Страница 91 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

310. При каких значениях b уравнение имеет два корня:

a) $3x^2 + bx + 3 = 0;$

б) $x^2 + 2bx + 15 = 0?$

Квадратное уравнение вида $Ax^2+Bx+C=0$ имеет два различных действительных корня, когда его дискриминант $D$ больше нуля. Дискриминант вычисляется по формуле $D = B^2 - 4AC$.

а) $3x^2 + bx + 3 = 0$

В данном уравнении коэффициенты: $A = 3$, $B = b$, $C = 3$.
Найдем дискриминант этого уравнения:
$D = B^2 - 4AC = b^2 - 4 \cdot 3 \cdot 3 = b^2 - 36$.
Уравнение имеет два корня при условии $D > 0$:
$b^2 - 36 > 0$.
Разложим левую часть неравенства на множители, используя формулу разности квадратов:
$(b - 6)(b + 6) > 0$.
Это неравенство истинно, когда оба множителя имеют одинаковый знак.
1. Оба множителя положительны: $b - 6 > 0$ и $b + 6 > 0$, что равносильно $b > 6$ и $b > -6$. Общее решение для этого случая: $b > 6$.
2. Оба множителя отрицательны: $b - 6 < 0$ и $b + 6 < 0$, что равносильно $b < 6$ и $b < -6$. Общее решение для этого случая: $b < -6$.
Объединяя оба случая, получаем, что $b$ должен быть меньше $-6$ или больше $6$.
Ответ: $b \in (-\infty; -6) \cup (6; \infty)$.

б) $x^2 + 2bx + 15 = 0$

В данном уравнении коэффициенты: $A = 1$, $B = 2b$, $C = 15$.
Найдем дискриминант этого уравнения:
$D = B^2 - 4AC = (2b)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 15 = 4b^2 - 60$.
Уравнение имеет два корня при условии $D > 0$:
$4b^2 - 60 > 0$.
Разделим обе части неравенства на 4 (так как 4 > 0, знак неравенства не меняется):
$b^2 - 15 > 0$.
Разложим левую часть на множители:
$(b - \sqrt{15})(b + \sqrt{15}) > 0$.
Решая это неравенство методом интервалов, находим, что оно выполняется, когда значение $b$ находится вне промежутка между корнями $-\sqrt{15}$ и $\sqrt{15}$.
Следовательно, $b < -\sqrt{15}$ или $b > \sqrt{15}$.
Ответ: $b \in (-\infty; -\sqrt{15}) \cup (\sqrt{15}; \infty)$.

311. При каких значениях $t$ уравнение не имеет корней:

a) $2x^2 + tx + 18 = 0;$

б) $4x^2 + 4tx + 9 = 0? $

Квадратное уравнение вида $ax^2 + bx + c = 0$ не имеет действительных корней, если его дискриминант $D$ отрицателен, то есть $D < 0$. Дискриминант вычисляется по формуле $D = b^2 - 4ac$.

а) $2x^2 + tx + 18 = 0$

В данном уравнении коэффициенты равны: $a = 2$, $b = t$, $c = 18$.

Найдем дискриминант этого уравнения:

$D = b^2 - 4ac = t^2 - 4 \cdot 2 \cdot 18 = t^2 - 144$.

Уравнение не имеет корней при условии $D < 0$. Решим это неравенство:

$t^2 - 144 < 0$

Разложим левую часть на множители по формуле разности квадратов:

$(t - 12)(t + 12) < 0$

Корнями соответствующего уравнения $t^2 - 144 = 0$ являются $t_1 = -12$ и $t_2 = 12$. Поскольку это парабола с ветвями, направленными вверх (коэффициент при $t^2$ положителен), значения функции будут отрицательными между корнями.

Следовательно, решением неравенства является интервал $-12 < t < 12$.

Ответ: $t \in (-12; 12)$.

б) $4x^2 + 4tx + 9 = 0$

В данном уравнении коэффициенты равны: $a = 4$, $b = 4t$, $c = 9$.

Найдем дискриминант этого уравнения:

$D = b^2 - 4ac = (4t)^2 - 4 \cdot 4 \cdot 9 = 16t^2 - 144$.

Уравнение не имеет корней при условии $D < 0$. Решим неравенство:

$16t^2 - 144 < 0$

Разделим обе части неравенства на 16, чтобы упростить его:

$t^2 - 9 < 0$

Разложим левую часть на множители:

$(t - 3)(t + 3) < 0$

Корнями соответствующего уравнения $t^2 - 9 = 0$ являются $t_1 = -3$ и $t_2 = 3$. Это парабола с ветвями, направленными вверх, поэтому она принимает отрицательные значения между корнями.

Следовательно, решением неравенства является интервал $-3 < t < 3$.

Ответ: $t \in (-3; 3)$.

312. Найдите множество решений неравенства:

а) $3x^2 + 40x + 10 < -x^2 + 11x + 3;$

б) $9x^2 - x + 9 \ge 3x^2 + 18x - 6;$

в) $2x^2 + 8x - 111 < (3x - 5)(2x + 6);$

г) $(5x + 1)(3x - 1) > (4x - 1)(x + 2).$

а) Дано неравенство $3x^2 + 40x + 10 < -x^2 + 11x + 3$.
Перенесем все члены в левую часть, чтобы получить квадратичное неравенство стандартного вида:
$3x^2 + 40x + 10 + x^2 - 11x - 3 < 0$
Приведем подобные слагаемые:
$(3+1)x^2 + (40-11)x + (10-3) < 0$
$4x^2 + 29x + 7 < 0$
Для решения неравенства найдем корни соответствующего квадратного уравнения $4x^2 + 29x + 7 = 0$.
Вычислим дискриминант:
$D = b^2 - 4ac = 29^2 - 4 \cdot 4 \cdot 7 = 841 - 112 = 729$
Поскольку $D > 0$, уравнение имеет два различных корня:
$x_1 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-29 - \sqrt{729}}{2 \cdot 4} = \frac{-29 - 27}{8} = \frac{-56}{8} = -7$
$x_2 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-29 + \sqrt{729}}{2 \cdot 4} = \frac{-29 + 27}{8} = \frac{-2}{8} = -\frac{1}{4}$
Графиком функции $y = 4x^2 + 29x + 7$ является парабола, ветви которой направлены вверх (так как $a=4 > 0$).
Следовательно, неравенство $4x^2 + 29x + 7 < 0$ выполняется для значений $x$, находящихся между корнями.
Ответ: $x \in (-7; -1/4)$.

б) Дано неравенство $9x^2 - x + 9 \ge 3x^2 + 18x - 6$.
Перенесем все члены в левую часть:
$9x^2 - x + 9 - 3x^2 - 18x + 6 \ge 0$
Приведем подобные слагаемые:
$(9-3)x^2 + (-1-18)x + (9+6) \ge 0$
$6x^2 - 19x + 15 \ge 0$
Найдем корни уравнения $6x^2 - 19x + 15 = 0$.
Вычислим дискриминант:
$D = b^2 - 4ac = (-19)^2 - 4 \cdot 6 \cdot 15 = 361 - 360 = 1$
Найдем корни:
$x_1 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{19 - 1}{2 \cdot 6} = \frac{18}{12} = \frac{3}{2}$
$x_2 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{19 + 1}{2 \cdot 6} = \frac{20}{12} = \frac{5}{3}$
Графиком функции $y = 6x^2 - 19x + 15$ является парабола с ветвями, направленными вверх ($a=6 > 0$).
Неравенство $6x^2 - 19x + 15 \ge 0$ выполняется, когда $x$ находится вне интервала между корнями (включая сами корни).
Ответ: $x \in (-\infty; 3/2] \cup [5/3; +\infty)$.

в) Дано неравенство $2x^2 + 8x - 111 < (3x - 5)(2x + 6)$.
Сначала раскроем скобки в правой части:
$(3x - 5)(2x + 6) = 6x^2 + 18x - 10x - 30 = 6x^2 + 8x - 30$
Теперь неравенство имеет вид:
$2x^2 + 8x - 111 < 6x^2 + 8x - 30$
Перенесем все члены в правую часть:
$0 < 6x^2 - 2x^2 + 8x - 8x - 30 + 111$
$0 < 4x^2 + 81$
Получили неравенство $4x^2 + 81 > 0$.
Выражение $x^2$ всегда неотрицательно, т.е. $x^2 \ge 0$.
Следовательно, $4x^2 \ge 0$, а $4x^2 + 81 \ge 81$.
Поскольку $81 > 0$, неравенство $4x^2 + 81 > 0$ справедливо для любого действительного числа $x$.
Ответ: $x \in (-\infty; +\infty)$.

г) Дано неравенство $(5x + 1)(3x - 1) > (4x - 1)(x + 2)$.
Раскроем скобки в обеих частях:
Левая часть: $(5x + 1)(3x - 1) = 15x^2 - 5x + 3x - 1 = 15x^2 - 2x - 1$
Правая часть: $(4x - 1)(x + 2) = 4x^2 + 8x - x - 2 = 4x^2 + 7x - 2$
Неравенство принимает вид:
$15x^2 - 2x - 1 > 4x^2 + 7x - 2$
Перенесем все члены в левую часть и упростим:
$15x^2 - 4x^2 - 2x - 7x - 1 + 2 > 0$
$11x^2 - 9x + 1 > 0$
Найдем корни уравнения $11x^2 - 9x + 1 = 0$.
Вычислим дискриминант:
$D = b^2 - 4ac = (-9)^2 - 4 \cdot 11 \cdot 1 = 81 - 44 = 37$
Корни уравнения:
$x_1 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{9 - \sqrt{37}}{2 \cdot 11} = \frac{9 - \sqrt{37}}{22}$
$x_2 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{9 + \sqrt{37}}{2 \cdot 11} = \frac{9 + \sqrt{37}}{22}$
Графиком функции $y = 11x^2 - 9x + 1$ является парабола с ветвями, направленными вверх ($a=11 > 0$).
Неравенство $11x^2 - 9x + 1 > 0$ выполняется, когда $x$ находится вне интервала между корнями.
Ответ: $x \in (-\infty; \frac{9 - \sqrt{37}}{22}) \cup (\frac{9 + \sqrt{37}}{22}; +\infty)$.

313. Решите неравенство:

а) $2x(3x - 1) > 4x^2 + 5x + 9;$

б) $(5x + 7)(x - 2) < 21x^2 - 11x - 13.$

а) $2x(3x - 1) > 4x^2 + 5x + 9$

Сначала раскроем скобки в левой части неравенства:

$6x^2 - 2x > 4x^2 + 5x + 9$

Теперь перенесем все члены в левую часть и приведем подобные слагаемые, чтобы получить стандартное квадратное неравенство:

$6x^2 - 4x^2 - 2x - 5x - 9 > 0$

$2x^2 - 7x - 9 > 0$

Для решения этого неравенства найдем корни соответствующего квадратного уравнения $2x^2 - 7x - 9 = 0$.

Вычислим дискриминант $D$ по формуле $D = b^2 - 4ac$:

$D = (-7)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-9) = 49 + 72 = 121$

Поскольку $D > 0$, уравнение имеет два различных действительных корня. Найдем их по формуле $x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:

$x_1 = \frac{-(-7) - \sqrt{121}}{2 \cdot 2} = \frac{7 - 11}{4} = \frac{-4}{4} = -1$

$x_2 = \frac{-(-7) + \sqrt{121}}{2 \cdot 2} = \frac{7 + 11}{4} = \frac{18}{4} = 4,5$

Мы решаем неравенство $2x^2 - 7x - 9 > 0$. Графиком функции $y = 2x^2 - 7x - 9$ является парабола, ветви которой направлены вверх, так как коэффициент при $x^2$ положителен ($a=2 > 0$). Парабола пересекает ось абсцисс в точках $x = -1$ и $x = 4,5$.

Функция принимает положительные значения на интервалах, где ее график расположен выше оси абсцисс, то есть слева от меньшего корня и справа от большего корня.

Таким образом, решение неравенства: $x < -1$ или $x > 4,5$.

Ответ: $x \in (-\infty; -1) \cup (4,5; +\infty)$.

б) $(5x + 7)(x - 2) < 21x^2 - 11x - 13$

Сначала раскроем скобки в левой части неравенства:

$5x^2 - 10x + 7x - 14 < 21x^2 - 11x - 13$

$5x^2 - 3x - 14 < 21x^2 - 11x - 13$

Перенесем все члены в правую часть, чтобы коэффициент при $x^2$ был положительным, и приведем подобные слагаемые:

$0 < 21x^2 - 5x^2 - 11x + 3x - 13 + 14$

$0 < 16x^2 - 8x + 1$

Это неравенство эквивалентно следующему:

$16x^2 - 8x + 1 > 0$

Обратим внимание, что выражение в левой части является полным квадратом разности:

$16x^2 - 8x + 1 = (4x)^2 - 2 \cdot (4x) \cdot 1 + 1^2 = (4x - 1)^2$

Таким образом, неравенство можно переписать в виде:

$(4x - 1)^2 > 0$

Квадрат любого действительного числа, отличного от нуля, всегда положителен. Выражение $(4x - 1)^2$ равно нулю только в одном случае:

$4x - 1 = 0$

$4x = 1$

$x = \frac{1}{4}$

Во всех остальных случаях $(4x - 1)^2$ будет строго больше нуля. Следовательно, неравенство выполняется для всех действительных чисел $x$, кроме $x = \frac{1}{4}$.

Ответ: $x \in (-\infty; \frac{1}{4}) \cup (\frac{1}{4}; +\infty)$.

314. Найдите область определения функции:

a) $y = \sqrt{12x - 3x^2}$;

б) $y = \frac{1}{\sqrt{2x^2 - 12x + 18}}$.

а)

Область определения функции $y = \sqrt{12x - 3x^2}$ находится из условия, что подкоренное выражение должно быть неотрицательным. Это приводит к неравенству:

$12x - 3x^2 \ge 0$

Для решения этого квадратного неравенства найдем корни соответствующего уравнения $12x - 3x^2 = 0$. Вынесем общий множитель $3x$ за скобки:

$3x(4 - x) = 0$

Корни уравнения: $x_1 = 0$ и $x_2 = 4$.

Графиком функции $f(x) = 12x - 3x^2$ является парабола, ветви которой направлены вниз, так как коэффициент при $x^2$ отрицательный ($-3 < 0$). Следовательно, функция принимает неотрицательные значения на промежутке между корнями, включая сами корни.

Таким образом, решением неравенства является отрезок $[0, 4]$.

Ответ: $x \in [0, 4]$.

б)

Область определения функции $y = \frac{1}{\sqrt{2x^2 - 12x + 18}}$ определяется двумя условиями:

1. Выражение под корнем должно быть неотрицательным: $2x^2 - 12x + 18 \ge 0$.
2. Знаменатель дроби не может быть равен нулю: $\sqrt{2x^2 - 12x + 18} \ne 0$.

Объединяя эти два условия, получаем, что подкоренное выражение в знаменателе должно быть строго положительным:

$2x^2 - 12x + 18 > 0$

Разделим обе части неравенства на 2, чтобы упростить его:

$x^2 - 6x + 9 > 0$

Левая часть неравенства представляет собой формулу полного квадрата разности:

$(x - 3)^2 > 0$

Квадрат любого действительного числа всегда неотрицателен, то есть $(x - 3)^2 \ge 0$. Равенство нулю достигается только при $x - 3 = 0$, то есть при $x = 3$. Во всех остальных случаях $(x - 3)^2$ будет строго больше нуля.

Следовательно, неравенство выполняется для всех действительных чисел $x$, кроме $x = 3$.

Ответ: $x \in (-\infty, 3) \cup (3, \infty)$.

315. (Для работы в парах.) Докажите, что при любом значении переменной верно неравенство:

а) $7x^2 - 10x + 7 > 0;$

б) $-6y^2 + 11y - 10 < 0;$

в) $4x^2 + 12x + 9 \geq 0;$

г) $\frac{1}{4}x^2 - 8x + 64 \geq 0;$

д) $-9y^2 + 6y - 1 \leq 0;$

е) $-5x^2 + 8x - 5 < 0.$

1) Обсудите, при каком условии неравенство $ax^2 + bx + c > 0$, где $a, b, c$ — некоторые числа, верно при любом значении переменной $x$. Укажите аналогичные условия для неравенства $ax^2 + bx + c < 0$.

2) Распределите, кто выполняет задания а), в), д), а кто — задания б), г), е), и выполните их.

3) Проверьте друг у друга, правильно ли выполнено доказательство неравенств, и исправьте ошибки, если они допущены.

1)

Выражение $ax^2 + bx + c$ представляет собой квадратичную функцию, график которой — парабола. Знак этого выражения при любом значении переменной $x$ зависит от двух условий: направления ветвей параболы (определяется знаком коэффициента $a$) и наличия у параболы пересечений с осью абсцисс (определяется знаком дискриминанта $D = b^2 - 4ac$).

Для того чтобы неравенство $ax^2 + bx + c > 0$ было верно при любом значении $x$, необходимо выполнение двух условий:

1. Парабола должна быть полностью расположена выше оси $x$.
2. Для этого ее ветви должны быть направлены вверх, что означает $a > 0$.
3. Парабола не должна иметь точек пересечения с осью $x$, что означает отсутствие действительных корней. Это условие выполняется, когда дискриминант отрицателен: $D < 0$.

Таким образом, условия: $a > 0$ и $D < 0$.

Аналогичные условия для неравенства $ax^2 + bx + c < 0$:

1. Парабола должна быть полностью расположена ниже оси $x$.
2. Для этого ее ветви должны быть направлены вниз, что означает $a < 0$.
3. Парабола не должна иметь точек пересечения с осью $x$, что означает отсутствие действительных корней. Это условие выполняется, когда дискриминант отрицателен: $D < 0$.

Таким образом, условия: $a < 0$ и $D < 0$.

Ответ: Неравенство $ax^2 + bx + c > 0$ верно при любом $x$, если $a > 0$ и $D < 0$. Неравенство $ax^2 + bx + c < 0$ верно при любом $x$, если $a < 0$ и $D < 0$.

а)

Рассмотрим квадратичный трехчлен $7x^2 - 10x + 7$. Графиком соответствующей функции является парабола. Старший коэффициент $a=7$. Так как $a > 0$, ветви параболы направлены вверх. Найдем дискриминант: $D = b^2 - 4ac = (-10)^2 - 4 \cdot 7 \cdot 7 = 100 - 196 = -96$. Поскольку $D < 0$, парабола не имеет точек пересечения с осью $x$. Так как ветви параболы направлены вверх и она не пересекает ось $x$, вся парабола расположена выше оси $x$. Следовательно, выражение $7x^2 - 10x + 7$ положительно при любом значении $x$. Ответ: Неравенство $7x^2 - 10x + 7 > 0$ доказано.

б)

Рассмотрим квадратичный трехчлен $-6y^2 + 11y - 10$. Графиком является парабола. Старший коэффициент $a=-6$. Так как $a < 0$, ветви параболы направлены вниз. Найдем дискриминант: $D = b^2 - 4ac = 11^2 - 4 \cdot (-6) \cdot (-10) = 121 - 240 = -119$. Поскольку $D < 0$, парабола не имеет точек пересечения с осью $y$. Так как ветви параболы направлены вниз и она не пересекает ось $y$, вся парабола расположена ниже оси $y$. Следовательно, выражение $-6y^2 + 11y - 10$ отрицательно при любом значении $y$. Ответ: Неравенство $-6y^2 + 11y - 10 < 0$ доказано.

в)

Рассмотрим выражение $4x^2 + 12x + 9$. Заметим, что это выражение является формулой квадрата суммы: $4x^2 + 12x + 9 = (2x)^2 + 2 \cdot (2x) \cdot 3 + 3^2 = (2x + 3)^2$. Квадрат любого действительного числа является неотрицательной величиной, то есть $(2x + 3)^2 \ge 0$ при любом значении $x$. Ответ: Неравенство $4x^2 + 12x + 9 \ge 0$ доказано.

г)

Рассмотрим выражение $\frac{1}{4}x^2 - 8x + 64$. Это выражение является формулой квадрата разности: $\frac{1}{4}x^2 - 8x + 64 = (\frac{1}{2}x)^2 - 2 \cdot (\frac{1}{2}x) \cdot 8 + 8^2 = (\frac{1}{2}x - 8)^2$. Квадрат любого действительного числа является неотрицательной величиной, то есть $(\frac{1}{2}x - 8)^2 \ge 0$ при любом значении $x$. Ответ: Неравенство $\frac{1}{4}x^2 - 8x + 64 \ge 0$ доказано.

д)

Рассмотрим выражение $-9y^2 + 6y - 1$. Вынесем $-1$ за скобки: $-(9y^2 - 6y + 1)$. Выражение в скобках является формулой квадрата разности: $9y^2 - 6y + 1 = (3y)^2 - 2 \cdot (3y) \cdot 1 + 1^2 = (3y - 1)^2$. Таким образом, исходное выражение равно $-(3y-1)^2$. Поскольку $(3y - 1)^2 \ge 0$ для любого $y$, то выражение $-(3y - 1)^2$ всегда будет неположительным, то есть $-(3y - 1)^2 \le 0$. Ответ: Неравенство $-9y^2 + 6y - 1 \le 0$ доказано.

е)

Рассмотрим квадратичный трехчлен $-5x^2 + 8x - 5$. Графиком является парабола. Старший коэффициент $a=-5$. Так как $a < 0$, ветви параболы направлены вниз. Найдем дискриминант: $D = b^2 - 4ac = 8^2 - 4 \cdot (-5) \cdot (-5) = 64 - 100 = -36$. Поскольку $D < 0$, парабола не имеет точек пересечения с осью $x$. Так как ветви параболы направлены вниз и она не пересекает ось $x$, вся парабола расположена ниже оси $x$. Следовательно, выражение $-5x^2 + 8x - 5$ отрицательно при любом значении $x$. Ответ: Неравенство $-5x^2 + 8x - 5 < 0$ доказано.

316. Приведите контрпример для утверждения:

а) при любом значении y выражение $(5 - y)(1 - y) + 4$ принимает положительное значение;

б) при любом значении y выражение $(5 - y)(1 - y) + 1$ принимает положительное значение.

а) Чтобы опровергнуть утверждение, необходимо найти такое значение переменной $y$, при котором выражение $(5 - y)(1 - y) + 4$ будет неположительным (то есть равным нулю или отрицательным).
Для этого преобразуем данное выражение, раскрыв скобки:
$(5 - y)(1 - y) + 4 = 5 \cdot 1 - 5 \cdot y - y \cdot 1 + y \cdot y + 4 = 5 - 5y - y + y^2 + 4 = y^2 - 6y + 9$.
Мы получили квадратный трехчлен, который является полным квадратом разности:
$y^2 - 6y + 9 = (y - 3)^2$.
Утверждается, что выражение $(y - 3)^2$ всегда принимает положительное значение. Однако, квадрат любого действительного числа всегда неотрицателен (больше или равен нулю). Значение выражения будет равно нулю, если основание степени равно нулю.
Найдем такое значение $y$:
$y - 3 = 0$
$y = 3$
При $y = 3$ значение выражения равно $(3 - 3)^2 = 0^2 = 0$. Число 0 не является положительным, следовательно, мы нашли контрпример, который опровергает исходное утверждение.
Проверим, подставив $y = 3$ в исходное выражение:
$(5 - 3)(1 - 3) + 4 = 2 \cdot (-2) + 4 = -4 + 4 = 0$.
Ответ: например, при $y = 3$ значение выражения равно 0, что не является положительным значением.

б) Чтобы опровергнуть утверждение, необходимо найти такое значение переменной $y$, при котором выражение $(5 - y)(1 - y) + 1$ будет неположительным.
Преобразуем данное выражение:
$(5 - y)(1 - y) + 1 = (5 - 5y - y + y^2) + 1 = y^2 - 6y + 5 + 1 = y^2 - 6y + 6$.
Рассмотрим полученную квадратичную функцию $f(y) = y^2 - 6y + 6$. Графиком этой функции является парабола, ветви которой направлены вверх. Свое наименьшее значение функция принимает в вершине параболы.
Найдем абсциссу вершины параболы по формуле $y_0 = -\frac{b}{2a}$:
$y_0 = -\frac{-6}{2 \cdot 1} = 3$.
Теперь найдем значение выражения при $y = 3$, чтобы определить его минимальное значение:
$f(3) = 3^2 - 6 \cdot 3 + 6 = 9 - 18 + 6 = -3$.
Поскольку минимальное значение выражения равно $-3$, что является отрицательным числом, исходное утверждение неверно. Значение $y = 3$ является контрпримером.
Проверим, подставив $y = 3$ в исходное выражение:
$(5 - 3)(1 - 3) + 1 = 2 \cdot (-2) + 1 = -4 + 1 = -3$.
Ответ: например, при $y = 3$ значение выражения равно $-3$, что не является положительным значением.

317. Докажите, что:

a) $x^2 + 7x + 1 > -x^2 + 10x - 1$ при любом $x$;

б) $-2x^2 + 10x < 18 - 2x$ при $x \neq 3$.

а) Докажем неравенство $x^2 + 7x + 1 > -x^2 + 10x - 1$ при любом $x$.

Для доказательства перенесем все члены неравенства в левую часть:

$x^2 + 7x + 1 - (-x^2 + 10x - 1) > 0$

Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:

$x^2 + 7x + 1 + x^2 - 10x + 1 > 0$

$2x^2 - 3x + 2 > 0$

Теперь нам нужно доказать, что квадратный трехчлен $2x^2 - 3x + 2$ всегда принимает положительные значения. Рассмотрим соответствующую квадратичную функцию $y = 2x^2 - 3x + 2$. Ее график — парабола, ветви которой направлены вверх, так как коэффициент при $x^2$ положителен ($a=2 > 0$).

Найдем дискриминант $D$ этого квадратного трехчлена:

$D = b^2 - 4ac = (-3)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 2 = 9 - 16 = -7$

Поскольку дискриминант отрицателен ($D < 0$), квадратное уравнение $2x^2 - 3x + 2 = 0$ не имеет действительных корней. Это означает, что график функции (парабола) не пересекает и не касается оси абсцисс (оси $Ox$).

Так как ветви параболы направлены вверх и она не имеет точек пересечения с осью $Ox$, вся парабола находится выше этой оси. Следовательно, значение выражения $2x^2 - 3x + 2$ всегда положительно для любого действительного значения $x$.

Таким образом, исходное неравенство доказано.

Ответ: Доказано.

б) Докажем неравенство $-2x^2 + 10x < 18 - 2x$ при $x \neq 3$.

Перенесем все члены из левой части в правую, чтобы получить квадратичное неравенство со знаком «больше»:

$0 < 18 - 2x - (-2x^2 + 10x)$

Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:

$0 < 18 - 2x + 2x^2 - 10x$

$0 < 2x^2 - 12x + 18$

Или, в более привычном виде:

$2x^2 - 12x + 18 > 0$

Разделим обе части неравенства на 2. Так как 2 — положительное число, знак неравенства не изменится:

$x^2 - 6x + 9 > 0$

Выражение в левой части является формулой квадрата разности:

$x^2 - 2 \cdot x \cdot 3 + 3^2 = (x - 3)^2$

Неравенство принимает вид:

$(x - 3)^2 > 0$

Квадрат любого действительного числа является неотрицательным, то есть $(x - 3)^2 \geq 0$ для всех $x$. Равенство нулю достигается только в одном случае: когда основание степени равно нулю, то есть $x - 3 = 0$, что означает $x = 3$.

По условию задачи, мы рассматриваем все значения $x$, кроме $x=3$ ($x \neq 3$). При этом условии $x - 3 \neq 0$, и, следовательно, квадрат этого выражения $(x - 3)^2$ всегда будет строго положительным числом.

Таким образом, неравенство $(x - 3)^2 > 0$ верно для всех $x \neq 3$, что и требовалось доказать.

Ответ: Доказано.