Номер 388, страница 107 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

388. Решите неравенство:

a) $(18x - 36)(x - 7) > 0;$

б) $(x - 7,3)(9,8 - x) > 0;$

в) $(x + 0,8)(4 - x)(x - 20) < 0;$

г) $(10x + 3)(17 - x)(x - 5) \ge 0.$

а) $(18x - 36)(x - 7) > 0$

Для решения данного неравенства применим метод интервалов. Сначала найдем корни левой части, приравняв ее к нулю:
$(18x - 36)(x - 7) = 0$.
Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю.
1) $18x - 36 = 0 \Rightarrow 18x = 36 \Rightarrow x_1 = 2$.
2) $x - 7 = 0 \Rightarrow x_2 = 7$.

Нанесем найденные корни на числовую ось. Так как неравенство строгое (знак $> $), точки $x=2$ и $x=7$ будут выколотыми (не входят в решение). Эти точки разбивают числовую ось на три интервала: $(-\infty; 2)$, $(2; 7)$ и $(7; +\infty)$.

Определим знак выражения $(18x - 36)(x - 7)$ на каждом из интервалов.
- В интервале $(7; +\infty)$ выберем пробную точку, например $x=10$. Подставим ее в выражение: $(18 \cdot 10 - 36)(10 - 7) = (144)(3) > 0$. Значит, на этом интервале выражение положительно (+).
- В интервале $(2; 7)$ выберем $x=3$: $(18 \cdot 3 - 36)(3 - 7) = (18)(-4) < 0$. Знак (-).
- В интервале $(-\infty; 2)$ выберем $x=0$: $(18 \cdot 0 - 36)(0 - 7) = (-36)(-7) > 0$. Знак (+).

Поскольку знак неравенства $> 0$, нас интересуют интервалы со знаком «+».

Ответ: $x \in (-\infty; 2) \cup (7; +\infty)$.

б) $(x - 7,3)(9,8 - x) > 0$

Решаем методом интервалов. Найдем корни:
1) $x - 7,3 = 0 \Rightarrow x_1 = 7,3$.
2) $9,8 - x = 0 \Rightarrow x_2 = 9,8$.

Отметим на числовой оси выколотые точки $7,3$ и $9,8$. Они разбивают ось на интервалы: $(-\infty; 7,3)$, $(7,3; 9,8)$ и $(9,8; +\infty)$.

Определим знаки на интервалах. Заметим, что во втором множителе $(9,8 - x)$ коэффициент при $x$ отрицательный. Это приведет к тому, что на самом правом интервале $(9,8; +\infty)$ выражение будет отрицательным. Проверим, взяв $x=10$: $(10 - 7,3)(9,8 - 10) = (2,7)(-0,2) < 0$. Знак (-).
Так как все корни имеют нечетную кратность (равную 1), знаки на интервалах будут чередоваться: $(-\infty; 7,3)$ - знак (-), $(7,3; 9,8)$ - знак (+), $(9,8; +\infty)$ - знак (-).

Нас интересует интервал, где выражение больше нуля, то есть имеет знак «+».

Ответ: $x \in (7,3; 9,8)$.

в) $(x + 0,8)(4 - x)(x - 20) < 0$

Применим метод интервалов. Найдем корни:
1) $x + 0,8 = 0 \Rightarrow x_1 = -0,8$.
2) $4 - x = 0 \Rightarrow x_2 = 4$.
3) $x - 20 = 0 \Rightarrow x_3 = 20$.

Нанесем на числовую ось выколотые точки $-0,8$, $4$ и $20$. Они делят ось на четыре интервала: $(-\infty; -0,8)$, $(-0,8; 4)$, $(4; 20)$ и $(20; +\infty)$.

Определим знаки на интервалах. Множитель $(4 - x)$ имеет отрицательный коэффициент при $x$. Поэтому на крайнем правом интервале $(20; +\infty)$ выражение будет отрицательным. Проверим, взяв $x=21$: $(21 + 0,8)(4 - 21)(21 - 20) = (+)(-)(+) < 0$. Знак (-).
Знаки чередуются: $(-\infty; -0,8)$ - знак (+), $(-0,8; 4)$ - знак (-), $(4; 20)$ - знак (+), $(20; +\infty)$ - знак (-).

Нас интересуют интервалы, где выражение меньше нуля (знак «-»).

Ответ: $x \in (-0,8; 4) \cup (20; +\infty)$.

г) $(10x + 3)(17 - x)(x - 5) \geq 0$

Решаем методом интервалов. Найдем корни:
1) $10x + 3 = 0 \Rightarrow 10x = -3 \Rightarrow x_1 = -0,3$.
2) $17 - x = 0 \Rightarrow x_2 = 17$.
3) $x - 5 = 0 \Rightarrow x_3 = 5$.

Нанесем корни на числовую ось. Так как неравенство нестрогое ($\geq$), точки $-0,3$, $5$ и $17$ будут закрашенными (входят в решение). Расположим их в порядке возрастания: $-0,3; 5; 17$. Они разбивают ось на четыре интервала.

Определим знаки. Из-за множителя $(17 - x)$ на крайнем правом интервале $(17; +\infty)$ будет знак «-». Проверим, взяв $x=20$: $(10\cdot20+3)(17-20)(20-5) = (+)(-)(+) < 0$. Знак (-).
Знаки чередуются: $(-\infty; -0,3)$ - знак (+), $(-0,3; 5)$ - знак (-), $(5; 17)$ - знак (+), $(17; +\infty)$ - знак (-).

Нас интересуют интервалы, где выражение больше или равно нулю. Это интервалы со знаком «+» и сами точки-корни.

Ответ: $x \in (-\infty; -0,3] \cup [5; 17]$.