Номер 397, страница 111 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

17. Уравнение с двумя переменными и его график. § 7. Уравнения с двумя переменными и их системы. Глава 3. Уравнения и неравенства с двумя переменными - номер 397, страница 111.

397. Определите степень уравнения:

а) $x + 4xy = 5;$

б) $x^5 + 8x^3y^3 = 1;$

в) $8x^6 - y^2 = 2x^4(4x^2 - y);$

г) $(x - 2y)^2 - x^2 = 4y(y - x) + 5x.$

Степенью уравнения с несколькими переменными называется наибольшая из степеней его членов. Степень члена (одночлена) — это сумма показателей степеней всех входящих в него переменных. Чтобы определить степень уравнения, необходимо сначала привести его к стандартному виду, раскрыв все скобки и приведя подобные слагаемые, так чтобы в одной части уравнения был многочлен, а в другой — ноль.

а) $x + 4xy = 5$

Перенесем все члены уравнения в левую часть: $x + 4xy - 5 = 0$.
Уравнение состоит из трех членов (одночленов): $x$, $4xy$ и $-5$.
Определим степень каждого члена:
- Степень члена $x$ (или $x^1$) равна 1.
- Степень члена $4xy$ (или $4x^1y^1$) равна сумме степеней переменных: $1 + 1 = 2$.
- Степень члена $-5$ (свободный член) равна 0.
Наибольшая из степеней членов равна 2. Следовательно, степень уравнения равна 2.
Ответ: 2

б) $x^5 + 8x^3y^3 = 1$

Перенесем все члены в левую часть: $x^5 + 8x^3y^3 - 1 = 0$.
Уравнение состоит из трех членов: $x^5$, $8x^3y^3$ и $-1$.
Определим степень каждого члена:
- Степень члена $x^5$ равна 5.
- Степень члена $8x^3y^3$ равна сумме степеней переменных: $3 + 3 = 6$.
- Степень члена $-1$ равна 0.
Наибольшая из степеней членов равна 6. Следовательно, степень уравнения равна 6.
Ответ: 6

в) $8x^6 - y^2 = 2x^4(4x^2 - y)$

Сначала упростим уравнение, раскрыв скобки в правой части:
$8x^6 - y^2 = 2x^4 \cdot 4x^2 - 2x^4 \cdot y$
$8x^6 - y^2 = 8x^6 - 2x^4y$
Теперь перенесем все члены в левую часть и приведем подобные слагаемые:
$8x^6 - y^2 - 8x^6 + 2x^4y = 0$
$(8x^6 - 8x^6) - y^2 + 2x^4y = 0$
$-y^2 + 2x^4y = 0$
Теперь определим степень членов получившегося уравнения:
- Степень члена $-y^2$ равна 2.
- Степень члена $2x^4y$ (или $2x^4y^1$) равна $4 + 1 = 5$.
Наибольшая из степеней членов равна 5. Следовательно, степень уравнения равна 5.
Ответ: 5

г) $(x - 2y)^2 - x^2 = 4y(y - x) + 5x$

Упростим обе части уравнения.
Раскроем скобки в левой части, используя формулу квадрата разности $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$:
$(x^2 - 2 \cdot x \cdot 2y + (2y)^2) - x^2 = x^2 - 4xy + 4y^2 - x^2 = 4y^2 - 4xy$
Раскроем скобки в правой части:
$4y(y - x) + 5x = 4y^2 - 4xy + 5x$
Теперь приравняем упрощенные части:
$4y^2 - 4xy = 4y^2 - 4xy + 5x$
Перенесем все члены в левую часть:
$4y^2 - 4xy - 4y^2 + 4xy - 5x = 0$
Приведем подобные слагаемые:
$(4y^2 - 4y^2) + (-4xy + 4xy) - 5x = 0$
$-5x = 0$
В получившемся уравнении остался один член $-5x$. Его степень (степень переменной $x^1$) равна 1.
Следовательно, степень уравнения равна 1.
Ответ: 1