Номер 350, страница 103 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

350. Решите возвратное уравнение

$10x^4 - 77x^3 + 150x^2 - 77x + 10 = 0.$

Данное уравнение является возвратным уравнением четвертой степени вида $ax^4 + bx^3 + cx^2 + bx + a = 0$, поскольку коэффициенты, равноудаленные от концов, равны ($a=10$, $b=-77$).

Убедимся, что $x=0$ не является корнем уравнения. Подставив $x=0$ в уравнение, получим $10 = 0$, что является неверным равенством. Следовательно, $x \neq 0$.

Разделим обе части уравнения на $x^2$:

$\frac{10x^4}{x^2} - \frac{77x^3}{x^2} + \frac{150x^2}{x^2} - \frac{77x}{x^2} + \frac{10}{x^2} = 0$

$10x^2 - 77x + 150 - \frac{77}{x} + \frac{10}{x^2} = 0$

Сгруппируем слагаемые с одинаковыми коэффициентами:

$(10x^2 + \frac{10}{x^2}) - (77x + \frac{77}{x}) + 150 = 0$

$10(x^2 + \frac{1}{x^2}) - 77(x + \frac{1}{x}) + 150 = 0$

Введем новую переменную: пусть $y = x + \frac{1}{x}$.

Чтобы выразить $x^2 + \frac{1}{x^2}$ через $y$, возведем замену в квадрат:

$y^2 = (x + \frac{1}{x})^2 = x^2 + 2 \cdot x \cdot \frac{1}{x} + \frac{1}{x^2} = x^2 + 2 + \frac{1}{x^2}$

Отсюда $x^2 + \frac{1}{x^2} = y^2 - 2$.

Подставим новые выражения в уравнение:

$10(y^2 - 2) - 77y + 150 = 0$

$10y^2 - 20 - 77y + 150 = 0$

$10y^2 - 77y + 130 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение относительно $y$. Найдем дискриминант:

$D = (-77)^2 - 4 \cdot 10 \cdot 130 = 5929 - 5200 = 729$

$\sqrt{D} = \sqrt{729} = 27$

Найдем корни для $y$:

$y_1 = \frac{77 + 27}{2 \cdot 10} = \frac{104}{20} = \frac{26}{5}$

$y_2 = \frac{77 - 27}{2 \cdot 10} = \frac{50}{20} = \frac{5}{2}$

Теперь выполним обратную замену для каждого найденного значения $y$.

Случай 1: $y = \frac{26}{5}$

$x + \frac{1}{x} = \frac{26}{5}$

Умножим обе части на $5x$ (так как $x \neq 0$):

$5x^2 + 5 = 26x$

$5x^2 - 26x + 5 = 0$

Решим это квадратное уравнение. Дискриминант $D_1 = (-26)^2 - 4 \cdot 5 \cdot 5 = 676 - 100 = 576 = 24^2$.

Корни: $x_1 = \frac{26 + 24}{2 \cdot 5} = \frac{50}{10} = 5$; $x_2 = \frac{26 - 24}{2 \cdot 5} = \frac{2}{10} = \frac{1}{5}$.

Случай 2: $y = \frac{5}{2}$

$x + \frac{1}{x} = \frac{5}{2}$

Умножим обе части на $2x$:

$2x^2 + 2 = 5x$

$2x^2 - 5x + 2 = 0$

Решим это квадратное уравнение. Дискриминант $D_2 = (-5)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 2 = 25 - 16 = 9 = 3^2$.

Корни: $x_3 = \frac{5 + 3}{2 \cdot 2} = \frac{8}{4} = 2$; $x_4 = \frac{5 - 3}{2 \cdot 2} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$.

Таким образом, уравнение имеет четыре действительных корня.

Ответ: $x \in \{\frac{1}{5}; \frac{1}{2}; 2; 5\}$.