (-\infty; -3) \cup (-1; 1) \cup (3; \infty)$.

е) $(x^2 - 15x)(x^2 - 36) < 0$

Разложим на множители каждую скобку:
Первая скобка: $x^2 - 15x = x(x - 15)$.
Вторая скобка: $x^2 - 36 = (x - 6)(x + 6)$.
Неравенство принимает вид:
$x(x - 15)(x - 6)(x + 6) < 0$.
Корни левой части: $x_1 = -6$, $x_2 = 0$, $x_3 = 6$, $x_4 = 15$.
Интервалы на числовой оси: $(-\infty; -6)$, $(-6; 0)$, $(0; 6)$, $(6; 15)$, $(15; \infty)$.
Определим знаки. При $x = 16$: $16(16 - 15)(16 - 6)(16 + 6) > 0$. Знак на $(15; \infty)$ — "+".
Знаки чередуются: +, -, +, -, +.
Выбираем интервалы со знаком "-": $(-6; 0)$ и $(6; 15)$.
Ответ: $x \in (-6; 0) \cup (6; 15)$.

390. Решите неравенство:

a) $(x^2 + 17)(x - 6)(x + 2) < 0;$
б) $(2x^2 + 1)x(x - 4) > 0;$
в) $(x - 1)^2(x - 24) < 0;$
г) $(x + 7)(x - 4)^2(x - 21) > 0.$

а) Решим неравенство $(x^2 + 17)(x - 6)(x + 2) < 0$.
Выражение $x^2 + 17$ всегда положительно при любом значении $x$, так как $x^2 \ge 0$, а значит $x^2 + 17 \ge 17$. Следовательно, мы можем разделить обе части неравенства на это положительное выражение, не меняя знака неравенства:
$(x - 6)(x + 2) < 0$.
Для решения этого неравенства используем метод интервалов. Найдем корни соответствующего уравнения $(x - 6)(x + 2) = 0$. Корнями являются $x_1 = 6$ и $x_2 = -2$.
Отметим эти точки на числовой прямой. Они разбивают прямую на три интервала: $(-\infty, -2)$, $(-2, 6)$ и $(6, +\infty)$.
Определим знак выражения $(x - 6)(x + 2)$ в каждом интервале:
- При $x > 6$ (например, $x=7$): $(7 - 6)(7 + 2) = 1 \cdot 9 = 9 > 0$.
- При $-2 < x < 6$ (например, $x=0$): $(0 - 6)(0 + 2) = -6 \cdot 2 = -12 < 0$.
- При $x < -2$ (например, $x=-3$): $(-3 - 6)(-3 + 2) = (-9) \cdot (-1) = 9 > 0$.
Нам нужно, чтобы выражение было меньше нуля, поэтому выбираем интервал, где оно отрицательно.
Ответ: $x \in (-2, 6)$.

б) Решим неравенство $(2x^2 + 1)x(x - 4) > 0$.
Выражение $2x^2 + 1$ всегда положительно при любом значении $x$, так как $x^2 \ge 0$, следовательно $2x^2 \ge 0$, а $2x^2 + 1 \ge 1$. Разделим обе части неравенства на $2x^2 + 1$, знак неравенства при этом не изменится:
$x(x - 4) > 0$.
Применим метод интервалов. Корни уравнения $x(x - 4) = 0$ равны $x_1 = 0$ и $x_2 = 4$.
Отметим эти точки на числовой прямой, которые разбивают ее на интервалы: $(-\infty, 0)$, $(0, 4)$ и $(4, +\infty)$.
Определим знак выражения $x(x - 4)$ в каждом интервале:
- При $x > 4$ (например, $x=5$): $5(5 - 4) = 5 > 0$.
- При $0 < x < 4$ (например, $x=1$): $1(1 - 4) = -3 < 0$.
- При $x < 0$ (например, $x=-1$): $-1(-1 - 4) = 5 > 0$.
Нам нужно, чтобы выражение было больше нуля, поэтому выбираем интервалы, где оно положительно.
Ответ: $x \in (-\infty, 0) \cup (4, +\infty)$.

в) Решим неравенство $(x - 1)^2(x - 24) < 0$.
Используем метод интервалов. Найдем корни уравнения $(x - 1)^2(x - 24) = 0$. Корнями являются $x_1 = 1$ (корень кратности 2) и $x_2 = 24$.
Множитель $(x - 1)^2$ всегда неотрицателен (т.е. $\ge 0$). Так как неравенство строгое ($< 0$), то выражение не может быть равно нулю, значит $x \neq 1$ и $x \neq 24$.
При $x \neq 1$, множитель $(x - 1)^2$ всегда положителен. Мы можем разделить на него обе части неравенства, не меняя знака:
$x - 24 < 0$.
Отсюда получаем $x < 24$.
Учитывая условие $x \neq 1$, получаем решение: $x < 24$ и $x \neq 1$.
В виде интервалов это записывается как объединение двух интервалов.
Ответ: $x \in (-\infty, 1) \cup (1, 24)$.

г) Решим неравенство $(x + 7)(x - 4)^2(x - 21) \ge 0$.
Используем метод интервалов. Найдем корни уравнения $(x + 7)(x - 4)^2(x - 21) = 0$. Корнями являются $x_1 = -7$, $x_2 = 4$ (корень кратности 2) и $x_3 = 21$.
Так как неравенство нестрогое ($\ge 0$), то точки, в которых выражение равно нулю, являются частью решения. То есть $x=-7$, $x=4$, $x=21$ входят в ответ.
Отметим эти точки на числовой прямой. Они разбивают прямую на интервалы: $(-\infty, -7)$, $(-7, 4)$, $(4, 21)$ и $(21, +\infty)$.
Определим знаки выражения в интервалах. При переходе через корень четной кратности ($x=4$) знак выражения не меняется.
- При $x > 21$ (например, $x=22$): $(22+7)(22-4)^2(22-21) = (+)(+)(+) > 0$.
- При $4 < x < 21$ (например, $x=5$): $(5+7)(5-4)^2(5-21) = (+)(+)(-) < 0$.
- При $-7 < x < 4$ (например, $x=0$): $(0+7)(0-4)^2(0-21) = (+)(+)(-) < 0$.
- При $x < -7$ (например, $x=-8$): $(-8+7)(-8-4)^2(-8-21) = (-)(+)(-) > 0$.
Нам нужно, чтобы выражение было больше или равно нулю. Это выполняется на интервалах $(-\infty, -7]$ и $[21, +\infty)$. Также не забываем про изолированную точку $x=4$, где выражение равно нулю.
Ответ: $x \in (-\infty, -7] \cup \{4\} \cup [21, +\infty)$.

391. Найдите область определения функции:

a) $y = \frac{4}{\sqrt{(3x-1)(6x+1)}}$;

б) $y = \frac{7}{\sqrt{(11x+2)(x-4)}}.$

а) Область определения функции $y = \frac{4}{\sqrt{(3x - 1)(6x + 1)}}$ находится из условия, что выражение под корнем в знаменателе должно быть строго больше нуля. Это следует из двух ограничений: знаменатель дроби не может быть равен нулю, и подкоренное выражение для квадратного корня не может быть отрицательным.

Таким образом, мы должны решить неравенство:
$(3x - 1)(6x + 1) > 0$

Для решения неравенства методом интервалов найдем корни соответствующего уравнения $(3x - 1)(6x + 1) = 0$:
$3x - 1 = 0 \implies 3x = 1 \implies x_1 = \frac{1}{3}$
$6x + 1 = 0 \implies 6x = -1 \implies x_2 = -\frac{1}{6}$

Нанесем корни на числовую ось. Они разделят ее на три интервала: $(-\infty; -\frac{1}{6})$, $(-\frac{1}{6}; \frac{1}{3})$ и $(\frac{1}{3}; +\infty)$.
Выражение $(3x - 1)(6x + 1)$ представляет собой параболу, ветви которой направлены вверх (коэффициент при $x^2$ равен $18 > 0$). Следовательно, выражение принимает положительные значения на интервалах вне корней.

Таким образом, решением неравенства является объединение интервалов $x < -\frac{1}{6}$ и $x > \frac{1}{3}$.
Ответ: $x \in (-\infty; -\frac{1}{6}) \cup (\frac{1}{3}; +\infty)$.

б) Аналогично, для функции $y = \frac{7}{\sqrt{(11x + 2)(x - 4)}}$ область определения задается строгим неравенством для подкоренного выражения в знаменателе.

Решаем неравенство:
$(11x + 2)(x - 4) > 0$

Найдем корни уравнения $(11x + 2)(x - 4) = 0$:
$11x + 2 = 0 \implies 11x = -2 \implies x_1 = -\frac{2}{11}$
$x - 4 = 0 \implies x_2 = 4$

Нанесем корни $x_1 = -\frac{2}{11}$ и $x_2 = 4$ на числовую ось. Интервалы: $(-\infty; -\frac{2}{11})$, $(-\frac{2}{11}; 4)$ и $(4; +\infty)$.
Ветви параболы $(11x + 2)(x - 4)$ направлены вверх (коэффициент при $x^2$ равен $11 > 0$), поэтому выражение положительно на крайних интервалах.

Решением неравенства является объединение интервалов $x < -\frac{2}{11}$ и $x > 4$.
Ответ: $x \in (-\infty; -\frac{2}{11}) \cup (4; +\infty)$.

392. Равносильны ли неравенства:

а) $\frac{x - 3}{x + 1} \ge 0$ и $(x - 3)(x + 1) \ge 0$;

б) $\frac{x + 5}{x - 8} \le 0$ и $(x + 5)(x - 8) \le 0?$

а) Чтобы определить, равносильны ли неравенства $\frac{x-3}{x+1} \ge 0$ и $(x-3)(x+1) \ge 0$, необходимо сравнить их множества решений. Неравенства являются равносильными, если множества их решений полностью совпадают.

1. Решим первое неравенство $\frac{x-3}{x+1} \ge 0$ методом интервалов.
Область допустимых значений (ОДЗ) определяется условием знаменателя: $x+1 \ne 0$, откуда $x \ne -1$.
Найдем нули числителя и знаменателя: $x-3=0 \Rightarrow x=3$; $x+1=0 \Rightarrow x=-1$.
Отметим эти точки на числовой оси. Точка $x=3$ включается в решение (неравенство нестрогое), а точка $x=-1$ исключается (ОДЗ).
Проверим знаки на полученных интервалах:

• При $x > 3$ (например, $x=4$): $\frac{4-3}{4+1} = \frac{1}{5} > 0$. Интервал подходит.
• При $-1 < x < 3$ (например, $x=0$): $\frac{0-3}{0+1} = -3 < 0$. Интервал не подходит.
• При $x < -1$ (например, $x=-2$): $\frac{-2-3}{-2+1} = \frac{-5}{-1} = 5 > 0$. Интервал подходит.

Таким образом, решение первого неравенства: $x \in (-\infty, -1) \cup [3, +\infty)$.

2. Решим второе неравенство $(x-3)(x+1) \ge 0$ методом интервалов.
ОДЗ для этого неравенства — все действительные числа, $x \in \mathbb{R}$.
Корни соответствующего уравнения $(x-3)(x+1)=0$ равны $x=-1$ и $x=3$. Так как неравенство нестрогое, обе точки включаются в решение.
График функции $y=(x-3)(x+1)$ — это парабола, ветви которой направлены вверх. Значения функции неотрицательны вне интервала между корнями.
Следовательно, решение второго неравенства: $x \in (-\infty, -1] \cup [3, +\infty)$.

3. Сравним полученные решения.
Решение первого неравенства: $(-\infty, -1) \cup [3, +\infty)$.
Решение второго неравенства: $(-\infty, -1] \cup [3, +\infty)$.
Множества решений не совпадают, так как второе решение включает точку $x=-1$, а первое — нет, из-за области допустимых значений. Следовательно, данные неравенства не являются равносильными.
Ответ: нет, неравенства не равносильны.

б) Рассмотрим равносильность неравенств $\frac{x+5}{x-8} \le 0$ и $(x+5)(x-8) \le 0$.

1. Решим первое неравенство $\frac{x+5}{x-8} \le 0$ методом интервалов.
ОДЗ: $x-8 \ne 0$, откуда $x \ne 8$.
Нули числителя: $x+5=0 \Rightarrow x=-5$. Нули знаменателя: $x-8=0 \Rightarrow x=8$.
Отметим точки на числовой оси. Точка $x=-5$ включается в решение, а точка $x=8$ исключается.
Проверим знаки на интервалах:

• При $x > 8$ (например, $x=9$): $\frac{9+5}{9-8} = 14 > 0$. Интервал не подходит.
• При $-5 < x < 8$ (например, $x=0$): $\frac{0+5}{0-8} = -\frac{5}{8} < 0$. Интервал подходит.
• При $x < -5$ (например, $x=-6$): $\frac{-6+5}{-6-8} = \frac{-1}{-14} > 0$. Интервал не подходит.

С учетом включенной точки $x=-5$, решение первого неравенства: $x \in [-5, 8)$.

2. Решим второе неравенство $(x+5)(x-8) \le 0$ методом интервалов.
ОДЗ: $x \in \mathbb{R}$.
Корни уравнения $(x+5)(x-8)=0$ равны $x=-5$ и $x=8$. Обе точки включаются в решение.
График функции $y=(x+5)(x-8)$ — парабола с ветвями вверх. Значения функции неположительны на отрезке между корнями.
Следовательно, решение второго неравенства: $x \in [-5, 8]$.

3. Сравним полученные решения.
Решение первого неравенства: $x \in [-5, 8)$.
Решение второго неравенства: $x \in [-5, 8]$.
Множества решений не совпадают. Второе решение содержит точку $x=8$, а первое — нет. Таким образом, неравенства не являются равносильными.
Ответ: нет, неравенства не равносильны.

393. Решите неравенство:

а) $ \frac{x-8}{x+4} > 0; $

б) $ \frac{x+16}{x-11} < 0; $

в) $ \frac{x+1}{3-x} \ge 0; $

г) $ \frac{6-x}{x-4} \le 0; $

д) $ \frac{2x-4}{3x+3} \le 0; $

е) $ \frac{5x-1}{2x+3} \ge 0. $

а) $\frac{x-8}{x+4} > 0$

Для решения данного дробно-рационального неравенства воспользуемся методом интервалов.

1. Найдём нули числителя: $x - 8 = 0$, откуда $x = 8$.

2. Найдём нули знаменателя (точки, в которых выражение не определено): $x + 4 = 0$, откуда $x = -4$.

3. Отметим найденные точки на числовой оси. Так как неравенство строгое ($>$), обе точки будут выколотыми (не входящими в решение).

Точки $x = -4$ и $x = 8$ разбивают числовую ось на три интервала: $(-\infty; -4)$, $(-4; 8)$ и $(8; +\infty)$.

4. Определим знак выражения $\frac{x-8}{x+4}$ в каждом из интервалов, взяв по одной пробной точке:

• При $x = 9$ (интервал $(8; +\infty)$): $\frac{9-8}{9+4} = \frac{1}{13} > 0$. Знак «+».
• При $x = 0$ (интервал $(-4; 8)$): $\frac{0-8}{0+4} = \frac{-8}{4} = -2 < 0$. Знак «−».
• При $x = -5$ (интервал $(-\infty; -4)$): $\frac{-5-8}{-5+4} = \frac{-13}{-1} = 13 > 0$. Знак «+».

5. Поскольку мы ищем значения $x$, при которых выражение больше нуля, выбираем интервалы со знаком «+».

Ответ: $x \in (-\infty; -4) \cup (8; +\infty)$.

б) $\frac{x+16}{x-11} < 0$

Решаем методом интервалов.

1. Нули числителя: $x + 16 = 0 \implies x = -16$.

2. Нули знаменателя: $x - 11 = 0 \implies x = 11$.

3. Отмечаем точки на числовой оси. Неравенство строгое ($<$), поэтому обе точки выколотые.

Интервалы: $(-\infty; -16)$, $(-16; 11)$, $(11; +\infty)$.

4. Определяем знаки выражения на интервалах:

• При $x = 12$: $\frac{12+16}{12-11} > 0$. Знак «+».
• При $x = 0$: $\frac{0+16}{0-11} < 0$. Знак «−».
• При $x = -17$: $\frac{-17+16}{-17-11} > 0$. Знак «+».

5. Ищем значения $x$, при которых выражение меньше нуля, то есть выбираем интервал со знаком «−».

Ответ: $x \in (-16; 11)$.

в) $\frac{x+1}{3-x} \ge 0$

Чтобы применить метод интервалов в стандартном виде, удобно, чтобы коэффициент при $x$ был положительным. Умножим обе части неравенства на $-1$ и сменим знак неравенства на противоположный:

$\frac{x+1}{-(x-3)} \ge 0 \implies \frac{x+1}{x-3} \le 0$

1. Нули числителя: $x + 1 = 0 \implies x = -1$. Так как неравенство нестрогое ($\le$), эта точка будет закрашенной.

2. Нули знаменателя: $x - 3 = 0 \implies x = 3$. Эта точка всегда выколотая, так как на ноль делить нельзя.

3. Отмечаем точки на оси: $x=-1$ (закрашенная), $x=3$ (выколотая).

Интервалы: $(-\infty; -1]$, $[-1; 3)$, $(3; +\infty)$.

4. Определяем знаки для выражения $\frac{x+1}{x-3}$:

• При $x = 4$: $\frac{4+1}{4-3} > 0$. Знак «+».
• При $x = 0$: $\frac{0+1}{0-3} < 0$. Знак «−».
• При $x = -2$: $\frac{-2+1}{-2-3} > 0$. Знак «+».

5. Ищем значения $x$, при которых выражение меньше либо равно нулю. Выбираем интервал со знаком «−» и включаем закрашенную точку.

Ответ: $x \in [-1; 3)$.

г) $\frac{6-x}{x-4} \le 0$

Умножим неравенство на $-1$ и сменим знак, чтобы коэффициент при $x$ в числителе стал положительным:

$\frac{-(x-6)}{x-4} \le 0 \implies \frac{x-6}{x-4} \ge 0$

1. Нули числителя: $x - 6 = 0 \implies x = 6$ (закрашенная точка, т.к. неравенство нестрогое).

2. Нули знаменателя: $x - 4 = 0 \implies x = 4$ (выколотая точка).

3. Отмечаем точки на оси: $x=4$ (выколотая), $x=6$ (закрашенная).

Интервалы: $(-\infty; 4)$, $(4; 6]$, $[6; +\infty)$.

4. Определяем знаки для $\frac{x-6}{x-4}$:

• При $x = 7$: $\frac{7-6}{7-4} > 0$. Знак «+».
• При $x = 5$: $\frac{5-6}{5-4} < 0$. Знак «−».
• При $x = 0$: $\frac{0-6}{0-4} > 0$. Знак «+».

5. Ищем значения $x$, при которых выражение больше либо равно нулю. Выбираем интервалы со знаком «+».

Ответ: $x \in (-\infty; 4) \cup [6; +\infty)$.

д) $\frac{2x-4}{3x+3} \le 0$

Вынесем общие множители в числителе и знаменателе: $\frac{2(x-2)}{3(x+1)} \le 0$.

Поскольку множитель $\frac{2}{3}$ является положительной константой, он не влияет на знак неравенства. Можем решать равносильное неравенство: $\frac{x-2}{x+1} \le 0$.

1. Нули числителя: $x - 2 = 0 \implies x = 2$ (закрашенная точка).

2. Нули знаменателя: $x + 1 = 0 \implies x = -1$ (выколотая точка).

3. Отмечаем точки на оси: $x=-1$ (выколотая), $x=2$ (закрашенная).

Интервалы: $(-\infty; -1)$, $(-1; 2]$, $[2; +\infty)$.

4. Определяем знаки для $\frac{x-2}{x+1}$:

• При $x = 3$: $\frac{3-2}{3+1} > 0$. Знак «+».
• При $x = 0$: $\frac{0-2}{0+1} < 0$. Знак «−».
• При $x = -2$: $\frac{-2-2}{-2+1} > 0$. Знак «+».

5. Ищем значения $x$, при которых выражение меньше либо равно нулю. Выбираем интервал со знаком «−».

Ответ: $x \in (-1; 2]$.

е) $\frac{5x-1}{2x+3} \ge 0$

Решаем методом интервалов.

1. Нули числителя: $5x - 1 = 0 \implies 5x = 1 \implies x = \frac{1}{5}$ (закрашенная точка).

2. Нули знаменателя: $2x + 3 = 0 \implies 2x = -3 \implies x = -\frac{3}{2}$ (выколотая точка).

3. Отмечаем точки на оси: $x = -1.5$ (выколотая), $x = 0.2$ (закрашенная).

Интервалы: $(-\infty; -\frac{3}{2})$, $(-\frac{3}{2}; \frac{1}{5}]$, $[\frac{1}{5}; +\infty)$.

4. Определяем знаки выражения:

• При $x = 1$: $\frac{5(1)-1}{2(1)+3} = \frac{4}{5} > 0$. Знак «+».
• При $x = 0$: $\frac{5(0)-1}{2(0)+3} = -\frac{1}{3} < 0$. Знак «−».
• При $x = -2$: $\frac{5(-2)-1}{2(-2)+3} = \frac{-11}{-1} = 11 > 0$. Знак «+».

5. Ищем значения $x$, при которых выражение больше либо равно нулю. Выбираем интервалы со знаком «+».

Ответ: $x \in (-\infty; -\frac{3}{2}) \cup [\frac{1}{5}; +\infty)$.

394. Решите неравенство:

а) $\frac{6x + 2}{x + 4} < 5$;

б) $\frac{5x + 8}{x} > 1$;

В) $\frac{3 - 2x}{3x + 2} \le 1$;

Г) $\frac{5x - 4}{x + 8} \ge 15$.

а) $\frac{6x + 2}{x + 4} < 5$

Для решения дробно-рационального неравенства перенесем все члены в одну часть и приведем к общему знаменателю.

$\frac{6x + 2}{x + 4} - 5 < 0$

$\frac{6x + 2 - 5(x + 4)}{x + 4} < 0$

$\frac{6x + 2 - 5x - 20}{x + 4} < 0$

$\frac{x - 18}{x + 4} < 0$

Решим полученное неравенство методом интервалов. Для этого найдем нули числителя и знаменателя.

Нуль числителя: $x - 18 = 0 \implies x = 18$.

Нуль знаменателя (точка разрыва): $x + 4 = 0 \implies x = -4$.

Нанесем точки -4 и 18 на числовую прямую. Так как неравенство строгое, обе точки будут выколотыми. Эти точки делят прямую на три интервала: $(-\infty, -4)$, $(-4, 18)$ и $(18, \infty)$.

Определим знак выражения $\frac{x - 18}{x + 4}$ в каждом интервале:

• При $x > 18$ (например, $x=20$): $\frac{20 - 18}{20 + 4} = \frac{2}{24} > 0$.
• При $x \in (-4, 18)$ (например, $x=0$): $\frac{0 - 18}{0 + 4} = -\frac{18}{4} < 0$.
• При $x < -4$ (например, $x=-5$): $\frac{-5 - 18}{-5 + 4} = \frac{-23}{-1} > 0$.

Поскольку знак неравенства "<", нас интересует интервал, где выражение отрицательно.

Ответ: $x \in (-4, 18)$.

б) $\frac{5x + 8}{x} > 1$

Перенесем 1 в левую часть и приведем к общему знаменателю.

$\frac{5x + 8}{x} - 1 > 0$

$\frac{5x + 8 - x}{x} > 0$

$\frac{4x + 8}{x} > 0$

Решим методом интервалов. Найдем нули числителя и знаменателя.

Нуль числителя: $4x + 8 = 0 \implies 4x = -8 \implies x = -2$.

Нуль знаменателя: $x = 0$.

Нанесем точки -2 и 0 на числовую прямую. Обе точки выколотые, так как неравенство строгое. Получаем интервалы: $(-\infty, -2)$, $(-2, 0)$ и $(0, \infty)$.

Определим знак выражения $\frac{4x + 8}{x}$ в каждом интервале:

• При $x > 0$ (например, $x=1$): $\frac{4(1) + 8}{1} = 12 > 0$.
• При $x \in (-2, 0)$ (например, $x=-1$): $\frac{4(-1) + 8}{-1} = -4 < 0$.
• При $x < -2$ (например, $x=-3$): $\frac{4(-3) + 8}{-3} = \frac{-4}{-3} > 0$.

Поскольку знак неравенства ">", нас интересуют интервалы, где выражение положительно.

Ответ: $x \in (-\infty, -2) \cup (0, \infty)$.

в) $\frac{3 - 2x}{3x + 2} \le 1$

Перенесем 1 в левую часть и приведем к общему знаменателю.

$\frac{3 - 2x}{3x + 2} - 1 \le 0$

$\frac{3 - 2x - (3x + 2)}{3x + 2} \le 0$

$\frac{3 - 2x - 3x - 2}{3x + 2} \le 0$

$\frac{1 - 5x}{3x + 2} \le 0$

Решим методом интервалов. Найдем нули числителя и знаменателя.

Нуль числителя: $1 - 5x = 0 \implies 5x = 1 \implies x = \frac{1}{5}$.

Нуль знаменателя: $3x + 2 = 0 \implies 3x = -2 \implies x = -\frac{2}{3}$.

Нанесем точки на числовую прямую. Точка $x = \frac{1}{5}$ будет закрашенной (включенной), так как неравенство нестрогое. Точка $x = -\frac{2}{3}$ будет выколотой, так как знаменатель не может быть равен нулю. Получаем интервалы: $(-\infty, -\frac{2}{3})$, $(-\frac{2}{3}, \frac{1}{5}]$ и $[\frac{1}{5}, \infty)$.

Определим знак выражения $\frac{1 - 5x}{3x + 2}$ в каждом интервале:

• При $x > \frac{1}{5}$ (например, $x=1$): $\frac{1 - 5(1)}{3(1) + 2} = \frac{-4}{5} < 0$.
• При $x \in (-\frac{2}{3}, \frac{1}{5}]$ (например, $x=0$): $\frac{1 - 0}{0 + 2} = \frac{1}{2} > 0$.
• При $x < -\frac{2}{3}$ (например, $x=-1$): $\frac{1 - 5(-1)}{3(-1) + 2} = \frac{6}{-1} < 0$.

Поскольку знак неравенства "$\le$", нас интересуют интервалы, где выражение отрицательно или равно нулю.

Ответ: $x \in (-\infty, -\frac{2}{3}) \cup [\frac{1}{5}, \infty)$.

г) $\frac{5x - 4}{x + 8} \ge 15$

Перенесем 15 в левую часть и приведем к общему знаменателю.

$\frac{5x - 4}{x + 8} - 15 \ge 0$

$\frac{5x - 4 - 15(x + 8)}{x + 8} \ge 0$

$\frac{5x - 4 - 15x - 120}{x + 8} \ge 0$

$\frac{-10x - 124}{x + 8} \ge 0$

Умножим обе части неравенства на -1, изменив знак неравенства на противоположный:

$\frac{10x + 124}{x + 8} \le 0$

Решим методом интервалов. Найдем нули числителя и знаменателя.

Нуль числителя: $10x + 124 = 0 \implies 10x = -124 \implies x = -12.4$.

Нуль знаменателя: $x + 8 = 0 \implies x = -8$.

Нанесем точки на числовую прямую. Точка $x = -12.4$ будет закрашенной, а точка $x = -8$ — выколотой. Получаем интервалы: $(-\infty, -12.4]$, $[-12.4, -8)$ и $(-8, \infty)$.

Определим знак выражения $\frac{10x + 124}{x + 8}$ в каждом интервале:

• При $x > -8$ (например, $x=0$): $\frac{124}{8} > 0$.
• При $x \in [-12.4, -8)$ (например, $x=-10$): $\frac{10(-10) + 124}{-10 + 8} = \frac{24}{-2} < 0$.
• При $x \le -12.4$ (например, $x=-13$): $\frac{10(-13) + 124}{-13 + 8} = \frac{-6}{-5} > 0$.

Поскольку знак неравенства "$\le$", нас интересует интервал, где выражение отрицательно или равно нулю.

Ответ: $x \in [-12.4, -8)$.