Номер 357, страница 103 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

357. С помощью графиков выясните, сколько решений может иметь уравнение $x^3 + ax + b = 0$ при различных значениях $a$ и $b$.

Количество решений уравнения $x^3 + ax + b = 0$ соответствует количеству точек пересечения графика кубической функции $y = f(x) = x^3 + ax + b$ с осью абсцисс (Ox). Для анализа формы графика и количества точек пересечения воспользуемся производной $f'(x) = 3x^2 + a$.

Одно решение

Уравнение имеет одно решение в двух основных случаях:

1. Если $a \ge 0$. В этом случае производная $f'(x) = 3x^2 + a$ всегда неотрицательна. Это означает, что функция $f(x)$ монотонно возрастает на всей числовой прямой. Монотонно возрастающая непрерывная функция пересекает ось Ox ровно один раз. Графически это выглядит как кубическая парабола, которая не имеет локальных экстремумов, а только постоянно растет.

2. Если $a < 0$, но локальные экстремумы функции (которые в этом случае существуют) находятся по одну сторону от оси Ox. Это происходит, когда значения функции в точках локального максимума и локального минимума имеют одинаковый знак. Это условие можно выразить через коэффициенты как $4a^3 + 27b^2 > 0$. Графически это означает, что "волна" на графике либо полностью находится выше оси Ox, либо полностью ниже, пересекая ось лишь один раз.

Ответ: уравнение имеет одно решение при $a \ge 0$ или при $a < 0$ и $4a^3 + 27b^2 > 0$.

Два решения

Уравнение имеет два решения, если график функции $f(x)$ касается оси Ox. Такое касание возможно только в точке локального экстремума. Это означает, что один из экстремумов (максимум или минимум) равен нулю. Это возможно только при $a < 0$, так как только в этом случае существуют экстремумы. Условие касания, выраженное через коэффициенты, имеет вид $4a^3 + 27b^2 = 0$. В этом случае одно из решений будет иметь кратность 2 (двойной корень).

Ответ: уравнение имеет два решения при $a < 0$ и $4a^3 + 27b^2 = 0$.

Три решения

Уравнение имеет три различных решения, если локальный максимум функции находится выше оси Ox, а локальный минимум — ниже. Это означает, что график функции пересекает ось Ox трижды. Такое возможно только при $a < 0$. Условие, при котором экстремумы лежат по разные стороны от оси Ox, выражается через коэффициенты как $4a^3 + 27b^2 < 0$.

Ответ: уравнение имеет три решения при $a < 0$ и $4a^3 + 27b^2 < 0$.