Номер 393, страница 107 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

393. Решите неравенство:

а) $ \frac{x-8}{x+4} > 0; $

б) $ \frac{x+16}{x-11} < 0; $

в) $ \frac{x+1}{3-x} \ge 0; $

г) $ \frac{6-x}{x-4} \le 0; $

д) $ \frac{2x-4}{3x+3} \le 0; $

е) $ \frac{5x-1}{2x+3} \ge 0. $

а) $\frac{x-8}{x+4} > 0$

Для решения данного дробно-рационального неравенства воспользуемся методом интервалов.

1. Найдём нули числителя: $x - 8 = 0$, откуда $x = 8$.

2. Найдём нули знаменателя (точки, в которых выражение не определено): $x + 4 = 0$, откуда $x = -4$.

3. Отметим найденные точки на числовой оси. Так как неравенство строгое ($>$), обе точки будут выколотыми (не входящими в решение).

Точки $x = -4$ и $x = 8$ разбивают числовую ось на три интервала: $(-\infty; -4)$, $(-4; 8)$ и $(8; +\infty)$.

4. Определим знак выражения $\frac{x-8}{x+4}$ в каждом из интервалов, взяв по одной пробной точке:

• При $x = 9$ (интервал $(8; +\infty)$): $\frac{9-8}{9+4} = \frac{1}{13} > 0$. Знак «+».
• При $x = 0$ (интервал $(-4; 8)$): $\frac{0-8}{0+4} = \frac{-8}{4} = -2 < 0$. Знак «−».
• При $x = -5$ (интервал $(-\infty; -4)$): $\frac{-5-8}{-5+4} = \frac{-13}{-1} = 13 > 0$. Знак «+».

5. Поскольку мы ищем значения $x$, при которых выражение больше нуля, выбираем интервалы со знаком «+».

Ответ: $x \in (-\infty; -4) \cup (8; +\infty)$.

б) $\frac{x+16}{x-11} < 0$

Решаем методом интервалов.

1. Нули числителя: $x + 16 = 0 \implies x = -16$.

2. Нули знаменателя: $x - 11 = 0 \implies x = 11$.

3. Отмечаем точки на числовой оси. Неравенство строгое ($<$), поэтому обе точки выколотые.

Интервалы: $(-\infty; -16)$, $(-16; 11)$, $(11; +\infty)$.

4. Определяем знаки выражения на интервалах:

• При $x = 12$: $\frac{12+16}{12-11} > 0$. Знак «+».
• При $x = 0$: $\frac{0+16}{0-11} < 0$. Знак «−».
• При $x = -17$: $\frac{-17+16}{-17-11} > 0$. Знак «+».

5. Ищем значения $x$, при которых выражение меньше нуля, то есть выбираем интервал со знаком «−».

Ответ: $x \in (-16; 11)$.

в) $\frac{x+1}{3-x} \ge 0$

Чтобы применить метод интервалов в стандартном виде, удобно, чтобы коэффициент при $x$ был положительным. Умножим обе части неравенства на $-1$ и сменим знак неравенства на противоположный:

$\frac{x+1}{-(x-3)} \ge 0 \implies \frac{x+1}{x-3} \le 0$

1. Нули числителя: $x + 1 = 0 \implies x = -1$. Так как неравенство нестрогое ($\le$), эта точка будет закрашенной.

2. Нули знаменателя: $x - 3 = 0 \implies x = 3$. Эта точка всегда выколотая, так как на ноль делить нельзя.

3. Отмечаем точки на оси: $x=-1$ (закрашенная), $x=3$ (выколотая).

Интервалы: $(-\infty; -1]$, $[-1; 3)$, $(3; +\infty)$.

4. Определяем знаки для выражения $\frac{x+1}{x-3}$:

• При $x = 4$: $\frac{4+1}{4-3} > 0$. Знак «+».
• При $x = 0$: $\frac{0+1}{0-3} < 0$. Знак «−».
• При $x = -2$: $\frac{-2+1}{-2-3} > 0$. Знак «+».

5. Ищем значения $x$, при которых выражение меньше либо равно нулю. Выбираем интервал со знаком «−» и включаем закрашенную точку.

Ответ: $x \in [-1; 3)$.

г) $\frac{6-x}{x-4} \le 0$

Умножим неравенство на $-1$ и сменим знак, чтобы коэффициент при $x$ в числителе стал положительным:

$\frac{-(x-6)}{x-4} \le 0 \implies \frac{x-6}{x-4} \ge 0$

1. Нули числителя: $x - 6 = 0 \implies x = 6$ (закрашенная точка, т.к. неравенство нестрогое).

2. Нули знаменателя: $x - 4 = 0 \implies x = 4$ (выколотая точка).

3. Отмечаем точки на оси: $x=4$ (выколотая), $x=6$ (закрашенная).

Интервалы: $(-\infty; 4)$, $(4; 6]$, $[6; +\infty)$.

4. Определяем знаки для $\frac{x-6}{x-4}$:

• При $x = 7$: $\frac{7-6}{7-4} > 0$. Знак «+».
• При $x = 5$: $\frac{5-6}{5-4} < 0$. Знак «−».
• При $x = 0$: $\frac{0-6}{0-4} > 0$. Знак «+».

5. Ищем значения $x$, при которых выражение больше либо равно нулю. Выбираем интервалы со знаком «+».

Ответ: $x \in (-\infty; 4) \cup [6; +\infty)$.

д) $\frac{2x-4}{3x+3} \le 0$

Вынесем общие множители в числителе и знаменателе: $\frac{2(x-2)}{3(x+1)} \le 0$.

Поскольку множитель $\frac{2}{3}$ является положительной константой, он не влияет на знак неравенства. Можем решать равносильное неравенство: $\frac{x-2}{x+1} \le 0$.

1. Нули числителя: $x - 2 = 0 \implies x = 2$ (закрашенная точка).

2. Нули знаменателя: $x + 1 = 0 \implies x = -1$ (выколотая точка).

3. Отмечаем точки на оси: $x=-1$ (выколотая), $x=2$ (закрашенная).

Интервалы: $(-\infty; -1)$, $(-1; 2]$, $[2; +\infty)$.

4. Определяем знаки для $\frac{x-2}{x+1}$:

• При $x = 3$: $\frac{3-2}{3+1} > 0$. Знак «+».
• При $x = 0$: $\frac{0-2}{0+1} < 0$. Знак «−».
• При $x = -2$: $\frac{-2-2}{-2+1} > 0$. Знак «+».

5. Ищем значения $x$, при которых выражение меньше либо равно нулю. Выбираем интервал со знаком «−».

Ответ: $x \in (-1; 2]$.

е) $\frac{5x-1}{2x+3} \ge 0$

Решаем методом интервалов.

1. Нули числителя: $5x - 1 = 0 \implies 5x = 1 \implies x = \frac{1}{5}$ (закрашенная точка).

2. Нули знаменателя: $2x + 3 = 0 \implies 2x = -3 \implies x = -\frac{3}{2}$ (выколотая точка).

3. Отмечаем точки на оси: $x = -1.5$ (выколотая), $x = 0.2$ (закрашенная).

Интервалы: $(-\infty; -\frac{3}{2})$, $(-\frac{3}{2}; \frac{1}{5}]$, $[\frac{1}{5}; +\infty)$.

4. Определяем знаки выражения:

• При $x = 1$: $\frac{5(1)-1}{2(1)+3} = \frac{4}{5} > 0$. Знак «+».
• При $x = 0$: $\frac{5(0)-1}{2(0)+3} = -\frac{1}{3} < 0$. Знак «−».
• При $x = -2$: $\frac{5(-2)-1}{2(-2)+3} = \frac{-11}{-1} = 11 > 0$. Знак «+».

5. Ищем значения $x$, при которых выражение больше либо равно нулю. Выбираем интервалы со знаком «+».

Ответ: $x \in (-\infty; -\frac{3}{2}) \cup [\frac{1}{5}; +\infty)$.