Номер 367, страница 105 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

367. Найдите корни уравнения:

a) $ \frac{1}{x^2 - 6x + 8} - \frac{1}{x - 2} + \frac{10}{x^2 - 4} = 0; $

б) $ \frac{3}{x^2 - x - 6} + \frac{3}{x + 2} = \frac{7}{x^2 - 9}. $

Исходное уравнение: $\frac{1}{x^2 - 6x + 8} - \frac{1}{x - 2} + \frac{10}{x^2 - 4} = 0$.

Для начала разложим знаменатели на множители. Для знаменателя первой дроби $x^2 - 6x + 8$ найдем корни уравнения $x^2 - 6x + 8 = 0$. По теореме Виета, $x_1+x_2=6$ и $x_1 \cdot x_2=8$, откуда корни $x_1=2$ и $x_2=4$. Таким образом, $x^2 - 6x + 8 = (x-2)(x-4)$. Знаменатель третьей дроби $x^2 - 4$ является разностью квадратов: $x^2 - 4 = (x-2)(x+2)$.

Перепишем уравнение в новом виде:

$\frac{1}{(x - 2)(x - 4)} - \frac{1}{x - 2} + \frac{10}{(x - 2)(x + 2)} = 0$

Определим область допустимых значений (ОДЗ), исключив значения $x$, при которых знаменатели обращаются в ноль:
$x - 2 \neq 0 \implies x \neq 2$
$x - 4 \neq 0 \implies x \neq 4$
$x + 2 \neq 0 \implies x \neq -2$
Следовательно, ОДЗ: $x \notin \{-2, 2, 4\}$.

Общий знаменатель для всех дробей: $(x - 2)(x - 4)(x + 2)$. Умножим обе части уравнения на общий знаменатель, чтобы избавиться от дробей:

$1 \cdot (x + 2) - 1 \cdot (x - 4)(x + 2) + 10 \cdot (x - 4) = 0$

Раскроем скобки и упростим полученное выражение:

$x + 2 - (x^2 + 2x - 4x - 8) + 10x - 40 = 0$
$x + 2 - (x^2 - 2x - 8) + 10x - 40 = 0$
$x + 2 - x^2 + 2x + 8 + 10x - 40 = 0$

Приведем подобные слагаемые:

$-x^2 + (1+2+10)x + (2+8-40) = 0$
$-x^2 + 13x - 30 = 0$

Умножим обе части на $-1$, чтобы получить стандартный вид квадратного уравнения:

$x^2 - 13x + 30 = 0$

Решим это уравнение. Можно использовать теорему Виета ($x_1+x_2=13, x_1 \cdot x_2=30$), откуда $x_1=3, x_2=10$. Или найдем корни через дискриминант:
$D = b^2 - 4ac = (-13)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 30 = 169 - 120 = 49 = 7^2$
$x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{13 \pm 7}{2}$
$x_1 = \frac{13 + 7}{2} = \frac{20}{2} = 10$
$x_2 = \frac{13 - 7}{2} = \frac{6}{2} = 3$

Проверим, входят ли найденные корни в ОДЗ. Оба корня, $3$ и $10$, не совпадают с исключенными значениями $\{-2, 2, 4\}$, следовательно, являются решениями уравнения.

Ответ: $3; 10$.

Исходное уравнение: $\frac{3}{x^2 - x - 6} + \frac{3}{x + 2} = \frac{7}{x^2 - 9}$.

Разложим знаменатели на множители. Для $x^2 - x - 6$ найдем корни уравнения $x^2 - x - 6 = 0$. По теореме Виета, $x_1+x_2=1, x_1 \cdot x_2=-6$, откуда $x_1=3, x_2=-2$. Таким образом, $x^2 - x - 6 = (x-3)(x+2)$. Знаменатель $x^2 - 9$ раскладывается как разность квадратов: $x^2 - 9 = (x-3)(x+3)$.

Перепишем уравнение:

$\frac{3}{(x - 3)(x + 2)} + \frac{3}{x + 2} = \frac{7}{(x - 3)(x + 3)}$

Определим ОДЗ:
$x - 3 \neq 0 \implies x \neq 3$
$x + 2 \neq 0 \implies x \neq -2$
$x + 3 \neq 0 \implies x \neq -3$
ОДЗ: $x \notin \{-3, -2, 3\}$.

Общий знаменатель: $(x - 3)(x + 2)(x + 3)$. Умножим на него обе части уравнения:

$3(x+3) + 3(x-3)(x+3) = 7(x+2)$

Раскроем скобки и упростим:

$3x + 9 + 3(x^2 - 9) = 7x + 14$
$3x + 9 + 3x^2 - 27 = 7x + 14$

Перенесем все слагаемые в левую часть и приведем подобные:

$3x^2 + 3x - 7x + 9 - 27 - 14 = 0$
$3x^2 - 4x - 32 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение с помощью дискриминанта:
$D = b^2 - 4ac = (-4)^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-32) = 16 + 384 = 400 = 20^2$
$x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{4 \pm 20}{2 \cdot 3} = \frac{4 \pm 20}{6}$
$x_1 = \frac{4 + 20}{6} = \frac{24}{6} = 4$
$x_2 = \frac{4 - 20}{6} = \frac{-16}{6} = -\frac{8}{3}$

Проверим корни на соответствие ОДЗ. Оба корня, $4$ и $-\frac{8}{3}$, удовлетворяют условию $x \notin \{-3, -2, 3\}$, поэтому являются решениями уравнения.

Ответ: $-\frac{8}{3}; 4$.