Номер 389, страница 107 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

389. Решите неравенство, разложив его левую часть на множители:

a) $(x^2 - 16)(x + 17) > 0;$

б) $(x - \frac{2}{3})(x^2 - 121) < 0;$

в) $x^3 - 25x < 0;$

г) $x^3 - 0,01x > 0;$

д) $(x^2 - 9)(x^2 - 1) > 0;$

е) $(x^2 - 15x)(x^2 - 36) < 0.$

а) $(x^2 - 16)(x + 17) > 0$

Разложим на множители выражение $(x^2 - 16)$, используя формулу разности квадратов $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$.
$x^2 - 16 = x^2 - 4^2 = (x - 4)(x + 4)$.
Неравенство принимает вид:
$(x - 4)(x + 4)(x + 17) > 0$.
Решим это неравенство методом интервалов. Найдем корни левой части, приравняв ее к нулю:
$(x - 4)(x + 4)(x + 17) = 0$.
Корни уравнения: $x_1 = -17$, $x_2 = -4$, $x_3 = 4$.
Нанесем эти точки на числовую ось. Они разбивают ось на четыре интервала: $(-\infty; -17)$, $(-17; -4)$, $(-4; 4)$, $(4; \infty)$.
Определим знак выражения на каждом интервале. Для крайнего правого интервала $(4; \infty)$ возьмем пробное значение, например $x = 5$:
$(5 - 4)(5 + 4)(5 + 17) = 1 \cdot 9 \cdot 22 > 0$. Знак "+".
Так как все корни имеют кратность 1 (нечетную), знаки в интервалах чередуются: -, +, -, +.
Интервалы, на которых выражение больше нуля (имеют знак "+"): $(-17; -4)$ и $(4; \infty)$.
Ответ: $x \in (-17; -4) \cup (4; \infty)$.

б) $(x - \frac{2}{3})(x^2 - 121) < 0$

Разложим на множители выражение $(x^2 - 121)$ по формуле разности квадратов:
$x^2 - 121 = x^2 - 11^2 = (x - 11)(x + 11)$.
Неравенство принимает вид:
$(x - \frac{2}{3})(x - 11)(x + 11) < 0$.
Найдем корни левой части: $x_1 = -11$, $x_2 = \frac{2}{3}$, $x_3 = 11$.
Отметим корни на числовой оси, что делит ее на интервалы: $(-\infty; -11)$, $(-11; \frac{2}{3})$, $(\frac{2}{3}; 11)$, $(11; \infty)$.
Определим знаки. При $x = 12$: $(12 - \frac{2}{3})(12 - 11)(12 + 11) > 0$. Знак на $(11; \infty)$ — "+".
Знаки чередуются: +, -, +, -.
Нас интересуют интервалы, где выражение меньше нуля (знак "-"): $(-\infty; -11)$ и $(\frac{2}{3}; 11)$.
Ответ: $x \in (-\infty; -11) \cup (\frac{2}{3}; 11)$.

в) $x^3 - 25x < 0$

Сначала вынесем общий множитель $x$ за скобки:
$x(x^2 - 25) < 0$.
Затем разложим на множители разность квадратов $(x^2 - 25)$:
$x(x - 5)(x + 5) < 0$.
Корни левой части: $x_1 = -5$, $x_2 = 0$, $x_3 = 5$.
Интервалы на числовой оси: $(-\infty; -5)$, $(-5; 0)$, $(0; 5)$, $(5; \infty)$.
Определим знаки. При $x = 6$: $6(6 - 5)(6 + 5) > 0$. Знак на $(5; \infty)$ — "+".
Знаки чередуются: +, -, +, -.
Выбираем интервалы со знаком "-": $(-\infty; -5)$ и $(0; 5)$.
Ответ: $x \in (-\infty; -5) \cup (0; 5)$.

г) $x^3 - 0,01x > 0$

Вынесем $x$ за скобки:
$x(x^2 - 0,01) > 0$.
Разложим разность квадратов $(x^2 - 0,01)$:
$x(x - 0,1)(x + 0,1) > 0$.
Корни левой части: $x_1 = -0,1$, $x_2 = 0$, $x_3 = 0,1$.
Интервалы на числовой оси: $(-\infty; -0,1)$, $(-0,1; 0)$, $(0; 0,1)$, $(0,1; \infty)$.
Определим знаки. При $x = 1$: $1(1 - 0,1)(1 + 0,1) > 0$. Знак на $(0,1; \infty)$ — "+".
Знаки чередуются: -, +, -, +.
Выбираем интервалы со знаком "+": $(-0,1; 0)$ и $(0,1; \infty)$.
Ответ: $x \in (-0,1; 0) \cup (0,1; \infty)$.

д) $(x^2 - 9)(x^2 - 1) > 0$

Разложим каждый множитель по формуле разности квадратов:
$(x - 3)(x + 3)(x - 1)(x + 1) > 0$.
Корни левой части: $x_1 = -3$, $x_2 = -1$, $x_3 = 1$, $x_4 = 3$.
Интервалы на числовой оси: $(-\infty; -3)$, $(-3; -1)$, $(-1; 1)$, $(1; 3)$, $(3; \infty)$.
Определим знаки. При $x = 4$: $(4 - 3)(4 + 3)(4 - 1)(4 + 1) > 0$. Знак на $(3; \infty)$ — "+".
Знаки чередуются: +, -, +, -, +.
Выбираем интервалы со знаком "+": $(-\infty; -3)$, $(-1; 1)$ и $(3; \infty)$.
Ответ: $x \in (-\infty; -3) \cup (-1; 1) \cup (3; \infty)$.

е) $(x^2 - 15x)(x^2 - 36) < 0$

Разложим на множители каждую скобку:
Первая скобка: $x^2 - 15x = x(x - 15)$.
Вторая скобка: $x^2 - 36 = (x - 6)(x + 6)$.
Неравенство принимает вид:
$x(x - 15)(x - 6)(x + 6) < 0$.
Корни левой части: $x_1 = -6$, $x_2 = 0$, $x_3 = 6$, $x_4 = 15$.
Интервалы на числовой оси: $(-\infty; -6)$, $(-6; 0)$, $(0; 6)$, $(6; 15)$, $(15; \infty)$.
Определим знаки. При $x = 16$: $16(16 - 15)(16 - 6)(16 + 6) > 0$. Знак на $(15; \infty)$ — "+".
Знаки чередуются: +, -, +, -, +.
Выбираем интервалы со знаком "-": $(-6; 0)$ и $(6; 15)$.
Ответ: $x \in (-6; 0) \cup (6; 15)$.