Номер 379, страница 106 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

379. При каких значениях $a$ уравнение $(a + 2)x^2 + 8x + a - 4 = 0$ имеет два корня?

Данное уравнение $(a+2)x^2 + 8x + a - 4 = 0$ является уравнением с параметром $a$. Количество его корней зависит от значения этого параметра.

Случай 1: Уравнение является квадратным.

Это условие выполняется, когда коэффициент при $x^2$ не равен нулю, то есть $a+2 \neq 0$, что означает $a \neq -2$.

Квадратное уравнение имеет два различных корня тогда и только тогда, когда его дискриминант $D$ строго больше нуля ($D > 0$).

Вычислим дискриминант. Коэффициенты уравнения: $A = a+2$, $B = 8$, $C = a-4$.

$D = B^2 - 4AC = 8^2 - 4(a+2)(a-4)$

$D = 64 - 4(a^2 - 4a + 2a - 8) = 64 - 4(a^2 - 2a - 8)$

$D = 64 - 4a^2 + 8a + 32 = -4a^2 + 8a + 96$

Теперь решим неравенство $D > 0$:

$-4a^2 + 8a + 96 > 0$

Разделим обе части неравенства на -4, при этом знак неравенства изменится на противоположный:

$a^2 - 2a - 24 < 0$

Чтобы решить это неравенство, найдем корни квадратного трехчлена $a^2 - 2a - 24 = 0$. Используя теорему Виета или формулу корней, получаем:

$a_1 = -4$, $a_2 = 6$.

Парабола $y = a^2 - 2a - 24$ ветвями направлена вверх, поэтому значения меньше нуля она принимает между корнями.

Таким образом, решение неравенства: $-4 < a < 6$.

Совмещая это решение с условием $a \neq -2$, получаем, что для наличия двух корней в этом случае $a$ должно принадлежать объединению интервалов: $(-4, -2) \cup (-2, 6)$.

Случай 2: Уравнение является линейным.

Это происходит, когда коэффициент при $x^2$ равен нулю: $a+2=0$, то есть $a = -2$.

Подставим $a = -2$ в исходное уравнение:

$(-2+2)x^2 + 8x + (-2) - 4 = 0$

$0 \cdot x^2 + 8x - 6 = 0$

$8x = 6$

$x = \frac{6}{8} = \frac{3}{4}$

При $a = -2$ уравнение имеет только один корень, что не удовлетворяет условию задачи.

Следовательно, единственным условием, при котором исходное уравнение имеет два корня, является решение, полученное в первом случае.

Ответ: $a \in (-4, -2) \cup (-2, 6)$.