Номер 398, страница 111 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

398. Докажите, что графиком уравнения $x^2 - y^2 = 0$ является пара прямых $y = x$ и $y = -x$.

Для того чтобы доказать, что графиком уравнения $x^2 - y^2 = 0$ является пара прямых $y=x$ и $y=-x$, необходимо преобразовать исходное уравнение.

Левая часть уравнения $x^2 - y^2 = 0$ представляет собой формулу разности квадратов: $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$.

Применив эту формулу к нашему уравнению, где $a=x$ и $b=y$, получим:
$(x - y)(x + y) = 0$

Произведение двух множителей равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Это означает, что данное уравнение равносильно совокупности двух уравнений:

1) $x - y = 0$
2) $x + y = 0$

Рассмотрим каждое уравнение по отдельности:

Из первого уравнения $x - y = 0$ следует, что $y = x$. Это уравнение задает прямую линию, проходящую через начало координат, которая является биссектрисой I и III координатных четвертей.

Из второго уравнения $x + y = 0$ следует, что $y = -x$. Это уравнение также задает прямую линию, проходящую через начало координат, которая является биссектрисой II и IV координатных четвертей.

Таким образом, множество всех точек $(x, y)$, координаты которых удовлетворяют уравнению $x^2 - y^2 = 0$, является объединением множества точек, удовлетворяющих уравнению $y=x$, и множества точек, удовлетворяющих уравнению $y=-x$. Графически это и есть пара прямых $y=x$ и $y=-x$. Что и требовалось доказать.

Ответ: Уравнение $x^2 - y^2 = 0$ равносильно уравнению $(x-y)(x+y) = 0$. Данное равенство истинно, если $x-y=0$ (то есть $y=x$) или если $x+y=0$ (то есть $y=-x$). Следовательно, график исходного уравнения представляет собой объединение графиков двух прямых: $y=x$ и $y=-x$.