Номер 391, страница 107 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

391. Найдите область определения функции:

a) $y = \frac{4}{\sqrt{(3x-1)(6x+1)}}$;

б) $y = \frac{7}{\sqrt{(11x+2)(x-4)}}.$

а) Область определения функции $y = \frac{4}{\sqrt{(3x - 1)(6x + 1)}}$ находится из условия, что выражение под корнем в знаменателе должно быть строго больше нуля. Это следует из двух ограничений: знаменатель дроби не может быть равен нулю, и подкоренное выражение для квадратного корня не может быть отрицательным.

Таким образом, мы должны решить неравенство:
$(3x - 1)(6x + 1) > 0$

Для решения неравенства методом интервалов найдем корни соответствующего уравнения $(3x - 1)(6x + 1) = 0$:
$3x - 1 = 0 \implies 3x = 1 \implies x_1 = \frac{1}{3}$
$6x + 1 = 0 \implies 6x = -1 \implies x_2 = -\frac{1}{6}$

Нанесем корни на числовую ось. Они разделят ее на три интервала: $(-\infty; -\frac{1}{6})$, $(-\frac{1}{6}; \frac{1}{3})$ и $(\frac{1}{3}; +\infty)$.
Выражение $(3x - 1)(6x + 1)$ представляет собой параболу, ветви которой направлены вверх (коэффициент при $x^2$ равен $18 > 0$). Следовательно, выражение принимает положительные значения на интервалах вне корней.

Таким образом, решением неравенства является объединение интервалов $x < -\frac{1}{6}$ и $x > \frac{1}{3}$.
Ответ: $x \in (-\infty; -\frac{1}{6}) \cup (\frac{1}{3}; +\infty)$.

б) Аналогично, для функции $y = \frac{7}{\sqrt{(11x + 2)(x - 4)}}$ область определения задается строгим неравенством для подкоренного выражения в знаменателе.

Решаем неравенство:
$(11x + 2)(x - 4) > 0$

Найдем корни уравнения $(11x + 2)(x - 4) = 0$:
$11x + 2 = 0 \implies 11x = -2 \implies x_1 = -\frac{2}{11}$
$x - 4 = 0 \implies x_2 = 4$

Нанесем корни $x_1 = -\frac{2}{11}$ и $x_2 = 4$ на числовую ось. Интервалы: $(-\infty; -\frac{2}{11})$, $(-\frac{2}{11}; 4)$ и $(4; +\infty)$.
Ветви параболы $(11x + 2)(x - 4)$ направлены вверх (коэффициент при $x^2$ равен $11 > 0$), поэтому выражение положительно на крайних интервалах.

Решением неравенства является объединение интервалов $x < -\frac{2}{11}$ и $x > 4$.
Ответ: $x \in (-\infty; -\frac{2}{11}) \cup (4; +\infty)$.