Номер 387, страница 107 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

387. При каких значениях $x$ произведение $(3x - 5)(x + 4)(2 - x)$:

а) равно нулю;

б) положительно;

в) отрицательно?

Дано произведение трех множителей: $(3x-5)(x+4)(2-x)$.

а) равно нулю;

Произведение равно нулю в том и только в том случае, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Поэтому приравняем каждый множитель к нулю, чтобы найти соответствующие значения $x$.

1) $3x - 5 = 0$
$3x = 5$
$x_1 = \frac{5}{3}$

2) $x + 4 = 0$
$x_2 = -4$

3) $2 - x = 0$
$x_3 = 2$

Таким образом, произведение обращается в нуль при трех значениях $x$.

Ответ: $x = -4; \frac{5}{3}; 2$.

Для того чтобы определить, когда произведение положительно или отрицательно, воспользуемся методом интервалов. Нанесём на числовую ось корни, найденные в пункте а), в порядке их возрастания: $-4$, $\frac{5}{3}$ и $2$.

Эти точки разбивают числовую ось на четыре интервала: $(-\infty; -4)$, $(-4; \frac{5}{3})$, $(\frac{5}{3}; 2)$ и $(2; +\infty)$.

Теперь определим знак произведения в каждом интервале. Для этого можно взять любую "пробную" точку из каждого интервала и подставить её в исходное выражение $(3x-5)(x+4)(2-x)$.

• В интервале $(2; +\infty)$ возьмем $x=10$.
$(3 \cdot 10 - 5)(10+4)(2-10) = (25)(14)(-8)$. Произведение имеет знак "минус".
• В интервале $(\frac{5}{3}; 2)$ возьмем $x=1,8$ (так как $\frac{5}{3} \approx 1,67$).
$(3 \cdot 1,8 - 5)(1,8+4)(2-1,8) = (5,4 - 5)(5,8)(0,2) = (0,4)(5,8)(0,2)$. Все множители положительны, произведение имеет знак "плюс".
• В интервале $(-4; \frac{5}{3})$ возьмем $x=0$.
$(3 \cdot 0 - 5)(0+4)(2-0) = (-5)(4)(2)$. Произведение имеет знак "минус".
• В интервале $(-\infty; -4)$ возьмем $x=-5$.
$(3 \cdot (-5) - 5)(-5+4)(2-(-5)) = (-20)(-1)(7)$. Произведение имеет знак "плюс".

Расставим знаки на интервалах: $(-\infty; -4)$ - плюс, $(-4; \frac{5}{3})$ - минус, $(\frac{5}{3}; 2)$ - плюс, $(2; +\infty)$ - минус.

б) положительно;

Произведение положительно (больше нуля) на тех интервалах, где стоит знак "плюс".

Ответ: $x \in (-\infty; -4) \cup (\frac{5}{3}; 2)$.

в) отрицательно?

Произведение отрицательно (меньше нуля) на тех интервалах, где стоит знак "минус".

Ответ: $x \in (-4; \frac{5}{3}) \cup (2; +\infty)$.