Номер 355, страница 103 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

355. Решите уравнение:

a) $x^3 + 2x^2 + 3x + 2 = 0$;

б) $x^3 + 4x^2 - 3x - 6 = 0$.

а) $x^3 + 2x^2 + 3x + 2 = 0$

Для решения данного кубического уравнения найдем один из его корней подбором среди делителей свободного члена (числа 2). Делителями являются числа $±1, ±2$.

Проверим $x = -1$:

$(-1)^3 + 2(-1)^2 + 3(-1) + 2 = -1 + 2 - 3 + 2 = 0$.

Так как получилось верное равенство, $x = -1$ является корнем уравнения. Это означает, что многочлен в левой части уравнения делится на $(x+1)$ без остатка.

Выполним деление многочлена $x^3 + 2x^2 + 3x + 2$ на двучлен $(x+1)$ (например, используя метод деления "в столбик" или схему Горнера). В результате деления получаем квадратный трехчлен $x^2 + x + 2$.

Таким образом, исходное уравнение можно представить в виде произведения:

$(x+1)(x^2 + x + 2) = 0$.

Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю. Отсюда получаем два уравнения:

1) $x + 1 = 0$, что дает корень $x_1 = -1$.

2) $x^2 + x + 2 = 0$. Для решения этого квадратного уравнения найдем дискриминант $D$:

$D = b^2 - 4ac = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot 2 = 1 - 8 = -7$.

Поскольку дискриминант $D < 0$, квадратное уравнение $x^2 + x + 2 = 0$ не имеет действительных корней.

Следовательно, исходное уравнение имеет единственный действительный корень.

Ответ: -1.

б) $x^3 + 4x^2 - 3x - 6 = 0$

Как и в предыдущем случае, попробуем найти рациональный корень среди делителей свободного члена (-6). Делители: $±1, ±2, ±3, ±6$.

Проверим $x = -1$:

$(-1)^3 + 4(-1)^2 - 3(-1) - 6 = -1 + 4 + 3 - 6 = 0$.

Корень $x = -1$ найден. Разделим многочлен $x^3 + 4x^2 - 3x - 6$ на $(x+1)$.

В результате деления получаем $x^2 + 3x - 6$.

Уравнение принимает вид:

$(x+1)(x^2 + 3x - 6) = 0$.

Рассмотрим два случая:

1) $x + 1 = 0$, откуда $x_1 = -1$.

2) $x^2 + 3x - 6 = 0$. Решим это квадратное уравнение. Найдем дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = 3^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-6) = 9 + 24 = 33$.

Дискриминант $D > 0$, поэтому уравнение имеет два действительных корня, которые находим по формуле:

$x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-3 \pm \sqrt{33}}{2}$.

Таким образом, получаем еще два корня: $x_2 = \frac{-3 + \sqrt{33}}{2}$ и $x_3 = \frac{-3 - \sqrt{33}}{2}$.

Всего уравнение имеет три действительных корня.

Ответ: $-1; \frac{-3 - \sqrt{33}}{2}; \frac{-3 + \sqrt{33}}{2}$.