Номер 338, страница 97 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

338. Решите неравенство:

а) $ \frac{5x + 4}{x} < 4; $

б) $ \frac{6x + 1}{x + 1} > 1; $

в) $ \frac{x}{x - 1} \ge 2; $

г) $ \frac{3x - 1}{x + 2} \ge 1. $

а)
Перенесем 4 в левую часть неравенства:
$\frac{5x + 4}{x} - 4 < 0$
Приведем к общему знаменателю:
$\frac{5x + 4 - 4x}{x} < 0$
$\frac{x + 4}{x} < 0$
Решим это неравенство методом интервалов. Найдем нули числителя и знаменателя:
$x + 4 = 0 \implies x = -4$
$x = 0$
Отметим точки -4 и 0 на числовой прямой. Обе точки выколотые, так как неравенство строгое, а знаменатель не может быть равен нулю.
Определим знаки выражения $\frac{x+4}{x}$ в каждом из трех интервалов: $(-\infty, -4)$, $(-4, 0)$, $(0, +\infty)$.
При $x > 0$ (например, $x=1$): $\frac{1+4}{1} = 5 > 0$.
При $-4 < x < 0$ (например, $x=-1$): $\frac{-1+4}{-1} = -3 < 0$.
При $x < -4$ (например, $x=-5$): $\frac{-5+4}{-5} = \frac{-1}{-5} > 0$.
Нам нужен интервал, где выражение меньше нуля.
Ответ: $x \in (-4, 0)$.

б)
Перенесем 1 в левую часть неравенства:
$\frac{6x + 1}{x + 1} - 1 > 0$
Приведем к общему знаменателю:
$\frac{6x + 1 - (x + 1)}{x + 1} > 0$
$\frac{6x + 1 - x - 1}{x + 1} > 0$
$\frac{5x}{x + 1} > 0$
Решим методом интервалов. Нули числителя и знаменателя:
$5x = 0 \implies x = 0$
$x + 1 = 0 \implies x = -1$
Отметим точки -1 и 0 на числовой прямой (обе выколотые).
Определим знаки выражения $\frac{5x}{x+1}$ в интервалах: $(-\infty, -1)$, $(-1, 0)$, $(0, +\infty)$.
При $x > 0$ (например, $x=1$): $\frac{5(1)}{1+1} = \frac{5}{2} > 0$.
При $-1 < x < 0$ (например, $x=-0.5$): $\frac{5(-0.5)}{-0.5+1} = \frac{-2.5}{0.5} < 0$.
При $x < -1$ (например, $x=-2$): $\frac{5(-2)}{-2+1} = \frac{-10}{-1} > 0$.
Нам нужны интервалы, где выражение больше нуля.
Ответ: $x \in (-\infty, -1) \cup (0, +\infty)$.

в)
Перенесем 2 в левую часть неравенства:
$\frac{x}{x - 1} - 2 \ge 0$
Приведем к общему знаменателю:
$\frac{x - 2(x - 1)}{x - 1} \ge 0$
$\frac{x - 2x + 2}{x - 1} \ge 0$
$\frac{-x + 2}{x - 1} \ge 0$
Умножим обе части на -1 и сменим знак неравенства:
$\frac{x - 2}{x - 1} \le 0$
Решим методом интервалов. Нули числителя и знаменателя:
$x - 2 = 0 \implies x = 2$
$x - 1 = 0 \implies x = 1$
Отметим точки на числовой прямой. Точка $x=2$ закрашенная (неравенство нестрогое), точка $x=1$ выколотая (знаменатель).
Определим знаки выражения $\frac{x-2}{x-1}$ в интервалах: $(-\infty, 1)$, $(1, 2]$, $[2, +\infty)$.
При $x > 2$ (например, $x=3$): $\frac{3-2}{3-1} = \frac{1}{2} > 0$.
При $1 < x < 2$ (например, $x=1.5$): $\frac{1.5-2}{1.5-1} = \frac{-0.5}{0.5} < 0$.
При $x < 1$ (например, $x=0$): $\frac{0-2}{0-1} = 2 > 0$.
Нам нужен интервал, где выражение меньше или равно нулю.
Ответ: $x \in (1, 2]$.

г)
Перенесем 1 в левую часть неравенства:
$\frac{3x - 1}{x + 2} - 1 \ge 0$
Приведем к общему знаменателю:
$\frac{3x - 1 - (x + 2)}{x + 2} \ge 0$
$\frac{3x - 1 - x - 2}{x + 2} \ge 0$
$\frac{2x - 3}{x + 2} \ge 0$
Решим методом интервалов. Нули числителя и знаменателя:
$2x - 3 = 0 \implies x = \frac{3}{2}$
$x + 2 = 0 \implies x = -2$
Отметим точки на числовой прямой. Точка $x=\frac{3}{2}$ закрашенная, точка $x=-2$ выколотая.
Определим знаки выражения $\frac{2x-3}{x+2}$ в интервалах: $(-\infty, -2)$, $(-2, \frac{3}{2}]$, $[\frac{3}{2}, +\infty)$.
При $x > \frac{3}{2}$ (например, $x=2$): $\frac{2(2)-3}{2+2} = \frac{1}{4} > 0$.
При $-2 < x < \frac{3}{2}$ (например, $x=0$): $\frac{2(0)-3}{0+2} = -\frac{3}{2} < 0$.
При $x < -2$ (например, $x=-3$): $\frac{2(-3)-3}{-3+2} = \frac{-9}{-1} > 0$.
Нам нужны интервалы, где выражение больше или равно нулю.
Ответ: $x \in (-\infty, -2) \cup [\frac{3}{2}, +\infty)$.