Номер 353, страница 103 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

353. Найдите корни уравнения:

a) $(a - 2)(a + 2)(a^2 + 4) = 25a^2 - 16;$

б) $(x - 1)(x + 1)(x^2 + 1) = 6x^2 - 1.$

а) $(a - 2)(a + 2)(a^2 + 4) = 25a^2 - 16$

Для решения левой части уравнения последовательно применим формулу разности квадратов: $(x - y)(x + y) = x^2 - y^2$.
Сначала сгруппируем первые два множителя:
$(a - 2)(a + 2) = a^2 - 2^2 = a^2 - 4$.
Теперь уравнение принимает вид:
$(a^2 - 4)(a^2 + 4) = 25a^2 - 16$
Снова применяем формулу разности квадратов:
$(a^2 - 4)(a^2 + 4) = (a^2)^2 - 4^2 = a^4 - 16$.
Подставим это выражение обратно в уравнение:
$a^4 - 16 = 25a^2 - 16$
Прибавим 16 к обеим частям уравнения:
$a^4 = 25a^2$
Перенесем все члены в левую часть:
$a^4 - 25a^2 = 0$
Вынесем общий множитель $a^2$ за скобки:
$a^2(a^2 - 25) = 0$
Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю. Поэтому:
$a^2 = 0$ или $a^2 - 25 = 0$.
Из первого уравнения получаем корень $a_1 = 0$.
Второе уравнение $a^2 = 25$ имеет два корня: $a_2 = 5$ и $a_3 = -5$.
Таким образом, уравнение имеет три корня.
Ответ: $0; -5; 5$.

б) $(x - 1)(x + 1)(x^2 + 1) = 6x^2 - 1$

Это уравнение решается аналогично предыдущему с использованием формулы разности квадратов $(x - y)(x + y) = x^2 - y^2$.
Упростим левую часть уравнения. Сначала перемножим первые две скобки:
$(x - 1)(x + 1) = x^2 - 1^2 = x^2 - 1$.
Уравнение примет вид:
$(x^2 - 1)(x^2 + 1) = 6x^2 - 1$
Снова применяем формулу разности квадратов:
$(x^2 - 1)(x^2 + 1) = (x^2)^2 - 1^2 = x^4 - 1$.
Подставляем полученное выражение в исходное уравнение:
$x^4 - 1 = 6x^2 - 1$
Прибавим 1 к обеим частям уравнения:
$x^4 = 6x^2$
Перенесем все в левую часть:
$x^4 - 6x^2 = 0$
Вынесем общий множитель $x^2$ за скобки:
$x^2(x^2 - 6) = 0$
Произведение равно нулю, когда один из множителей равен нулю:
$x^2 = 0$ или $x^2 - 6 = 0$.
Из первого уравнения получаем корень $x_1 = 0$.
Второе уравнение $x^2 = 6$ имеет два корня: $x_2 = \sqrt{6}$ и $x_3 = -\sqrt{6}$.
Уравнение имеет три корня.
Ответ: $0; -\sqrt{6}; \sqrt{6}$.