Номер 380, страница 106 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

380. При каких значениях b уравнение $(b - 1)x^2 + 6x + b - 3 = 0$ не имеет корней?

Для того чтобы определить, при каких значениях параметра $b$ данное уравнение не имеет корней, необходимо рассмотреть два возможных случая в зависимости от коэффициента при $x^2$.

Первый случай: уравнение является квадратным. Это условие выполняется, если коэффициент при $x^2$ отличен от нуля, то есть $b-1 \neq 0$, или $b \neq 1$. Квадратное уравнение вида $ax^2 + kx + c = 0$ не имеет действительных корней, когда его дискриминант $D$ меньше нуля ($D<0$).

В уравнении $(b-1)x^2 + 6x + b - 3 = 0$ коэффициенты равны: $a = b-1$, коэффициент при $x$ равен $6$, а свободный член $c = b-3$.

Вычислим дискриминант $D$ этого уравнения:

$D = 6^2 - 4 \cdot (b-1) \cdot (b-3)$

$D = 36 - 4(b^2 - 3b - b + 3)$

$D = 36 - 4(b^2 - 4b + 3)$

$D = 36 - 4b^2 + 16b - 12$

$D = -4b^2 + 16b + 24$

Условие отсутствия корней — $D < 0$. Решим соответствующее неравенство:

$-4b^2 + 16b + 24 < 0$

Чтобы упростить неравенство, разделим все его члены на $-4$. При делении на отрицательное число знак неравенства меняется на противоположный:

$b^2 - 4b - 6 > 0$

Для решения этого квадратного неравенства найдем корни уравнения $b^2 - 4b - 6 = 0$, используя формулу корней квадратного уравнения. Дискриминант этого нового уравнения (относительно $b$): $D_b = (-4)^2 - 4(1)(-6) = 16 + 24 = 40$.

Корни уравнения для $b$:

$b_{1,2} = \frac{4 \pm \sqrt{40}}{2} = \frac{4 \pm 2\sqrt{10}}{2} = 2 \pm \sqrt{10}$

Таким образом, мы получили два корня: $b_1 = 2 - \sqrt{10}$ и $b_2 = 2 + \sqrt{10}$.

Графиком функции $y = b^2 - 4b - 6$ является парабола с ветвями, направленными вверх. Значения функции положительны (то есть $y > 0$) при $b$, находящихся за пределами интервала между корнями. Следовательно, решение неравенства $b^2 - 4b - 6 > 0$ есть объединение двух интервалов: $b < 2 - \sqrt{10}$ и $b > 2 + \sqrt{10}$.

Второй случай: уравнение является линейным. Это происходит, когда коэффициент при $x^2$ равен нулю, то есть $b-1=0$, откуда $b=1$.

Подставим значение $b=1$ в исходное уравнение:

$(1-1)x^2 + 6x + (1-3) = 0$

$0 \cdot x^2 + 6x - 2 = 0$

$6x - 2 = 0$

Это линейное уравнение имеет единственный корень $x = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$. Поскольку при $b=1$ уравнение имеет корень, это значение $b$ не удовлетворяет условию задачи.

Итак, объединяя результаты анализа обоих случаев, приходим к выводу, что исходное уравнение не имеет корней только при выполнении условия, найденного в первом случае.

Ответ: $b \in (-\infty; 2 - \sqrt{10}) \cup (2 + \sqrt{10}; +\infty)$.