Номер 384, страница 106 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

384. Решите систему неравенств:

a) $\begin{cases} 4x^2 - 27x - 7 > 0, \\ x > 0; \end{cases}$

б) $\begin{cases} -3x^2 + 17x + 6 < 0, \\ x < 0; \end{cases}$

в) $\begin{cases} x + 1 < 0, \\ 2x^2 - 18 > 0; \end{cases}$

г) $\begin{cases} x - 4 > 0, \\ 3x^2 - 15x < 0. \end{cases}$

а) Решим систему неравенств: $$ \begin{cases} 4x^2 - 27x - 7 > 0, \\ x > 0; \end{cases} $$
Сначала решим первое неравенство: $4x^2 - 27x - 7 > 0$.
Найдем корни соответствующего квадратного уравнения $4x^2 - 27x - 7 = 0$ с помощью дискриминанта.
$D = b^2 - 4ac = (-27)^2 - 4 \cdot 4 \cdot (-7) = 729 + 112 = 841$.
$\sqrt{D} = \sqrt{841} = 29$.
$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{27 + 29}{2 \cdot 4} = \frac{56}{8} = 7$.
$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{27 - 29}{2 \cdot 4} = \frac{-2}{8} = -\frac{1}{4}$.
Так как коэффициент при $x^2$ положителен ($a = 4 > 0$), ветви параболы $y = 4x^2 - 27x - 7$ направлены вверх. Следовательно, неравенство $4x^2 - 27x - 7 > 0$ выполняется при значениях $x$ вне интервала между корнями.
Решение первого неравенства: $x \in (-\infty; -1/4) \cup (7; +\infty)$.
Теперь учтем второе неравенство системы: $x > 0$.
Найдем пересечение множеств решений: $(-\infty; -1/4) \cup (7; +\infty)$ и $(0; +\infty)$.
Пересечением является интервал $(7; +\infty)$.
Ответ: $x \in (7; +\infty)$.

б) Решим систему неравенств: $$ \begin{cases} -3x^2 + 17x + 6 < 0, \\ x < 0; \end{cases} $$
Сначала решим первое неравенство: $-3x^2 + 17x + 6 < 0$.
Умножим обе части неравенства на $-1$ и изменим знак неравенства на противоположный: $3x^2 - 17x - 6 > 0$.
Найдем корни уравнения $3x^2 - 17x - 6 = 0$.
$D = b^2 - 4ac = (-17)^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-6) = 289 + 72 = 361$.
$\sqrt{D} = \sqrt{361} = 19$.
$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{17 + 19}{2 \cdot 3} = \frac{36}{6} = 6$.
$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{17 - 19}{2 \cdot 3} = \frac{-2}{6} = -\frac{1}{3}$.
Ветви параболы $y = 3x^2 - 17x - 6$ направлены вверх ($a=3>0$), поэтому неравенство $3x^2 - 17x - 6 > 0$ выполняется, когда $x$ находится вне корней.
Решение первого неравенства: $x \in (-\infty; -1/3) \cup (6; +\infty)$.
Теперь учтем второе неравенство системы: $x < 0$.
Найдем пересечение множеств решений: $(-\infty; -1/3) \cup (6; +\infty)$ и $(-\infty; 0)$.
Пересечением является интервал $(-\infty; -1/3)$.
Ответ: $x \in (-\infty; -1/3)$.

в) Решим систему неравенств: $$ \begin{cases} x + 1 < 0, \\ 2x^2 - 18 > 0; \end{cases} $$
Решим первое неравенство: $x + 1 < 0$, откуда получаем $x < -1$.
Решение первого неравенства: $x \in (-\infty; -1)$.
Решим второе неравенство: $2x^2 - 18 > 0$.
Разделим обе части на 2: $x^2 - 9 > 0$.
Разложим левую часть на множители: $(x - 3)(x + 3) > 0$.
Корни уравнения $(x - 3)(x + 3) = 0$ равны $x = 3$ и $x = -3$.
Так как это парабола с ветвями вверх, неравенство выполняется вне корней.
Решение второго неравенства: $x \in (-\infty; -3) \cup (3; +\infty)$.
Найдем пересечение решений обоих неравенств: $(-\infty; -1)$ и $(-\infty; -3) \cup (3; +\infty)$.
Пересечением является интервал $(-\infty; -3)$.
Ответ: $x \in (-\infty; -3)$.

г) Решим систему неравенств: $$ \begin{cases} x - 4 > 0, \\ 3x^2 - 15x < 0. \end{cases} $$
Решим первое неравенство: $x - 4 > 0$, откуда получаем $x > 4$.
Решение первого неравенства: $x \in (4; +\infty)$.
Решим второе неравенство: $3x^2 - 15x < 0$.
Вынесем общий множитель $3x$ за скобки: $3x(x - 5) < 0$.
Корни уравнения $3x(x-5) = 0$ равны $x=0$ и $x=5$.
Ветви параболы $y = 3x^2 - 15x$ направлены вверх, поэтому неравенство выполняется, когда $x$ находится между корнями.
Решение второго неравенства: $x \in (0; 5)$.
Найдем пересечение решений обоих неравенств: $(4; +\infty)$ и $(0; 5)$.
Пересечением является интервал $(4; 5)$.
Ответ: $x \in (4; 5)$.