Номер 337, страница 97 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

337. Решите неравенство:

а) $\frac{x - 8}{x + 4} > 2;$

б) $\frac{3 - x}{x - 2} < 1;$

в) $\frac{7x - 1}{x} > 5;$

г) $\frac{6 - 2x}{x + 4} > 3.$

а) $\frac{x - 8}{x + 4} > 2$

Для решения дробно-рационального неравенства перенесем все члены в одну сторону и приведем их к общему знаменателю, чтобы сравнить выражение с нулем. Важно помнить, что нельзя умножать неравенство на знаменатель, так как его знак неизвестен.

$\frac{x - 8}{x + 4} - 2 > 0$

$\frac{x - 8 - 2(x + 4)}{x + 4} > 0$

$\frac{x - 8 - 2x - 8}{x + 4} > 0$

$\frac{-x - 16}{x + 4} > 0$

Чтобы упростить выражение, умножим числитель и знаменатель на -1, при этом знак неравенства изменится на противоположный:

$\frac{x + 16}{x + 4} < 0$

Теперь решим это неравенство методом интервалов. Найдем нули числителя и знаменателя:

Нуль числителя: $x + 16 = 0 \Rightarrow x = -16$.

Нуль знаменателя (точка разрыва): $x + 4 = 0 \Rightarrow x = -4$.

Отметим эти точки $(-16$ и $-4)$ на числовой прямой. Так как неравенство строгое, обе точки будут "выколотыми". Они разбивают прямую на три интервала: $(-\infty, -16)$, $(-16, -4)$ и $(-4, +\infty)$.

Определим знак выражения $\frac{x + 16}{x + 4}$ в каждом интервале. В интервале $(-16, -4)$ выражение отрицательно. Например, при $x = -10$, $\frac{-10 + 16}{-10 + 4} = \frac{6}{-6} = -1 < 0$. В двух других интервалах выражение будет положительным.

Поскольку мы ищем значения, где выражение меньше нуля, решением является интервал $(-16, -4)$.

Ответ: $x \in (-16, -4)$.

б) $\frac{3 - x}{x - 2} < 1$

Перенесем 1 в левую часть и приведем к общему знаменателю:

$\frac{3 - x}{x - 2} - 1 < 0$

$\frac{3 - x - (x - 2)}{x - 2} < 0$

$\frac{3 - x - x + 2}{x - 2} < 0$

$\frac{5 - 2x}{x - 2} < 0$

Решим неравенство методом интервалов. Найдем нули числителя и знаменателя:

Нуль числителя: $5 - 2x = 0 \Rightarrow 2x = 5 \Rightarrow x = 2.5$.

Нуль знаменателя: $x - 2 = 0 \Rightarrow x = 2$.

Отметим точки $2$ и $2.5$ на числовой прямой. Они разбивают ее на интервалы $(-\infty, 2)$, $(2, 2.5)$ и $(2.5, +\infty)$.

Определим знак выражения $\frac{5 - 2x}{x - 2}$ в каждом интервале:

Для $x \in (-\infty, 2)$, например $x=0$, $\frac{5-0}{0-2} = -2.5 < 0$.

Для $x \in (2, 2.5)$, например $x=2.1$, $\frac{5-4.2}{2.1-2} = \frac{0.8}{0.1} = 8 > 0$.

Для $x \in (2.5, +\infty)$, например $x=3$, $\frac{5-6}{3-2} = -1 < 0$.

Нас интересуют интервалы, где выражение меньше нуля. Это $(-\infty, 2)$ и $(2.5, +\infty)$.

Ответ: $x \in (-\infty, 2) \cup (2.5, +\infty)$.

в) $\frac{7x - 1}{x} > 5$

Перенесем 5 в левую часть и приведем к общему знаменателю:

$\frac{7x - 1}{x} - 5 > 0$

$\frac{7x - 1 - 5x}{x} > 0$

$\frac{2x - 1}{x} > 0$

Решим неравенство методом интервалов. Нули числителя и знаменателя:

Нуль числителя: $2x - 1 = 0 \Rightarrow x = 0.5$.

Нуль знаменателя: $x = 0$.

Отметим точки $0$ и $0.5$ на числовой прямой. Они разбивают ее на интервалы $(-\infty, 0)$, $(0, 0.5)$ и $(0.5, +\infty)$.

Определим знак выражения $\frac{2x - 1}{x}$ в каждом интервале:

Для $x \in (-\infty, 0)$, например $x=-1$, $\frac{2(-1)-1}{-1} = 3 > 0$.

Для $x \in (0, 0.5)$, например $x=0.1$, $\frac{2(0.1)-1}{0.1} = -8 < 0$.

Для $x \in (0.5, +\infty)$, например $x=1$, $\frac{2(1)-1}{1} = 1 > 0$.

Нас интересуют интервалы, где выражение больше нуля. Это $(-\infty, 0)$ и $(0.5, +\infty)$.

Ответ: $x \in (-\infty, 0) \cup (0.5, +\infty)$.

г) $\frac{6 - 2x}{x + 4} > 3$

Перенесем 3 в левую часть и приведем к общему знаменателю:

$\frac{6 - 2x}{x + 4} - 3 > 0$

$\frac{6 - 2x - 3(x + 4)}{x + 4} > 0$

$\frac{6 - 2x - 3x - 12}{x + 4} > 0$

$\frac{-5x - 6}{x + 4} > 0$

Умножим обе части на -1 и изменим знак неравенства:

$\frac{5x + 6}{x + 4} < 0$

Решим неравенство методом интервалов. Нули числителя и знаменателя:

Нуль числителя: $5x + 6 = 0 \Rightarrow x = -1.2$.

Нуль знаменателя: $x + 4 = 0 \Rightarrow x = -4$.

Отметим точки $-4$ и $-1.2$ на числовой прямой. Они разбивают ее на интервалы $(-\infty, -4)$, $(-4, -1.2)$ и $(-1.2, +\infty)$.

Определим знак выражения $\frac{5x + 6}{x + 4}$ в каждом интервале. В интервале $(-4, -1.2)$ выражение отрицательно. Например, при $x=-2$, $\frac{5(-2)+6}{-2+4} = \frac{-4}{2} = -2 < 0$. В остальных интервалах выражение будет положительным.

Поскольку мы ищем значения, где выражение меньше нуля, решением является интервал $(-4, -1.2)$.

Ответ: $x \in (-4, -1.2)$.