Номер 305, страница 90 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

305. Найдите множество решений неравенства:

a) $2x^2 + 3x - 5 \ge 0;$

б) $-6x^2 + 6x + 36 \ge 0;$

в) $-x^2 + 5 \le 0.$

a) Чтобы решить квадратное неравенство $2x^2 + 3x - 5 \ge 0$, сначала найдем корни соответствующего квадратного уравнения $2x^2 + 3x - 5 = 0$.
Для этого вычислим дискриминант $D$:
$D = b^2 - 4ac = 3^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-5) = 9 + 40 = 49 = 7^2$.
Так как $D > 0$, уравнение имеет два действительных корня:
$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-3 + 7}{2 \cdot 2} = \frac{4}{4} = 1$.
$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-3 - 7}{2 \cdot 2} = \frac{-10}{4} = -2.5$.
Теперь рассмотрим функцию $y = 2x^2 + 3x - 5$. Это парабола, ветви которой направлены вверх, так как коэффициент при $x^2$ (равный 2) положителен. Парабола пересекает ось абсцисс в точках $x = -2.5$ и $x = 1$.
Неравенство $2x^2 + 3x - 5 \ge 0$ выполняется там, где график функции находится выше или на оси абсцисс. Для параболы с ветвями вверх это происходит на промежутках левее меньшего корня и правее большего корня, включая сами корни.
Следовательно, множество решений неравенства — это объединение двух лучей.
Ответ: $x \in (-\infty; -2.5] \cup [1; +\infty)$.

б) Рассмотрим неравенство $-6x^2 + 6x + 36 \ge 0$.
Для удобства разделим обе части неравенства на $-6$. При делении на отрицательное число знак неравенства меняется на противоположный:
$x^2 - x - 6 \le 0$.
Найдем корни уравнения $x^2 - x - 6 = 0$.
Вычислим дискриминант $D$:
$D = b^2 - 4ac = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-6) = 1 + 24 = 25 = 5^2$.
Корни уравнения:
$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{1 + 5}{2 \cdot 1} = \frac{6}{2} = 3$.
$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{1 - 5}{2 \cdot 1} = \frac{-4}{2} = -2$.
Функция $y = x^2 - x - 6$ представляет собой параболу с ветвями, направленными вверх (коэффициент при $x^2$ равен 1, что больше нуля). Она пересекает ось $x$ в точках $-2$ и $3$.
Нам нужно найти, где $x^2 - x - 6 \le 0$, то есть где график параболы находится ниже или на оси абсцисс. Это происходит на отрезке между корнями, включая сами корни.
Ответ: $x \in [-2; 3]$.

в) Решим неравенство $-x^2 + 5 \le 0$.
Умножим обе части неравенства на $-1$, изменив знак на противоположный:
$x^2 - 5 \ge 0$.
Найдем корни уравнения $x^2 - 5 = 0$:
$x^2 = 5$.
$x_1 = \sqrt{5}$, $x_2 = -\sqrt{5}$.
Рассмотрим функцию $y = x^2 - 5$. Это парабола, ветви которой направлены вверх, так как коэффициент при $x^2$ (равный 1) положителен. Парабола пересекает ось $x$ в точках $-\sqrt{5}$ и $\sqrt{5}$.
Неравенство $x^2 - 5 \ge 0$ выполняется там, где график функции находится выше или на оси абсцисс. Для параболы с ветвями вверх это интервалы слева от меньшего корня и справа от большего корня.
Таким образом, решение неравенства — это объединение двух лучей.
Ответ: $x \in (-\infty; -\sqrt{5}] \cup [\sqrt{5}; +\infty)$.