Номер 394, страница 107 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

394. Решите неравенство:

а) $\frac{6x + 2}{x + 4} < 5$;

б) $\frac{5x + 8}{x} > 1$;

В) $\frac{3 - 2x}{3x + 2} \le 1$;

Г) $\frac{5x - 4}{x + 8} \ge 15$.

а) $\frac{6x + 2}{x + 4} < 5$

Для решения дробно-рационального неравенства перенесем все члены в одну часть и приведем к общему знаменателю.

$\frac{6x + 2}{x + 4} - 5 < 0$

$\frac{6x + 2 - 5(x + 4)}{x + 4} < 0$

$\frac{6x + 2 - 5x - 20}{x + 4} < 0$

$\frac{x - 18}{x + 4} < 0$

Решим полученное неравенство методом интервалов. Для этого найдем нули числителя и знаменателя.

Нуль числителя: $x - 18 = 0 \implies x = 18$.

Нуль знаменателя (точка разрыва): $x + 4 = 0 \implies x = -4$.

Нанесем точки -4 и 18 на числовую прямую. Так как неравенство строгое, обе точки будут выколотыми. Эти точки делят прямую на три интервала: $(-\infty, -4)$, $(-4, 18)$ и $(18, \infty)$.

Определим знак выражения $\frac{x - 18}{x + 4}$ в каждом интервале:

• При $x > 18$ (например, $x=20$): $\frac{20 - 18}{20 + 4} = \frac{2}{24} > 0$.
• При $x \in (-4, 18)$ (например, $x=0$): $\frac{0 - 18}{0 + 4} = -\frac{18}{4} < 0$.
• При $x < -4$ (например, $x=-5$): $\frac{-5 - 18}{-5 + 4} = \frac{-23}{-1} > 0$.

Поскольку знак неравенства "<", нас интересует интервал, где выражение отрицательно.

Ответ: $x \in (-4, 18)$.

б) $\frac{5x + 8}{x} > 1$

Перенесем 1 в левую часть и приведем к общему знаменателю.

$\frac{5x + 8}{x} - 1 > 0$

$\frac{5x + 8 - x}{x} > 0$

$\frac{4x + 8}{x} > 0$

Решим методом интервалов. Найдем нули числителя и знаменателя.

Нуль числителя: $4x + 8 = 0 \implies 4x = -8 \implies x = -2$.

Нуль знаменателя: $x = 0$.

Нанесем точки -2 и 0 на числовую прямую. Обе точки выколотые, так как неравенство строгое. Получаем интервалы: $(-\infty, -2)$, $(-2, 0)$ и $(0, \infty)$.

Определим знак выражения $\frac{4x + 8}{x}$ в каждом интервале:

• При $x > 0$ (например, $x=1$): $\frac{4(1) + 8}{1} = 12 > 0$.
• При $x \in (-2, 0)$ (например, $x=-1$): $\frac{4(-1) + 8}{-1} = -4 < 0$.
• При $x < -2$ (например, $x=-3$): $\frac{4(-3) + 8}{-3} = \frac{-4}{-3} > 0$.

Поскольку знак неравенства ">", нас интересуют интервалы, где выражение положительно.

Ответ: $x \in (-\infty, -2) \cup (0, \infty)$.

в) $\frac{3 - 2x}{3x + 2} \le 1$

Перенесем 1 в левую часть и приведем к общему знаменателю.

$\frac{3 - 2x}{3x + 2} - 1 \le 0$

$\frac{3 - 2x - (3x + 2)}{3x + 2} \le 0$

$\frac{3 - 2x - 3x - 2}{3x + 2} \le 0$

$\frac{1 - 5x}{3x + 2} \le 0$

Решим методом интервалов. Найдем нули числителя и знаменателя.

Нуль числителя: $1 - 5x = 0 \implies 5x = 1 \implies x = \frac{1}{5}$.

Нуль знаменателя: $3x + 2 = 0 \implies 3x = -2 \implies x = -\frac{2}{3}$.

Нанесем точки на числовую прямую. Точка $x = \frac{1}{5}$ будет закрашенной (включенной), так как неравенство нестрогое. Точка $x = -\frac{2}{3}$ будет выколотой, так как знаменатель не может быть равен нулю. Получаем интервалы: $(-\infty, -\frac{2}{3})$, $(-\frac{2}{3}, \frac{1}{5}]$ и $[\frac{1}{5}, \infty)$.

Определим знак выражения $\frac{1 - 5x}{3x + 2}$ в каждом интервале:

• При $x > \frac{1}{5}$ (например, $x=1$): $\frac{1 - 5(1)}{3(1) + 2} = \frac{-4}{5} < 0$.
• При $x \in (-\frac{2}{3}, \frac{1}{5}]$ (например, $x=0$): $\frac{1 - 0}{0 + 2} = \frac{1}{2} > 0$.
• При $x < -\frac{2}{3}$ (например, $x=-1$): $\frac{1 - 5(-1)}{3(-1) + 2} = \frac{6}{-1} < 0$.

Поскольку знак неравенства "$\le$", нас интересуют интервалы, где выражение отрицательно или равно нулю.

Ответ: $x \in (-\infty, -\frac{2}{3}) \cup [\frac{1}{5}, \infty)$.

г) $\frac{5x - 4}{x + 8} \ge 15$

Перенесем 15 в левую часть и приведем к общему знаменателю.

$\frac{5x - 4}{x + 8} - 15 \ge 0$

$\frac{5x - 4 - 15(x + 8)}{x + 8} \ge 0$

$\frac{5x - 4 - 15x - 120}{x + 8} \ge 0$

$\frac{-10x - 124}{x + 8} \ge 0$

Умножим обе части неравенства на -1, изменив знак неравенства на противоположный:

$\frac{10x + 124}{x + 8} \le 0$

Решим методом интервалов. Найдем нули числителя и знаменателя.

Нуль числителя: $10x + 124 = 0 \implies 10x = -124 \implies x = -12.4$.

Нуль знаменателя: $x + 8 = 0 \implies x = -8$.

Нанесем точки на числовую прямую. Точка $x = -12.4$ будет закрашенной, а точка $x = -8$ — выколотой. Получаем интервалы: $(-\infty, -12.4]$, $[-12.4, -8)$ и $(-8, \infty)$.

Определим знак выражения $\frac{10x + 124}{x + 8}$ в каждом интервале:

• При $x > -8$ (например, $x=0$): $\frac{124}{8} > 0$.
• При $x \in [-12.4, -8)$ (например, $x=-10$): $\frac{10(-10) + 124}{-10 + 8} = \frac{24}{-2} < 0$.
• При $x \le -12.4$ (например, $x=-13$): $\frac{10(-13) + 124}{-13 + 8} = \frac{-6}{-5} > 0$.

Поскольку знак неравенства "$\le$", нас интересует интервал, где выражение отрицательно или равно нулю.

Ответ: $x \in [-12.4, -8)$.