Страница 102 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

341. Из данных чисел

1, -1, 2, -2, 3, -3, 4, -4, 7, -7

выберите те, которые являются корнями уравнения

$x^4 - x^3 - 51x^2 + 49x + 98 = 0.$

Какие из них можно исключить сразу, не подставляя их в уравнение?

Какие из них можно исключить сразу, не подставляя их в уравнение?

Для того чтобы определить, какие числа можно исключить, не выполняя подстановку, воспользуемся следствием из теоремы о рациональных корнях многочлена. Эта теорема гласит, что если многочлен с целыми коэффициентами $a_n x^n + a_{n-1} x^{n-1} + \dots + a_1 x + a_0 = 0$ имеет целый корень, то этот корень является делителем свободного члена $a_0$.

В нашем уравнении $x^4 - x^3 - 51x^2 + 49x + 98 = 0$ все коэффициенты целые, а свободный член $a_0 = 98$.

Найдем все целые делители числа 98. Так как $98 = 2 \cdot 7^2$, его делителями являются числа: $ \pm 1, \pm 2, \pm 7, \pm 14, \pm 49, \pm 98$.

Теперь сравним предложенный список чисел $\{1, -1, 2, -2, 3, -3, 4, -4, 7, -7\}$ с множеством делителей числа 98. Те числа из списка, которые не являются делителями 98, не могут быть целыми корнями данного уравнения.

• Числа $1, -1, 2, -2, 7, -7$ являются делителями 98.
• Числа $3, -3, 4, -4$ не являются делителями 98.

Следовательно, числа $3, -3, 4$ и $-4$ можно исключить сразу, так как они заведомо не могут быть корнями этого уравнения.

Ответ: можно исключить числа 3, -3, 4, -4.

Выберите те, которые являются корнями уравнения

После исключения чисел $3, -3, 4, -4$, нам осталось проверить оставшиеся числа из исходного списка: $\{1, -1, 2, -2, 7, -7\}$. Проверим их путем прямой подстановки в уравнение $x^4 - x^3 - 51x^2 + 49x + 98 = 0$. Обозначим левую часть уравнения как $P(x)$.

• При $x=1$:
  $P(1) = 1^4 - 1^3 - 51 \cdot 1^2 + 49 \cdot 1 + 98 = 1 - 1 - 51 + 49 + 98 = 96 \neq 0$.
  Число 1 не является корнем.
• При $x=-1$:
  $P(-1) = (-1)^4 - (-1)^3 - 51 \cdot (-1)^2 + 49 \cdot (-1) + 98 = 1 - (-1) - 51 - 49 + 98 = 1 + 1 - 51 - 49 + 98 = 2 - 100 + 98 = 0$.
  Число -1 является корнем.
• При $x=2$:
  $P(2) = 2^4 - 2^3 - 51 \cdot 2^2 + 49 \cdot 2 + 98 = 16 - 8 - 51 \cdot 4 + 98 + 98 = 8 - 204 + 196 = 0$.
  Число 2 является корнем.
• При $x=-2$:
  $P(-2) = (-2)^4 - (-2)^3 - 51 \cdot (-2)^2 + 49 \cdot (-2) + 98 = 16 - (-8) - 51 \cdot 4 - 98 + 98 = 16 + 8 - 204 = -180 \neq 0$.
  Число -2 не является корнем.
• При $x=7$:
  $P(7) = 7^4 - 7^3 - 51 \cdot 7^2 + 49 \cdot 7 + 98 = 2401 - 343 - 51 \cdot 49 + 343 + 98 = 2401 - 2499 + 98 = -98 + 98 = 0$.
  Число 7 является корнем.
• При $x=-7$:
  $P(-7) = (-7)^4 - (-7)^3 - 51 \cdot (-7)^2 + 49 \cdot (-7) + 98 = 2401 - (-343) - 51 \cdot 49 - 343 + 98 = 2401 + 343 - 2499 - 343 + 98 = 2499 - 2499 = 0$.
  Число -7 является корнем.

Таким образом, из предложенного списка корнями уравнения являются четыре числа.

Ответ: -1, 2, 7, -7.

342. Решите уравнение:

а) $x^3 - 4x^2 + 3x + 2 = 0;$

б) $x^4 + 2x^3 - 7x^2 - 8x + 12 = 0.$

а) $x^3 - 4x^2 + 3x + 2 = 0$

Это кубическое уравнение с целыми коэффициентами. Для его решения воспользуемся теоремой о рациональных корнях. Возможные рациональные корни являются делителями свободного члена (числа 2), то есть: $ \pm 1, \pm 2 $.

Проверим эти значения подстановкой в уравнение. Пусть $P(x) = x^3 - 4x^2 + 3x + 2$.

При $x = 1$: $P(1) = 1^3 - 4(1)^2 + 3(1) + 2 = 1 - 4 + 3 + 2 = 2 \neq 0$.

При $x = -1$: $P(-1) = (-1)^3 - 4(-1)^2 + 3(-1) + 2 = -1 - 4 - 3 + 2 = -6 \neq 0$.

При $x = 2$: $P(2) = 2^3 - 4(2)^2 + 3(2) + 2 = 8 - 16 + 6 + 2 = 0$.

Мы нашли один корень $x_1 = 2$. Это означает, что многочлен $x^3 - 4x^2 + 3x + 2$ делится нацело на двучлен $(x - 2)$. Выполним деление многочлена (например, по схеме Горнера или "столбиком").

$(x^3 - 4x^2 + 3x + 2) : (x - 2) = x^2 - 2x - 1 $

Таким образом, исходное уравнение можно представить в виде произведения:

$(x - 2)(x^2 - 2x - 1) = 0$

Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Один корень мы уже знаем ($x-2=0 \implies x=2$). Теперь решим квадратное уравнение $x^2 - 2x - 1 = 0$ с помощью формулы корней.

Найдем дискриминант: $D = b^2 - 4ac = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-1) = 4 + 4 = 8$.

Найдем корни: $x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{2 \pm \sqrt{8}}{2} = \frac{2 \pm 2\sqrt{2}}{2} = 1 \pm \sqrt{2}$.

Отсюда получаем еще два корня: $x_2 = 1 + \sqrt{2}$ и $x_3 = 1 - \sqrt{2}$.

Ответ: $2, 1 + \sqrt{2}, 1 - \sqrt{2}$.

б) $x^4 + 2x^3 - 7x^2 - 8x + 12 = 0$

Это уравнение четвертой степени. Снова воспользуемся теоремой о рациональных корнях. Возможные рациональные корни — это целые делители свободного члена 12: $ \pm 1, \pm 2, \pm 3, \pm 4, \pm 6, \pm 12 $.

Проверим некоторые из них подстановкой. Пусть $P(x) = x^4 + 2x^3 - 7x^2 - 8x + 12$.

При $x = 1$: $P(1) = 1^4 + 2(1)^3 - 7(1)^2 - 8(1) + 12 = 1 + 2 - 7 - 8 + 12 = 0$. Корень найден: $x_1 = 1$.

Разделим многочлен на $(x - 1)$, чтобы понизить степень уравнения.

$(x^4 + 2x^3 - 7x^2 - 8x + 12) : (x - 1) = x^3 + 3x^2 - 4x - 12 $

Уравнение принимает вид:

$(x - 1)(x^3 + 3x^2 - 4x - 12) = 0$

Теперь нужно решить кубическое уравнение $x^3 + 3x^2 - 4x - 12 = 0$. Для его решения можно применить метод группировки слагаемых.

$ (x^3 + 3x^2) - (4x + 12) = 0 $

$ x^2(x + 3) - 4(x + 3) = 0 $

Вынесем общий множитель $(x+3)$ за скобки:

$ (x^2 - 4)(x + 3) = 0 $

Множитель $(x^2-4)$ можно разложить по формуле разности квадратов: $(x-2)(x+2)$.

В итоге получаем: $(x - 2)(x + 2)(x + 3) = 0$.

Отсюда находим остальные три корня: $x_2 = 2, x_3 = -2, x_4 = -3$.

Таким образом, все корни исходного уравнения найдены.

Ответ: $-3, -2, 1, 2$.

343. При каких значениях p равны значения двучленов:

a) $p^3 - p^2$ и $8p - 12$;

б) $p^3 - 3p$ и $p^2 + 1?

а) Чтобы найти значения $p$, при которых значения двучленов $p^3 - p^2$ и $8p - 12$ равны, необходимо приравнять их друг к другу:

$p^3 - p^2 = 8p - 12$

Перенесем все члены уравнения в левую часть, чтобы получить кубическое уравнение, равное нулю:

$p^3 - p^2 - 8p + 12 = 0$

Для решения этого уравнения найдем его целые корни. Согласно теореме о рациональных корнях, они должны быть среди делителей свободного члена (числа 12). Делители: $\pm1, \pm2, \pm3, \pm4, \pm6, \pm12$.

Проверим значение $p = 2$:

$2^3 - 2^2 - 8(2) + 12 = 8 - 4 - 16 + 12 = 4 - 16 + 12 = 0$

Поскольку равенство верное, $p = 2$ является корнем уравнения. Это значит, что многочлен $p^3 - p^2 - 8p + 12$ делится на $(p-2)$ без остатка. Разложим многочлен на множители, используя метод группировки:

$p^3 - 2p^2 + p^2 - 2p - 6p + 12 = 0$

$p^2(p - 2) + p(p - 2) - 6(p - 2) = 0$

Вынесем общий множитель $(p-2)$ за скобки:

$(p - 2)(p^2 + p - 6) = 0$

Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю:

1) $p - 2 = 0 \implies p = 2$

2) $p^2 + p - 6 = 0$. Это квадратное уравнение можно решить, например, по теореме Виета. Сумма корней равна $-1$, а их произведение равно $-6$. Этим условиям удовлетворяют числа $2$ и $-3$.

Таким образом, уравнение имеет два различных корня: $2$ и $-3$.

Ответ: $p = -3, p = 2$.

б) Приравняем значения двучленов $p^3 - 3p$ и $p^2 + 1$:

$p^3 - 3p = p^2 + 1$

Перенесем все члены уравнения в левую часть:

$p^3 - p^2 - 3p - 1 = 0$

Найдем целые корни среди делителей свободного члена (-1): $\pm1$.

Проверим значение $p = -1$:

$(-1)^3 - (-1)^2 - 3(-1) - 1 = -1 - 1 + 3 - 1 = 0$

Значение $p = -1$ является корнем уравнения. Следовательно, многочлен $p^3 - p^2 - 3p - 1$ можно разделить на $(p+1)$. Выполнив деление (например, столбиком), получим:

$(p + 1)(p^2 - 2p - 1) = 0$

Произведение равно нулю, если один из множителей равен нулю:

1) $p + 1 = 0 \implies p_1 = -1$

2) $p^2 - 2p - 1 = 0$. Решим это квадратное уравнение с помощью формулы для корней квадратного уравнения:

$p = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$

$p = \frac{-(-2) \pm \sqrt{(-2)^2 - 4(1)(-1)}}{2(1)} = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 4}}{2} = \frac{2 \pm \sqrt{8}}{2}$

Упростим корень: $\sqrt{8} = \sqrt{4 \cdot 2} = 2\sqrt{2}$.

$p = \frac{2 \pm 2\sqrt{2}}{2} = 1 \pm \sqrt{2}$

Отсюда получаем еще два корня: $p_2 = 1 + \sqrt{2}$ и $p_3 = 1 - \sqrt{2}$.

В итоге, мы нашли три значения $p$, при которых значения двучленов равны.

Ответ: $p = -1, p = 1 - \sqrt{2}, p = 1 + \sqrt{2}$.

344. Найдите координаты точек пересечения графика функции $y = x^3 + 4x^2 + x - 6$ с осями координат.

Для нахождения координат точек пересечения графика функции с осями координат, необходимо поочередно рассмотреть два случая: пересечение с осью ординат (Oy) и пересечение с осью абсцисс (Ox).

Точка пересечения графика с осью ординат имеет абсциссу (координату $x$), равную нулю. Чтобы найти соответствующую ординату $y$, подставим $x=0$ в уравнение функции:

$y = x^3 + 4x^2 + x - 6$

$y = 0^3 + 4 \cdot 0^2 + 0 - 6 = -6$

Таким образом, график функции пересекает ось Oy в точке с координатами $(0, -6)$.

Точки пересечения графика с осью абсцисс имеют ординату (координату $y$), равную нулю. Чтобы найти соответствующие абсциссы $x$, приравняем функцию к нулю и решим полученное уравнение:

$x^3 + 4x^2 + x - 6 = 0$

Это кубическое уравнение. Согласно теореме о рациональных корнях, если уравнение имеет целые корни, то они являются делителями свободного члена (числа $-6$). Делителями числа $-6$ являются: $\pm1, \pm2, \pm3, \pm6$.

Проверим, является ли $x=1$ корнем уравнения:

$1^3 + 4 \cdot 1^2 + 1 - 6 = 1 + 4 + 1 - 6 = 0$

Равенство $0=0$ является верным, следовательно, $x_1=1$ — это один из корней уравнения. Это означает, что многочлен $x^3 + 4x^2 + x - 6$ можно разделить на двучлен $(x-1)$ без остатка.

Выполним деление многочлена на $(x-1)$ (например, делением в столбик или по схеме Горнера):

$(x^3 + 4x^2 + x - 6) : (x-1) = x^2 + 5x + 6$

Теперь исходное уравнение можно переписать в виде произведения:

$(x-1)(x^2 + 5x + 6) = 0$

Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю. Отсюда получаем два уравнения:

1) $x-1=0 \implies x_1 = 1$

2) $x^2 + 5x + 6 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение. По теореме Виета, сумма корней равна $-5$, а их произведение равно $6$. Методом подбора находим корни:

$x_2 = -2$ и $x_3 = -3$.

Таким образом, мы нашли три абсциссы точек пересечения с осью Ox: $1, -2, -3$.

Координаты точек пересечения с осью Ox: $(1, 0)$, $(-2, 0)$ и $(-3, 0)$.

Ответ: Точки пересечения с осью Ox: $(1, 0)$, $(-2, 0)$, $(-3, 0)$. Точка пересечения с осью Oy: $(0, -6)$.

345. Известно, что график функции $y = x^4 - ax^3 - 10x^2 + 80x - 96$ пересекает ось $x$ в точке $(4; 0)$. Найдите $a$ и координаты других точек пересечения графика функции с осью $x$.

Найдите a

Поскольку график функции $y = x^4 - ax^3 - 10x^2 + 80x - 96$ проходит через точку $(4; 0)$, ее координаты должны удовлетворять уравнению функции. Подставим $x = 4$ и $y = 0$ в это уравнение:

$0 = 4^4 - a \cdot 4^3 - 10 \cdot 4^2 + 80 \cdot 4 - 96$

Выполним вычисления:

$0 = 256 - 64a - 10 \cdot 16 + 320 - 96$

$0 = 256 - 64a - 160 + 320 - 96$

Сгруппируем числовые слагаемые:

$0 = (256 - 160 + 320 - 96) - 64a$

$0 = 320 - 64a$

Решим полученное линейное уравнение относительно $a$:

$64a = 320$

$a = \frac{320}{64}$

$a = 5$

Ответ: $a = 5$.

Найдите координаты других точек пересечения графика функции с осью x

Подставив найденное значение $a=5$ в исходное уравнение, получим функцию:

$y = x^4 - 5x^3 - 10x^2 + 80x - 96$

Точки пересечения графика с осью x — это точки, в которых $y=0$. Следовательно, нам нужно найти корни уравнения:

$x^4 - 5x^3 - 10x^2 + 80x - 96 = 0$

Из условия задачи мы знаем, что $x=4$ является одним из корней. Это значит, что многочлен $x^4 - 5x^3 - 10x^2 + 80x - 96$ делится на $(x-4)$ без остатка. Выполним деление многочленов (например, в столбик или по схеме Горнера):

$(x^4 - 5x^3 - 10x^2 + 80x - 96) \div (x - 4) = x^3 - x^2 - 14x + 24$

Теперь нам нужно найти корни кубического уравнения:

$x^3 - x^2 - 14x + 24 = 0$

По теореме о рациональных корнях, целые корни этого уравнения (если они есть) должны быть делителями свободного члена 24. Проверим один из делителей, например $x=2$:

$2^3 - 2^2 - 14(2) + 24 = 8 - 4 - 28 + 24 = 0$

Так как получилось верное равенство, $x=2$ является корнем. Теперь разделим кубический многочлен на $(x-2)$:

$(x^3 - x^2 - 14x + 24) \div (x - 2) = x^2 + x - 12$

Осталось решить квадратное уравнение:

$x^2 + x - 12 = 0$

По теореме Виета, сумма корней равна $-1$, а их произведение равно $-12$. Этим условиям удовлетворяют числа $3$ и $-4$. Таким образом, $x_1=3$, $x_2=-4$.

Итак, все корни исходного многочлена: $4$ (дан по условию), $2$, $3$ и $-4$.

Другие точки пересечения графика с осью x, кроме $(4; 0)$, соответствуют корням $x=2$, $x=3$ и $x=-4$. Их координаты:

$(2; 0)$, $(3; 0)$, $(-4; 0)$.

Ответ: $(-4; 0)$, $(2; 0)$, $(3; 0)$.