Номер 386, страница 107 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

386. Решите неравенство:

а) $(x + 1,2)(6 - x)(x - 4) > 0;$

б) $(\frac{1}{3} - x)(\frac{1}{2} - x)(\frac{1}{7} - x) < 0;$

в) $(x + 0,6)(1,6 + x)(1,2 - x) > 0;$

г) $(1,7 - x)(1,8 + x)(1,9 - x) < 0.$

а) $(x + 1,2)(6 - x)(x - 4) > 0$

Для решения неравенства используем метод интервалов. Сначала найдем нули функции $f(x) = (x + 1,2)(6 - x)(x - 4)$, приравняв каждый множитель к нулю:
$x + 1,2 = 0 \implies x_1 = -1,2$
$6 - x = 0 \implies x_2 = 6$
$x - 4 = 0 \implies x_3 = 4$

Чтобы применить метод интервалов стандартным образом, приведем неравенство к виду, где коэффициент при $x$ в каждой скобке положителен. Вынесем $-1$ из скобки $(6 - x)$:
$(x + 1,2)(-1)(x - 6)(x - 4) > 0$
Разделим обе части неравенства на $-1$ и изменим знак неравенства на противоположный:
$(x + 1,2)(x - 6)(x - 4) < 0$

Отметим найденные корни $-1,2$, $4$, $6$ на числовой прямой. Так как неравенство строгое, точки будут выколотыми. Эти точки разбивают прямую на четыре интервала: $(-\infty; -1,2)$, $(-1,2; 4)$, $(4; 6)$, $(6; +\infty)$.
Определим знак выражения в крайнем правом интервале $(6; +\infty)$, взяв, например, $x=10$: $(10+1,2)(10-6)(10-4) > 0$. Значит, в этом интервале стоит знак "+".
Так как все корни имеют нечетную кратность (равную 1), знаки в соседних интервалах будут чередоваться. Расставим знаки: $ - \text{ на } (-\infty; -1,2) $, $ + \text{ на } (-1,2; 4) $, $ - \text{ на } (4; 6) $, $ + \text{ на } (6; +\infty) $.

Нас интересуют интервалы, где выражение меньше нуля (знак "−"). Это интервалы $(-\infty; -1,2)$ и $(4; 6)$.

Ответ: $x \in (-\infty; -1,2) \cup (4; 6)$.

б) $(\frac{1}{3} - x)(\frac{1}{2} - x)(\frac{1}{7} - x) < 0$

Находим нули выражения:
$\frac{1}{3} - x = 0 \implies x_1 = \frac{1}{3}$
$\frac{1}{2} - x = 0 \implies x_2 = \frac{1}{2}$
$\frac{1}{7} - x = 0 \implies x_3 = \frac{1}{7}$

Приведем неравенство к стандартному виду. Вынесем $-1$ из каждой скобки:
$(-1)(x - \frac{1}{3})(-1)(x - \frac{1}{2})(-1)(x - \frac{1}{7}) < 0$
$(-1)^3 (x - \frac{1}{3})(x - \frac{1}{2})(x - \frac{1}{7}) < 0$
$-(x - \frac{1}{3})(x - \frac{1}{2})(x - \frac{1}{7}) < 0$
Умножим на $-1$ и сменим знак неравенства:
$(x - \frac{1}{3})(x - \frac{1}{2})(x - \frac{1}{7}) > 0$

Расположим корни на числовой прямой в порядке возрастания: $\frac{1}{7}$, $\frac{1}{3}$, $\frac{1}{2}$. Точки выколотые.
Определяем знаки на интервалах. Для $x > \frac{1}{2}$ (например, $x=1$) выражение положительно. Далее знаки чередуются.
Интервалы и знаки: $(-\infty; \frac{1}{7})$ - знак "−"; $(\frac{1}{7}; \frac{1}{3})$ - знак "+"; $(\frac{1}{3}; \frac{1}{2})$ - знак "−"; $(\frac{1}{2}; +\infty)$ - знак "+".

Выбираем интервалы, где выражение больше нуля (знак "+").

Ответ: $x \in (\frac{1}{7}; \frac{1}{3}) \cup (\frac{1}{2}; +\infty)$.

в) $(x + 0,6)(1,6 + x)(1,2 - x) > 0$

Находим нули выражения:
$x + 0,6 = 0 \implies x_1 = -0,6$
$1,6 + x = 0 \implies x_2 = -1,6$
$1,2 - x = 0 \implies x_3 = 1,2$

Приводим к стандартному виду, вынося $-1$ из скобки $(1,2 - x)$:
$(x + 0,6)(x + 1,6)(-1)(x - 1,2) > 0$
Умножаем на $-1$ и меняем знак:
$(x + 0,6)(x + 1,6)(x - 1,2) < 0$

Располагаем корни на числовой прямой в порядке возрастания: $-1,6$, $-0,6$, $1,2$. Точки выколотые.
Для $x > 1,2$ выражение положительно. Далее знаки чередуются.
Знаки на интервалах: $ - \text{ на } (-\infty; -1,6) $, $ + \text{ на } (-1,6; -0,6) $, $ - \text{ на } (-0,6; 1,2) $, $ + \text{ на } (1,2; +\infty) $.

Нам нужны интервалы со знаком "−".

Ответ: $x \in (-\infty; -1,6) \cup (-0,6; 1,2)$.

г) $(1,7 - x)(1,8 + x)(1,9 - x) < 0$

Находим нули выражения:
$1,7 - x = 0 \implies x_1 = 1,7$
$1,8 + x = 0 \implies x_2 = -1,8$
$1,9 - x = 0 \implies x_3 = 1,9$

Приводим к стандартному виду. Выносим $-1$ из скобок $(1,7 - x)$ и $(1,9 - x)$:
$(-1)(x - 1,7)(x + 1,8)(-1)(x - 1,9) < 0$
$(-1)^2 (x - 1,7)(x + 1,8)(x - 1,9) < 0$
Так как $(-1)^2=1$, знак неравенства не меняется:
$(x + 1,8)(x - 1,7)(x - 1,9) < 0$

Располагаем корни на числовой прямой в порядке возрастания: $-1,8$, $1,7$, $1,9$. Точки выколотые.
Для $x > 1,9$ выражение положительно. Далее знаки чередуются.
Знаки на интервалах: $ - \text{ на } (-\infty; -1,8) $, $ + \text{ на } (-1,8; 1,7) $, $ - \text{ на } (1,7; 1,9) $, $ + \text{ на } (1,9; +\infty) $.

Выбираем интервалы, где выражение меньше нуля (знак "−").

Ответ: $x \in (-\infty; -1,8) \cup (1,7; 1,9)$.