Номер 390, страница 107 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

390. Решите неравенство:

a) $(x^2 + 17)(x - 6)(x + 2) < 0;$
б) $(2x^2 + 1)x(x - 4) > 0;$
в) $(x - 1)^2(x - 24) < 0;$
г) $(x + 7)(x - 4)^2(x - 21) > 0.$

а) Решим неравенство $(x^2 + 17)(x - 6)(x + 2) < 0$.
Выражение $x^2 + 17$ всегда положительно при любом значении $x$, так как $x^2 \ge 0$, а значит $x^2 + 17 \ge 17$. Следовательно, мы можем разделить обе части неравенства на это положительное выражение, не меняя знака неравенства:
$(x - 6)(x + 2) < 0$.
Для решения этого неравенства используем метод интервалов. Найдем корни соответствующего уравнения $(x - 6)(x + 2) = 0$. Корнями являются $x_1 = 6$ и $x_2 = -2$.
Отметим эти точки на числовой прямой. Они разбивают прямую на три интервала: $(-\infty, -2)$, $(-2, 6)$ и $(6, +\infty)$.
Определим знак выражения $(x - 6)(x + 2)$ в каждом интервале:
- При $x > 6$ (например, $x=7$): $(7 - 6)(7 + 2) = 1 \cdot 9 = 9 > 0$.
- При $-2 < x < 6$ (например, $x=0$): $(0 - 6)(0 + 2) = -6 \cdot 2 = -12 < 0$.
- При $x < -2$ (например, $x=-3$): $(-3 - 6)(-3 + 2) = (-9) \cdot (-1) = 9 > 0$.
Нам нужно, чтобы выражение было меньше нуля, поэтому выбираем интервал, где оно отрицательно.
Ответ: $x \in (-2, 6)$.

б) Решим неравенство $(2x^2 + 1)x(x - 4) > 0$.
Выражение $2x^2 + 1$ всегда положительно при любом значении $x$, так как $x^2 \ge 0$, следовательно $2x^2 \ge 0$, а $2x^2 + 1 \ge 1$. Разделим обе части неравенства на $2x^2 + 1$, знак неравенства при этом не изменится:
$x(x - 4) > 0$.
Применим метод интервалов. Корни уравнения $x(x - 4) = 0$ равны $x_1 = 0$ и $x_2 = 4$.
Отметим эти точки на числовой прямой, которые разбивают ее на интервалы: $(-\infty, 0)$, $(0, 4)$ и $(4, +\infty)$.
Определим знак выражения $x(x - 4)$ в каждом интервале:
- При $x > 4$ (например, $x=5$): $5(5 - 4) = 5 > 0$.
- При $0 < x < 4$ (например, $x=1$): $1(1 - 4) = -3 < 0$.
- При $x < 0$ (например, $x=-1$): $-1(-1 - 4) = 5 > 0$.
Нам нужно, чтобы выражение было больше нуля, поэтому выбираем интервалы, где оно положительно.
Ответ: $x \in (-\infty, 0) \cup (4, +\infty)$.

в) Решим неравенство $(x - 1)^2(x - 24) < 0$.
Используем метод интервалов. Найдем корни уравнения $(x - 1)^2(x - 24) = 0$. Корнями являются $x_1 = 1$ (корень кратности 2) и $x_2 = 24$.
Множитель $(x - 1)^2$ всегда неотрицателен (т.е. $\ge 0$). Так как неравенство строгое ($< 0$), то выражение не может быть равно нулю, значит $x \neq 1$ и $x \neq 24$.
При $x \neq 1$, множитель $(x - 1)^2$ всегда положителен. Мы можем разделить на него обе части неравенства, не меняя знака:
$x - 24 < 0$.
Отсюда получаем $x < 24$.
Учитывая условие $x \neq 1$, получаем решение: $x < 24$ и $x \neq 1$.
В виде интервалов это записывается как объединение двух интервалов.
Ответ: $x \in (-\infty, 1) \cup (1, 24)$.

г) Решим неравенство $(x + 7)(x - 4)^2(x - 21) \ge 0$.
Используем метод интервалов. Найдем корни уравнения $(x + 7)(x - 4)^2(x - 21) = 0$. Корнями являются $x_1 = -7$, $x_2 = 4$ (корень кратности 2) и $x_3 = 21$.
Так как неравенство нестрогое ($\ge 0$), то точки, в которых выражение равно нулю, являются частью решения. То есть $x=-7$, $x=4$, $x=21$ входят в ответ.
Отметим эти точки на числовой прямой. Они разбивают прямую на интервалы: $(-\infty, -7)$, $(-7, 4)$, $(4, 21)$ и $(21, +\infty)$.
Определим знаки выражения в интервалах. При переходе через корень четной кратности ($x=4$) знак выражения не меняется.
- При $x > 21$ (например, $x=22$): $(22+7)(22-4)^2(22-21) = (+)(+)(+) > 0$.
- При $4 < x < 21$ (например, $x=5$): $(5+7)(5-4)^2(5-21) = (+)(+)(-) < 0$.
- При $-7 < x < 4$ (например, $x=0$): $(0+7)(0-4)^2(0-21) = (+)(+)(-) < 0$.
- При $x < -7$ (например, $x=-8$): $(-8+7)(-8-4)^2(-8-21) = (-)(+)(-) > 0$.
Нам нужно, чтобы выражение было больше или равно нулю. Это выполняется на интервалах $(-\infty, -7]$ и $[21, +\infty)$. Также не забываем про изолированную точку $x=4$, где выражение равно нулю.
Ответ: $x \in (-\infty, -7] \cup \{4\} \cup [21, +\infty)$.