Номер 365, страница 104 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

365. При каких значениях $x$ разность дробей $\frac{1}{x+2}$ и $\frac{1}{x+4}$ равна разности дробей $\frac{1}{x+8}$ и $\frac{1}{x+20}$?

Чтобы найти значения x, при которых разность дробей $\frac{1}{x+2}$ и $\frac{1}{x+4}$ равна разности дробей $\frac{1}{x+8}$ и $\frac{1}{x+20}$, составим уравнение в соответствии с условием задачи:

$\frac{1}{x+2} - \frac{1}{x+4} = \frac{1}{x+8} - \frac{1}{x+20}$

Прежде всего, определим область допустимых значений (ОДЗ) для переменной x. Знаменатели дробей не могут быть равны нулю, поэтому:

• $x+2 \neq 0 \implies x \neq -2$
• $x+4 \neq 0 \implies x \neq -4$
• $x+8 \neq 0 \implies x \neq -8$
• $x+20 \neq 0 \implies x \neq -20$

Теперь упростим левую и правую части уравнения, приведя дроби в каждой части к общему знаменателю.

Упростим левую часть:

$\frac{1}{x+2} - \frac{1}{x+4} = \frac{1 \cdot (x+4) - 1 \cdot (x+2)}{(x+2)(x+4)} = \frac{x+4-x-2}{(x+2)(x+4)} = \frac{2}{(x+2)(x+4)}$

Упростим правую часть:

$\frac{1}{x+8} - \frac{1}{x+20} = \frac{1 \cdot (x+20) - 1 \cdot (x+8)}{(x+8)(x+20)} = \frac{x+20-x-8}{(x+8)(x+20)} = \frac{12}{(x+8)(x+20)}$

Теперь наше уравнение имеет вид:

$\frac{2}{(x+2)(x+4)} = \frac{12}{(x+8)(x+20)}$

Можно разделить обе части уравнения на 2, чтобы упростить его:

$\frac{1}{(x+2)(x+4)} = \frac{6}{(x+8)(x+20)}$

Применим свойство пропорции (перекрестное умножение), чтобы избавиться от дробей:

$1 \cdot (x+8)(x+20) = 6 \cdot (x+2)(x+4)$

Раскроем скобки в обеих частях уравнения:

$x^2 + 20x + 8x + 160 = 6(x^2 + 4x + 2x + 8)$

$x^2 + 28x + 160 = 6(x^2 + 6x + 8)$

$x^2 + 28x + 160 = 6x^2 + 36x + 48$

Перенесем все члены уравнения в правую часть, чтобы получить стандартное квадратное уравнение $ax^2 + bx + c = 0$:

$0 = (6x^2 - x^2) + (36x - 28x) + (48 - 160)$

$0 = 5x^2 + 8x - 112$

Решим полученное квадратное уравнение $5x^2 + 8x - 112 = 0$ с помощью формулы корней через дискриминант.

Найдем дискриминант $D = b^2 - 4ac$:

$D = 8^2 - 4 \cdot 5 \cdot (-112) = 64 + 20 \cdot 112 = 64 + 2240 = 2304$

Найдем квадратный корень из дискриминанта: $\sqrt{D} = \sqrt{2304} = 48$.

Теперь найдем корни уравнения по формуле $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:

$x_1 = \frac{-8 + 48}{2 \cdot 5} = \frac{40}{10} = 4$

$x_2 = \frac{-8 - 48}{2 \cdot 5} = \frac{-56}{10} = -5.6$

Оба найденных корня ($4$ и $-5.6$) не совпадают ни с одним из значений, исключенных из ОДЗ ($-2, -4, -8, -20$), следовательно, оба являются решениями исходного уравнения.

Ответ: $x=4$ или $x=-5.6$.