Номер 392, страница 107 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

392. Равносильны ли неравенства:

а) $\frac{x - 3}{x + 1} \ge 0$ и $(x - 3)(x + 1) \ge 0$;

б) $\frac{x + 5}{x - 8} \le 0$ и $(x + 5)(x - 8) \le 0?$

а) Чтобы определить, равносильны ли неравенства $\frac{x-3}{x+1} \ge 0$ и $(x-3)(x+1) \ge 0$, необходимо сравнить их множества решений. Неравенства являются равносильными, если множества их решений полностью совпадают.

1. Решим первое неравенство $\frac{x-3}{x+1} \ge 0$ методом интервалов.
Область допустимых значений (ОДЗ) определяется условием знаменателя: $x+1 \ne 0$, откуда $x \ne -1$.
Найдем нули числителя и знаменателя: $x-3=0 \Rightarrow x=3$; $x+1=0 \Rightarrow x=-1$.
Отметим эти точки на числовой оси. Точка $x=3$ включается в решение (неравенство нестрогое), а точка $x=-1$ исключается (ОДЗ).
Проверим знаки на полученных интервалах:

• При $x > 3$ (например, $x=4$): $\frac{4-3}{4+1} = \frac{1}{5} > 0$. Интервал подходит.
• При $-1 < x < 3$ (например, $x=0$): $\frac{0-3}{0+1} = -3 < 0$. Интервал не подходит.
• При $x < -1$ (например, $x=-2$): $\frac{-2-3}{-2+1} = \frac{-5}{-1} = 5 > 0$. Интервал подходит.

Таким образом, решение первого неравенства: $x \in (-\infty, -1) \cup [3, +\infty)$.

2. Решим второе неравенство $(x-3)(x+1) \ge 0$ методом интервалов.
ОДЗ для этого неравенства — все действительные числа, $x \in \mathbb{R}$.
Корни соответствующего уравнения $(x-3)(x+1)=0$ равны $x=-1$ и $x=3$. Так как неравенство нестрогое, обе точки включаются в решение.
График функции $y=(x-3)(x+1)$ — это парабола, ветви которой направлены вверх. Значения функции неотрицательны вне интервала между корнями.
Следовательно, решение второго неравенства: $x \in (-\infty, -1] \cup [3, +\infty)$.

3. Сравним полученные решения.
Решение первого неравенства: $(-\infty, -1) \cup [3, +\infty)$.
Решение второго неравенства: $(-\infty, -1] \cup [3, +\infty)$.
Множества решений не совпадают, так как второе решение включает точку $x=-1$, а первое — нет, из-за области допустимых значений. Следовательно, данные неравенства не являются равносильными.
Ответ: нет, неравенства не равносильны.

б) Рассмотрим равносильность неравенств $\frac{x+5}{x-8} \le 0$ и $(x+5)(x-8) \le 0$.

1. Решим первое неравенство $\frac{x+5}{x-8} \le 0$ методом интервалов.
ОДЗ: $x-8 \ne 0$, откуда $x \ne 8$.
Нули числителя: $x+5=0 \Rightarrow x=-5$. Нули знаменателя: $x-8=0 \Rightarrow x=8$.
Отметим точки на числовой оси. Точка $x=-5$ включается в решение, а точка $x=8$ исключается.
Проверим знаки на интервалах:

• При $x > 8$ (например, $x=9$): $\frac{9+5}{9-8} = 14 > 0$. Интервал не подходит.
• При $-5 < x < 8$ (например, $x=0$): $\frac{0+5}{0-8} = -\frac{5}{8} < 0$. Интервал подходит.
• При $x < -5$ (например, $x=-6$): $\frac{-6+5}{-6-8} = \frac{-1}{-14} > 0$. Интервал не подходит.

С учетом включенной точки $x=-5$, решение первого неравенства: $x \in [-5, 8)$.

2. Решим второе неравенство $(x+5)(x-8) \le 0$ методом интервалов.
ОДЗ: $x \in \mathbb{R}$.
Корни уравнения $(x+5)(x-8)=0$ равны $x=-5$ и $x=8$. Обе точки включаются в решение.
График функции $y=(x+5)(x-8)$ — парабола с ветвями вверх. Значения функции неположительны на отрезке между корнями.
Следовательно, решение второго неравенства: $x \in [-5, 8]$.

3. Сравним полученные решения.
Решение первого неравенства: $x \in [-5, 8)$.
Решение второго неравенства: $x \in [-5, 8]$.
Множества решений не совпадают. Второе решение содержит точку $x=8$, а первое — нет. Таким образом, неравенства не являются равносильными.
Ответ: нет, неравенства не равносильны.