Номер 383, страница 106 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

383. Найдите общие решения неравенств $x^2 + 6x - 7 \le 0$ и $x^2 - 2x - 15 \le 0$.

Для того чтобы найти общие решения, необходимо решить каждое неравенство по отдельности и затем найти пересечение их множеств решений. Это эквивалентно решению системы неравенств:

$\begin{cases} x^2 + 6x - 7 \le 0 \\ x^2 - 2x - 15 \le 0 \end{cases}$

1. Решим первое неравенство $x^2 + 6x - 7 \le 0$

Сначала найдем корни соответствующего квадратного уравнения $x^2 + 6x - 7 = 0$. Для этого вычислим дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = 6^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-7) = 36 + 28 = 64$

Корни уравнения равны:

$x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-6 \pm \sqrt{64}}{2} = \frac{-6 \pm 8}{2}$

$x_1 = \frac{-6 - 8}{2} = \frac{-14}{2} = -7$

$x_2 = \frac{-6 + 8}{2} = \frac{2}{2} = 1$

Графиком функции $y = x^2 + 6x - 7$ является парабола, ветви которой направлены вверх, так как коэффициент при $x^2$ положителен ($a=1 > 0$). Следовательно, значения функции будут не положительными ($ \le 0 $) на промежутке между корнями, включая сами корни.

Таким образом, решение первого неравенства: $x \in [-7, 1]$.

2. Решим второе неравенство $x^2 - 2x - 15 \le 0$

Найдем корни квадратного уравнения $x^2 - 2x - 15 = 0$. Вычислим дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-15) = 4 + 60 = 64$

Корни уравнения равны:

$x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{2 \pm \sqrt{64}}{2} = \frac{2 \pm 8}{2}$

$x_1 = \frac{2 - 8}{2} = \frac{-6}{2} = -3$

$x_2 = \frac{2 + 8}{2} = \frac{10}{2} = 5$

Графиком функции $y = x^2 - 2x - 15$ также является парабола с ветвями вверх ($a=1 > 0$). Неравенство $ \le 0 $ выполняется на отрезке между корнями.

Решение второго неравенства: $x \in [-3, 5]$.

3. Найдем общие решения

Общие решения системы неравенств — это пересечение найденных множеств решений: $[-7, 1] \cap [-3, 5]$. Нам нужно найти все значения $x$, которые одновременно удовлетворяют условиям $-7 \le x \le 1$ и $-3 \le x \le 5$.

Изобразив эти два отрезка на числовой прямой, мы увидим, что их общая часть — это отрезок от $-3$ до $1$. Математически, пересечение интервалов $[\text{a}, \text{b}]$ и $[\text{c}, \text{d}]$ это $[\max(\text{a}, \text{c}), \min(\text{b}, \text{d})]$.

$\max(-7, -3) = -3$

$\min(1, 5) = 1$

Следовательно, общим решением является отрезок $[-3, 1]$.

Ответ: $[-3, 1]$