Номер 348, страница 103 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

348. Решите уравнение:

а) $x^3 + 11x - 108 = 0;$

б) $x^5 + 6x + 44 = 0.$

а)

Дано уравнение $x^3 + 11x - 108 = 0$.

Попробуем найти целочисленные корни уравнения. Согласно теореме о рациональных корнях, если уравнение с целыми коэффициентами имеет целый корень, то он является делителем свободного члена. В данном случае, делителем числа -108.

Делители числа 108: $\pm1, \pm2, \pm3, \pm4, \pm6, \dots$.

Проверим некоторые положительные делители подстановкой в уравнение:

При $x = 1$: $1^3 + 11 \cdot 1 - 108 = 1 + 11 - 108 = -96 \neq 0$.

При $x = 2$: $2^3 + 11 \cdot 2 - 108 = 8 + 22 - 108 = -78 \neq 0$.

При $x = 3$: $3^3 + 11 \cdot 3 - 108 = 27 + 33 - 108 = -48 \neq 0$.

При $x = 4$: $4^3 + 11 \cdot 4 - 108 = 64 + 44 - 108 = 108 - 108 = 0$.

Таким образом, $x = 4$ является корнем уравнения. Это означает, что многочлен $x^3 + 11x - 108$ делится нацело на двучлен $(x - 4)$.

Выполним деление многочлена на $(x-4)$ (например, по схеме Горнера или делением в столбик), чтобы найти частное:

$(x^3 + 11x - 108) \div (x - 4) = x^2 + 4x + 27$.

Теперь уравнение можно записать в виде произведения:

$(x - 4)(x^2 + 4x + 27) = 0$.

Произведение равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Отсюда получаем два уравнения:

1) $x - 4 = 0 \implies x = 4$.

2) $x^2 + 4x + 27 = 0$.

Решим второе, квадратное, уравнение. Для этого найдем его дискриминант $D = b^2 - 4ac$:

$D = 4^2 - 4 \cdot 1 \cdot 27 = 16 - 108 = -92$.

Поскольку дискриминант $D < 0$, квадратное уравнение $x^2 + 4x + 27 = 0$ не имеет действительных корней.

Следовательно, единственным действительным решением исходного уравнения является корень первого множителя.

Ответ: 4.

б)

Дано уравнение $x^5 + 6x + 44 = 0$.

Рассмотрим функцию $f(x) = x^5 + 6x + 44$. Чтобы исследовать количество ее корней, найдем ее производную:

$f'(x) = (x^5 + 6x + 44)' = 5x^4 + 6$.

Выражение $x^4$ всегда неотрицательно для любого действительного $x$, то есть $x^4 \ge 0$. Поэтому $5x^4 \ge 0$.

Следовательно, производная $f'(x) = 5x^4 + 6 \ge 6 > 0$ для всех $x \in \mathbb{R}$.

Поскольку производная функции $f(x)$ строго положительна на всей числовой прямой, функция является строго возрастающей. Строго монотонная функция может пересекать ось абсцисс (то есть принимать значение, равное нулю) не более одного раза. Это означает, что уравнение $f(x) = 0$ имеет не более одного действительного корня.

Попробуем найти этот единственный корень подбором, проверяя целые делители свободного члена (числа 44).

Делители числа 44: $\pm1, \pm2, \pm4, \pm11, \pm22, \pm44$.

Заметим, что при $x > 0$, все слагаемые $x^5$, $6x$ и $44$ положительны, поэтому их сумма не может быть равна нулю. Значит, если корень существует, он должен быть отрицательным.

Проверим $x = -1$: $f(-1) = (-1)^5 + 6(-1) + 44 = -1 - 6 + 44 = 37 \neq 0$.

Проверим $x = -2$: $f(-2) = (-2)^5 + 6(-2) + 44 = -32 - 12 + 44 = -44 + 44 = 0$.

Мы нашли корень $x = -2$. Так как было доказано, что уравнение может иметь не более одного действительного корня, то $x = -2$ и есть единственное решение.

Ответ: -2.