Номер 382, страница 106 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

382. (Задача-исследование.) При каких значениях $k$ биквадратное уравнение $x^4 - 13x^2 + k = 0$:

а) имеет четыре корня;

б) имеет два корня;

в) не имеет корней?

1) Обозначьте $x^2$ через $y$. Выясните, при каких значениях $k$ полученное квадратное уравнение: имеет два корня, имеет один корень, не имеет корней.

2) Укажите знаки корней квадратного уравнения с переменной $y$, если корни существуют.

3) Сделайте вывод о числе корней заданного уравнения в зависимости от значения $k$.

Данное уравнение $x^4 - 13x^2 + k = 0$ является биквадратным. Для его исследования мы будем следовать предложенному плану.

1) Обозначьте x² через y. Выясните, при каких значениях k полученное квадратное уравнение: имеет два корня, имеет один корень, не имеет корней.

Выполним замену переменной: пусть $y = x^2$. Поскольку $x^2 \ge 0$, то для переменной $y$ должно выполняться условие $y \ge 0$.

После замены получаем квадратное уравнение относительно $y$:

$y^2 - 13y + k = 0$

Количество действительных корней этого уравнения зависит от знака его дискриминанта $D$.

$D = (-13)^2 - 4 \cdot 1 \cdot k = 169 - 4k$

• Квадратное уравнение имеет два различных корня при $D > 0$, то есть $169 - 4k > 0$, откуда $k < \frac{169}{4}$ или $k < 42.25$.
• Квадратное уравнение имеет один корень (два совпадающих) при $D = 0$, то есть $169 - 4k = 0$, откуда $k = \frac{169}{4}$ или $k = 42.25$.
• Квадратное уравнение не имеет действительных корней при $D < 0$, то есть $169 - 4k < 0$, откуда $k > \frac{169}{4}$ или $k > 42.25$.

2) Укажите знаки корней квадратного уравнения с переменной y, если корни существуют.

Если корни $y_1$ и $y_2$ существуют (т.е. при $k \le 42.25$), их знаки можно определить с помощью теоремы Виета:

$y_1 + y_2 = 13$

$y_1 \cdot y_2 = k$

Сумма корней $y_1 + y_2 = 13$ положительна, следовательно, не могут быть оба корня отрицательными. По крайней мере один из них положителен.

Рассмотрим знаки корней в зависимости от знака $k$:

• Если $k > 0$, произведение $y_1 \cdot y_2 > 0$, значит, оба корня имеют одинаковый знак. Так как их сумма положительна, то оба корня $y_1$ и $y_2$ — положительные. Это соответствует интервалу $0 < k < 42.25$ (два различных положительных корня) и значению $k = 42.25$ (один положительный корень кратности 2, $y=6.5$).
• Если $k = 0$, произведение $y_1 \cdot y_2 = 0$, значит, один из корней равен нулю. Так как сумма равна 13, второй корень равен 13. Итак, $y_1 = 0, y_2 = 13$. Один корень равен нулю, другой — положительный.
• Если $k < 0$, произведение $y_1 \cdot y_2 < 0$, значит, корни имеют разные знаки. Один корень положительный, а другой — отрицательный.

3) Сделайте вывод о числе корней заданного уравнения в зависимости от значения k.

Теперь мы можем определить количество корней $x$ исходного уравнения, анализируя корни $y$ вспомогательного уравнения. Напомним, что $x^2 = y$.

• Если $y > 0$, уравнение $x^2 = y$ имеет два различных корня: $x = \pm\sqrt{y}$.
• Если $y = 0$, уравнение $x^2 = 0$ имеет один корень: $x = 0$.
• Если $y < 0$, уравнение $x^2 = y$ не имеет действительных корней.

На основе этого анализа дадим ответы на поставленные в задаче вопросы.

а) имеет четыре корня

Исходное уравнение имеет четыре различных корня, если вспомогательное уравнение для $y$ имеет два различных положительных корня ($y_1 > 0, y_2 > 0, y_1 \ne y_2$).
Из пункта 1, для наличия двух различных корней необходимо, чтобы $D > 0$, то есть $k < 42.25$.
Из пункта 2, для того чтобы оба корня были положительны, необходимо, чтобы их произведение было положительным, то есть $k > 0$.
Объединяя эти два условия, получаем: $0 < k < 42.25$.

Ответ: $k \in (0; 42.25)$.

б) имеет два корня

Исходное уравнение имеет два различных корня в следующих случаях:

1. Вспомогательное уравнение для $y$ имеет один положительный корень кратности 2. Это происходит, когда $D=0$, то есть $k = 42.25$. В этом случае $y = 6.5 > 0$, и уравнение $x^2 = 6.5$ дает два корня $x = \pm\sqrt{6.5}$.
2. Вспомогательное уравнение для $y$ имеет один положительный и один отрицательный корень. Из пункта 2 это происходит, когда $k < 0$. Положительный корень $y_1$ дает два корня $x = \pm\sqrt{y_1}$, а отрицательный корень $y_2$ не дает действительных корней для $x$.

Объединяя оба случая, получаем, что биквадратное уравнение имеет два корня при $k < 0$ или при $k = 42.25$.

Ответ: $k \in (-\infty; 0) \cup \{42.25\}$.

в) не имеет корней

Исходное уравнение не имеет действительных корней, если вспомогательное уравнение для $y$ не имеет неотрицательных корней (то есть все корни $y$ отрицательны, или действительных корней $y$ не существует).

1. Вспомогательное уравнение не имеет действительных корней. Из пункта 1 это происходит при $D < 0$, то есть $k > 42.25$.
2. Вспомогательное уравнение имеет действительные корни, но они все отрицательны. Из пункта 2 мы знаем, что это невозможно, так как сумма корней $y_1+y_2 = 13$ положительна.

Следовательно, исходное уравнение не имеет корней только при $k > 42.25$.

Ответ: $k \in (42.25; +\infty)$.