Номер 377, страница 106 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

377. Докажите, что при любом значении x верно неравенство:

a) $2(x + 1)(x - 3) > (x + 5)(x - 7);$

б) $\frac{1}{4}(x + 5)(x - 7) \le (x + 2)(x - 4).$

а) $2(x + 1)(x - 3) > (x + 5)(x - 7)$

Чтобы доказать это неравенство, преобразуем обе его части. Сначала раскроем скобки.

Левая часть:

$2(x + 1)(x - 3) = 2(x^2 - 3x + x - 3) = 2(x^2 - 2x - 3) = 2x^2 - 4x - 6$

Правая часть:

$(x + 5)(x - 7) = x^2 - 7x + 5x - 35 = x^2 - 2x - 35$

Теперь подставим полученные выражения обратно в неравенство:

$2x^2 - 4x - 6 > x^2 - 2x - 35$

Перенесем все члены неравенства в левую часть:

$(2x^2 - x^2) + (-4x + 2x) + (-6 + 35) > 0$

$x^2 - 2x + 29 > 0$

Мы получили квадратный трехчлен. Чтобы доказать, что его значение всегда положительно, выделим полный квадрат:

$x^2 - 2x + 29 = (x^2 - 2x + 1) - 1 + 29 = (x - 1)^2 + 28$

Выражение $(x - 1)^2$ всегда неотрицательно, то есть $(x-1)^2 \ge 0$ при любом значении x. Его наименьшее значение равно 0 (при $x = 1$).

Следовательно, наименьшее значение выражения $(x - 1)^2 + 28$ равно $0 + 28 = 28$.

Так как $28 > 0$, то и выражение $(x-1)^2 + 28$ всегда больше нуля. Это доказывает, что исходное неравенство верно при любом значении x.

Ответ: Неравенство верно при любом значении x, что и требовалось доказать.

б) $\frac{1}{4}(x + 5)(x - 7) \le (x + 2)(x - 4)$

Как и в предыдущем пункте, раскроем скобки в обеих частях неравенства.

Левая часть:

$\frac{1}{4}(x + 5)(x - 7) = \frac{1}{4}(x^2 - 7x + 5x - 35) = \frac{1}{4}(x^2 - 2x - 35)$

Правая часть:

$(x + 2)(x - 4) = x^2 - 4x + 2x - 8 = x^2 - 2x - 8$

Подставим выражения в неравенство:

$\frac{1}{4}(x^2 - 2x - 35) \le x^2 - 2x - 8$

Умножим обе части неравенства на 4, чтобы избавиться от дроби. Знак неравенства при этом не изменится, так как 4 — положительное число.

$x^2 - 2x - 35 \le 4(x^2 - 2x - 8)$

$x^2 - 2x - 35 \le 4x^2 - 8x - 32$

Перенесем все члены в правую часть, чтобы коэффициент при $x^2$ был положительным:

$0 \le (4x^2 - x^2) + (-8x + 2x) + (-32 + 35)$

$0 \le 3x^2 - 6x + 3$

Разделим обе части на 3:

$0 \le x^2 - 2x + 1$

Свернем правую часть по формуле квадрата разности:

$0 \le (x - 1)^2$

Выражение $(x - 1)^2$ является квадратом действительного числа, поэтому его значение всегда больше или равно нулю для любого значения x. Равенство достигается при $x = 1$.

Таким образом, неравенство $(x - 1)^2 \ge 0$ верно при любом значении x, что и доказывает истинность исходного неравенства.

Ответ: Неравенство верно при любом значении x, что и требовалось доказать.