Страница 111 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

395. Является ли пара чисел $(-1; 3)$ решением уравнения:

a) $x^2 - y + 2 = 0;$

б) $xy + y = 6;$

в) $x^2 + y^2 = 10;$

г) $x^2 - y^2 + 8 = 0?$

Чтобы определить, является ли пара чисел $(-1; 3)$ решением уравнения, необходимо подставить значения $x=-1$ и $y=3$ в каждое из уравнений и проверить, обращается ли оно в верное числовое равенство.

а) $x^2 - y + 2 = 0$
Подставляем значения $x=-1$ и $y=3$:
$(-1)^2 - 3 + 2 = 1 - 3 + 2 = 0$
$0 = 0$
Равенство верное, значит, пара чисел $(-1; 3)$ является решением этого уравнения.
Ответ: да, является.

б) $xy + y = 6$
Подставляем значения $x=-1$ и $y=3$:
$(-1) \cdot 3 + 3 = -3 + 3 = 0$
$0 = 6$
Равенство неверное, значит, пара чисел $(-1; 3)$ не является решением этого уравнения.
Ответ: нет, не является.

в) $x^2 + y^2 = 10$
Подставляем значения $x=-1$ и $y=3$:
$(-1)^2 + 3^2 = 1 + 9 = 10$
$10 = 10$
Равенство верное, значит, пара чисел $(-1; 3)$ является решением этого уравнения.
Ответ: да, является.

г) $x^2 - y^2 + 8 = 0$
Подставляем значения $x=-1$ и $y=3$:
$(-1)^2 - 3^2 + 8 = 1 - 9 + 8 = 0$
$0 = 0$
Равенство верное, значит, пара чисел $(-1; 3)$ является решением этого уравнения.
Ответ: да, является.

396. Найдите три каких-нибудь решения уравнения:

a) $x - 2y = 8;$

б) $x + 0y = 10;$

в) $x - xy = 12;$

г) $(x + y)(y - 2) = 0.$

а) Для нахождения решений уравнения $x - 2y = 8$ будем подставлять произвольные значения для одной переменной (например, $y$) и вычислять соответствующее значение другой переменной ($x$).

1. Пусть $y = 0$. Подставим это значение в уравнение:
$x - 2 \cdot 0 = 8$
$x - 0 = 8$
$x = 8$
Таким образом, первая пара чисел, являющаяся решением, — это $(8; 0)$.

2. Пусть $y = 1$. Подставим в уравнение:
$x - 2 \cdot 1 = 8$
$x - 2 = 8$
$x = 8 + 2$
$x = 10$
Вторая пара чисел — $(10; 1)$.

3. Пусть $x = 0$. Подставим в уравнение:
$0 - 2y = 8$
$-2y = 8$
$y = 8 / (-2)$
$y = -4$
Третья пара чисел — $(0; -4)$.

Ответ: например, $(8; 0)$, $(10; 1)$, $(0; -4)$.

б) Рассмотрим уравнение $x + 0y = 10$.

Поскольку произведение любого числа на ноль равно нулю, слагаемое $0y$ всегда будет равно 0, при любом значении $y$.
Таким образом, уравнение упрощается до вида:
$x + 0 = 10$
$x = 10$
Это означает, что решением будет любая пара чисел, в которой $x$ равен 10, а $y$ может быть абсолютно любым числом. Выберем три произвольных значения для $y$.

1. Пусть $y = 0$. Решение: $(10; 0)$.

2. Пусть $y = 7$. Решение: $(10; 7)$.

3. Пусть $y = -15$. Решение: $(10; -15)$.

Ответ: например, $(10; 0)$, $(10; 7)$, $(10; -15)$.

в) Рассмотрим уравнение $x - xy = 12$.

Для удобства поиска решений вынесем $x$ за скобки в левой части уравнения:
$x(1 - y) = 12$
Теперь будем подбирать значения для $x$ и $y$ так, чтобы их произведение удовлетворяло уравнению. Проще всего выбрать значение для $y$ (кроме $y=1$, так как в этом случае $1-y=0$, и уравнение не будет иметь решений) и вычислить $x$.

1. Пусть $y = 0$. Тогда $1-y = 1$.
$x(1-0) = 12$
$x \cdot 1 = 12$
$x = 12$
Первое решение — $(12; 0)$.

2. Пусть $y = -1$. Тогда $1-y = 1 - (-1) = 2$.
$x(1 - (-1)) = 12$
$x \cdot 2 = 12$
$x = 6$
Второе решение — $(6; -1)$.

3. Пусть $y = 2$. Тогда $1-y = 1-2 = -1$.
$x(1-2) = 12$
$x \cdot (-1) = 12$
$x = -12$
Третье решение — $(-12; 2)$.

Ответ: например, $(12; 0)$, $(6; -1)$, $(-12; 2)$.

г) Рассмотрим уравнение $(x + y)(y - 2) = 0$.

Произведение двух выражений равно нулю в том и только в том случае, если хотя бы одно из этих выражений равно нулю. Отсюда следует два возможных случая:

1) $x + y = 0$, что равносильно $x = -y$.
2) $y - 2 = 0$, что равносильно $y = 2$.

Мы можем найти решения, используя любой из этих случаев.

1. Используем второй случай: $y = 2$. В этом случае $x$ может быть любым числом. Возьмем, например, $x=5$. Получаем решение $(5; 2)$.

2. Снова используем второй случай: $y = 2$. Возьмем другое значение для $x$, например, $x=0$. Получаем решение $(0; 2)$.

3. Используем первый случай: $x = -y$. Выберем любое значение для $y$, например, $y=3$. Тогда $x = -3$. Получаем решение $(-3; 3)$. (Убедимся, что это решение не совпадает со вторым случаем: здесь $y \neq 2$).

Ответ: например, $(5; 2)$, $(0; 2)$, $(-3; 3)$.

397. Определите степень уравнения:

а) $x + 4xy = 5;$

б) $x^5 + 8x^3y^3 = 1;$

в) $8x^6 - y^2 = 2x^4(4x^2 - y);$

г) $(x - 2y)^2 - x^2 = 4y(y - x) + 5x.$

Степенью уравнения с несколькими переменными называется наибольшая из степеней его членов. Степень члена (одночлена) — это сумма показателей степеней всех входящих в него переменных. Чтобы определить степень уравнения, необходимо сначала привести его к стандартному виду, раскрыв все скобки и приведя подобные слагаемые, так чтобы в одной части уравнения был многочлен, а в другой — ноль.

а) $x + 4xy = 5$

Перенесем все члены уравнения в левую часть: $x + 4xy - 5 = 0$.
Уравнение состоит из трех членов (одночленов): $x$, $4xy$ и $-5$.
Определим степень каждого члена:
- Степень члена $x$ (или $x^1$) равна 1.
- Степень члена $4xy$ (или $4x^1y^1$) равна сумме степеней переменных: $1 + 1 = 2$.
- Степень члена $-5$ (свободный член) равна 0.
Наибольшая из степеней членов равна 2. Следовательно, степень уравнения равна 2.
Ответ: 2

б) $x^5 + 8x^3y^3 = 1$

Перенесем все члены в левую часть: $x^5 + 8x^3y^3 - 1 = 0$.
Уравнение состоит из трех членов: $x^5$, $8x^3y^3$ и $-1$.
Определим степень каждого члена:
- Степень члена $x^5$ равна 5.
- Степень члена $8x^3y^3$ равна сумме степеней переменных: $3 + 3 = 6$.
- Степень члена $-1$ равна 0.
Наибольшая из степеней членов равна 6. Следовательно, степень уравнения равна 6.
Ответ: 6

в) $8x^6 - y^2 = 2x^4(4x^2 - y)$

Сначала упростим уравнение, раскрыв скобки в правой части:
$8x^6 - y^2 = 2x^4 \cdot 4x^2 - 2x^4 \cdot y$
$8x^6 - y^2 = 8x^6 - 2x^4y$
Теперь перенесем все члены в левую часть и приведем подобные слагаемые:
$8x^6 - y^2 - 8x^6 + 2x^4y = 0$
$(8x^6 - 8x^6) - y^2 + 2x^4y = 0$
$-y^2 + 2x^4y = 0$
Теперь определим степень членов получившегося уравнения:
- Степень члена $-y^2$ равна 2.
- Степень члена $2x^4y$ (или $2x^4y^1$) равна $4 + 1 = 5$.
Наибольшая из степеней членов равна 5. Следовательно, степень уравнения равна 5.
Ответ: 5

г) $(x - 2y)^2 - x^2 = 4y(y - x) + 5x$

Упростим обе части уравнения.
Раскроем скобки в левой части, используя формулу квадрата разности $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$:
$(x^2 - 2 \cdot x \cdot 2y + (2y)^2) - x^2 = x^2 - 4xy + 4y^2 - x^2 = 4y^2 - 4xy$
Раскроем скобки в правой части:
$4y(y - x) + 5x = 4y^2 - 4xy + 5x$
Теперь приравняем упрощенные части:
$4y^2 - 4xy = 4y^2 - 4xy + 5x$
Перенесем все члены в левую часть:
$4y^2 - 4xy - 4y^2 + 4xy - 5x = 0$
Приведем подобные слагаемые:
$(4y^2 - 4y^2) + (-4xy + 4xy) - 5x = 0$
$-5x = 0$
В получившемся уравнении остался один член $-5x$. Его степень (степень переменной $x^1$) равна 1.
Следовательно, степень уравнения равна 1.
Ответ: 1

398. Докажите, что графиком уравнения $x^2 - y^2 = 0$ является пара прямых $y = x$ и $y = -x$.

Для того чтобы доказать, что графиком уравнения $x^2 - y^2 = 0$ является пара прямых $y=x$ и $y=-x$, необходимо преобразовать исходное уравнение.

Левая часть уравнения $x^2 - y^2 = 0$ представляет собой формулу разности квадратов: $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$.

Применив эту формулу к нашему уравнению, где $a=x$ и $b=y$, получим:
$(x - y)(x + y) = 0$

Произведение двух множителей равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Это означает, что данное уравнение равносильно совокупности двух уравнений:

1) $x - y = 0$
2) $x + y = 0$

Рассмотрим каждое уравнение по отдельности:

Из первого уравнения $x - y = 0$ следует, что $y = x$. Это уравнение задает прямую линию, проходящую через начало координат, которая является биссектрисой I и III координатных четвертей.

Из второго уравнения $x + y = 0$ следует, что $y = -x$. Это уравнение также задает прямую линию, проходящую через начало координат, которая является биссектрисой II и IV координатных четвертей.

Таким образом, множество всех точек $(x, y)$, координаты которых удовлетворяют уравнению $x^2 - y^2 = 0$, является объединением множества точек, удовлетворяющих уравнению $y=x$, и множества точек, удовлетворяющих уравнению $y=-x$. Графически это и есть пара прямых $y=x$ и $y=-x$. Что и требовалось доказать.

Ответ: Уравнение $x^2 - y^2 = 0$ равносильно уравнению $(x-y)(x+y) = 0$. Данное равенство истинно, если $x-y=0$ (то есть $y=x$) или если $x+y=0$ (то есть $y=-x$). Следовательно, график исходного уравнения представляет собой объединение графиков двух прямых: $y=x$ и $y=-x$.

399. Постройте график уравнения:

а) $3x + 0y = 12;$

б) $0x + y = 1;$

в) $x = 5;$

г) $y = 1,5;$

д) $(x - 2)(y - 3) = 0;$

е) $(x + 3)(y + 1) = 0;$

ж) $|x| = 2;$

з) $|y| = 3.$

а)

Дано уравнение $3x + 0y = 12$.

Упростим данное уравнение. Произведение любого числа на ноль равно нулю, поэтому $0y = 0$.

Уравнение принимает вид: $3x = 12$.

Разделим обе части уравнения на 3, чтобы найти $x$: $x = 12 / 3$, откуда $x = 4$.

Уравнение $x = 4$ задает на координатной плоскости множество всех точек, у которых абсцисса (координата $x$) равна 4, а ордината (координата $y$) может быть любым действительным числом. Графиком такого уравнения является прямая, параллельная оси ординат ($Oy$) и проходящая через точку с координатами $(4, 0)$.

Ответ: прямая, параллельная оси $Oy$ и проходящая через точку $(4, 0)$.

б)

Дано уравнение $0x + y = 1$.

Упростим данное уравнение. Так как $0x = 0$ для любого значения $x$, уравнение принимает вид: $y = 1$.

Уравнение $y = 1$ задает на координатной плоскости множество всех точек, у которых ордината (координата $y$) равна 1, а абсцисса (координата $x$) может быть любым действительным числом. Графиком такого уравнения является прямая, параллельная оси абсцисс ($Ox$) и проходящая через точку с координатами $(0, 1)$.

Ответ: прямая, параллельная оси $Ox$ и проходящая через точку $(0, 1)$.

в)

Дано уравнение $x = 5$.

Это уравнение уже представлено в упрощенном виде. Оно задает множество всех точек на координатной плоскости, у которых абсцисса $x$ всегда равна 5, а ордината $y$ может быть любой. Графиком является прямая, параллельная оси $Oy$ и проходящая через точку $(5, 0)$.

Ответ: прямая, параллельная оси $Oy$ и проходящая через точку $(5, 0)$.

г)

Дано уравнение $y = 1,5$.

Это уравнение уже представлено в упрощенном виде. Оно задает множество всех точек на координатной плоскости, у которых ордината $y$ всегда равна 1,5, а абсцисса $x$ может быть любой. Графиком является прямая, параллельная оси $Ox$ и проходящая через точку $(0; 1,5)$.

Ответ: прямая, параллельная оси $Ox$ и проходящая через точку $(0; 1,5)$.

д)

Дано уравнение $(x - 2)(y - 3) = 0$.

Произведение двух множителей равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Таким образом, данное уравнение равносильно совокупности двух уравнений:

$x - 2 = 0$ или $y - 3 = 0$.

Решая каждое из них, получаем:

$x = 2$ или $y = 3$.

Графиком уравнения является объединение графиков двух прямых: $x = 2$ (вертикальная прямая, проходящая через точку $(2, 0)$) и $y = 3$ (горизонтальная прямая, проходящая через точку $(0, 3)$). Эти прямые перпендикулярны и пересекаются в точке $(2, 3)$.

Ответ: две перпендикулярные прямые $x = 2$ и $y = 3$.

е)

Дано уравнение $(x + 3)(y + 1) = 0$.

По аналогии с предыдущим пунктом, произведение равно нулю, если один из множителей равен нулю:

$x + 3 = 0$ или $y + 1 = 0$.

Отсюда получаем:

$x = -3$ или $y = -1$.

Графиком уравнения является объединение графиков двух прямых: $x = -3$ (вертикальная прямая, проходящая через точку $(-3, 0)$) и $y = -1$ (горизонтальная прямая, проходящая через точку $(0, -1)$). Эти прямые перпендикулярны и пересекаются в точке $(-3, -1)$.

Ответ: две перпендикулярные прямые $x = -3$ и $y = -1$.

ж)

Дано уравнение $|x| = 2$.

По определению модуля, уравнение $|x| = 2$ означает, что расстояние от точки с координатой $x$ до начала координат на числовой оси равно 2. Это верно для двух значений $x$.

Уравнение равносильно совокупности двух уравнений: $x = 2$ или $x = -2$.

Графиком является объединение двух вертикальных прямых: $x = 2$ и $x = -2$. Эти прямые параллельны оси $Oy$.

Ответ: две параллельные прямые $x = 2$ и $x = -2$.

з)

Дано уравнение $|y| = 3$.

По определению модуля, уравнение $|y| = 3$ означает, что расстояние от точки с координатой $y$ до начала координат на числовой оси равно 3. Это верно для двух значений $y$.

Уравнение равносильно совокупности двух уравнений: $y = 3$ или $y = -3$.

Графиком является объединение двух горизонтальных прямых: $y = 3$ и $y = -3$. Эти прямые параллельны оси $Ox$.

Ответ: две параллельные прямые $y = 3$ и $y = -3$.

400. Составьте уравнение, графиком которого является пара прямых, изображённых на рисунке 63.

а) $x(y-1)=0$

б) $(x+1)(y-x)=0$

в) $(x-1)(x+1)=0$

г) $(y-2)(y+1)=0$

Рис. 63

а) На рисунке изображены две прямые: вертикальная прямая $x=1$ и горизонтальная прямая $y=2$. Уравнение вертикальной прямой можно записать как $x-1=0$. Уравнение горизонтальной прямой можно записать как $y-2=0$. Чтобы объединить эти два графика в одном уравнении, мы можем перемножить левые части этих уравнений. Произведение будет равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Это означает, что точка $(x, y)$ принадлежит графику, если ее координаты удовлетворяют либо первому, либо второму уравнению. Таким образом, искомое уравнение: $(x-1)(y-2)=0$.
Ответ: $(x-1)(y-2)=0$.

б) На рисунке изображены две прямые. Первая прямая — вертикальная, проходящая через точку с абсциссой $x=-1$. Ее уравнение: $x+1=0$. Вторая прямая — наклонная. Она проходит через начало координат $(0, 0)$ и точку $(1, 1)$. Ее уравнение в общем виде $y=kx+b$. Так как она проходит через $(0,0)$, то $b=0$. Подставив $(1,1)$, получаем $1=k \cdot 1$, то есть $k=1$. Значит, уравнение прямой — $y=x$, или $y-x=0$. Чтобы составить одно уравнение для обеих прямых, перемножим левые части их уравнений: $(x+1)(y-x)=0$.
Ответ: $(x+1)(y-x)=0$.

в) На рисунке изображены две вертикальные прямые. Первая прямая проходит через точку с абсциссой $x=1$, ее уравнение $x-1=0$. Вторая прямая проходит через точку с абсциссой $x=-2$, ее уравнение $x+2=0$. Объединенное уравнение для этих двух прямых получается путем перемножения левых частей их уравнений, приравненного к нулю: $(x-1)(x+2)=0$.
Ответ: $(x-1)(x+2)=0$.

г) На рисунке изображены две горизонтальные прямые. Первая прямая проходит на уровне $y=2$, ее уравнение $y-2=0$. Вторая прямая проходит на уровне $y=-1$, ее уравнение $y+1=0$. Объединенное уравнение для этих двух прямых: $(y-2)(y+1)=0$.
Ответ: $(y-2)(y+1)=0$.