Номер 385, страница 106 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

385. Решите систему неравенств:

a) $\begin{cases} x^2 + x - 6 < 0, \\ -x^2 + 2x + 3 > 0; \end{cases}$

б) $\begin{cases} x^2 + 4x - 5 > 0, \\ x^2 - 2x - 8 < 0. \end{cases}$

а) Решим систему неравенств:

$ \begin{cases} x^2 + x - 6 < 0, \\ -x^2 + 2x + 3 > 0; \end{cases} $

1. Сначала решим первое неравенство: $x^2 + x - 6 < 0$.

Для этого найдем корни соответствующего квадратного уравнения $x^2 + x - 6 = 0$. Используя теорему Виета, получаем корни $x_1 = -3$ и $x_2 = 2$.

Графиком функции $y = x^2 + x - 6$ является парабола, ветви которой направлены вверх, так как коэффициент при $x^2$ положителен. Следовательно, значения функции меньше нуля между корнями.

Решением первого неравенства является интервал $x \in (-3, 2)$.

2. Теперь решим второе неравенство: $-x^2 + 2x + 3 > 0$.

Для удобства умножим обе части неравенства на -1, изменив знак неравенства на противоположный: $x^2 - 2x - 3 < 0$.

Найдем корни уравнения $x^2 - 2x - 3 = 0$. По теореме Виета, корни $x_1 = -1$ и $x_2 = 3$.

Графиком функции $y = x^2 - 2x - 3$ является парабола с ветвями вверх. Значения функции меньше нуля между корнями.

Решением второго неравенства является интервал $x \in (-1, 3)$.

3. Решением системы является пересечение решений обоих неравенств: $(-3, 2) \cap (-1, 3)$.

Найдя пересечение этих двух интервалов, получаем итоговый интервал $(-1, 2)$.

Ответ: $x \in (-1, 2)$.

б) Решим систему неравенств:

$ \begin{cases} x^2 + 4x - 5 > 0, \\ x^2 - 2x - 8 < 0. \end{cases} $

1. Решим первое неравенство: $x^2 + 4x - 5 > 0$.

Найдем корни уравнения $x^2 + 4x - 5 = 0$. По теореме Виета, корни $x_1 = -5$ и $x_2 = 1$.

Парабола $y = x^2 + 4x - 5$ имеет ветви, направленные вверх. Значения функции больше нуля вне интервала между корнями.

Решением первого неравенства является объединение интервалов $x \in (-\infty, -5) \cup (1, \infty)$.

2. Решим второе неравенство: $x^2 - 2x - 8 < 0$.

Найдем корни уравнения $x^2 - 2x - 8 = 0$. По теореме Виета, корни $x_1 = -2$ и $x_2 = 4$.

Парабола $y = x^2 - 2x - 8$ имеет ветви, направленные вверх. Значения функции меньше нуля между корнями.

Решением второго неравенства является интервал $x \in (-2, 4)$.

3. Найдем пересечение множества решений первого неравенства и интервала решений второго неравенства: $((-\infty, -5) \cup (1, \infty)) \cap (-2, 4)$.

Пересечение интервала $(-\infty, -5)$ с интервалом $(-2, 4)$ является пустым множеством.

Пересечение интервала $(1, \infty)$ с интервалом $(-2, 4)$ дает интервал $(1, 4)$.

Таким образом, решением системы является интервал $(1, 4)$.

Ответ: $x \in (1, 4)$.