Номер 300, страница 86 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

300. Решите уравнение:

a) $x^2 + \frac{1}{x^2} - \frac{1}{2}\left(x - \frac{1}{x}\right) = 3\frac{1}{2}$;

б) $x^2 + \frac{1}{x^2} - \frac{1}{3}\left(x + \frac{1}{x}\right) = 8.$

a) $x^2 + \frac{1}{x^2} - \frac{1}{2}(x - \frac{1}{x}) = 3\frac{1}{2}$

Данное уравнение является возвратным. Область допустимых значений (ОДЗ) для переменной $x$ - все действительные числа, кроме $x=0$.

Перепишем уравнение, представив смешанное число в виде неправильной дроби: $3\frac{1}{2} = \frac{7}{2}$.

$x^2 + \frac{1}{x^2} - \frac{1}{2}(x - \frac{1}{x}) = \frac{7}{2}$

Введем новую переменную. Пусть $y = x - \frac{1}{x}$.

Возведем обе части этого равенства в квадрат, чтобы выразить через $y$ выражение $x^2 + \frac{1}{x^2}$:

$y^2 = (x - \frac{1}{x})^2 = x^2 - 2 \cdot x \cdot \frac{1}{x} + (\frac{1}{x})^2 = x^2 - 2 + \frac{1}{x^2}$.

Отсюда получаем: $x^2 + \frac{1}{x^2} = y^2 + 2$.

Подставим выражения для $y$ и $y^2+2$ в исходное уравнение:

$(y^2 + 2) - \frac{1}{2}y = \frac{7}{2}$

Решим полученное квадратное уравнение относительно $y$:

$y^2 - \frac{1}{2}y + 2 - \frac{7}{2} = 0$

$y^2 - \frac{1}{2}y - \frac{3}{2} = 0$

Умножим обе части уравнения на 2, чтобы избавиться от знаменателей:

$2y^2 - y - 3 = 0$

Найдем корни с помощью дискриминанта: $D = b^2 - 4ac = (-1)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-3) = 1 + 24 = 25$.

$y_1 = \frac{1 + \sqrt{25}}{2 \cdot 2} = \frac{1 + 5}{4} = \frac{6}{4} = \frac{3}{2}$

$y_2 = \frac{1 - \sqrt{25}}{2 \cdot 2} = \frac{1 - 5}{4} = \frac{-4}{4} = -1$

Теперь выполним обратную замену для каждого найденного значения $y$.

1. Если $y = \frac{3}{2}$, то $x - \frac{1}{x} = \frac{3}{2}$.

Умножим на $2x$ (так как $x \neq 0$):

$2x^2 - 2 = 3x$

$2x^2 - 3x - 2 = 0$

$D = (-3)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-2) = 9 + 16 = 25$.

$x_1 = \frac{3 + 5}{4} = \frac{8}{4} = 2$

$x_2 = \frac{3 - 5}{4} = \frac{-2}{4} = -\frac{1}{2}$

2. Если $y = -1$, то $x - \frac{1}{x} = -1$.

Умножим на $x$:

$x^2 - 1 = -x$

$x^2 + x - 1 = 0$

$D = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-1) = 1 + 4 = 5$.

$x_3 = \frac{-1 + \sqrt{5}}{2}$

$x_4 = \frac{-1 - \sqrt{5}}{2}$

Все четыре корня входят в ОДЗ.

Ответ: $2; -\frac{1}{2}; \frac{-1 + \sqrt{5}}{2}; \frac{-1 - \sqrt{5}}{2}$.

б) $x^2 + \frac{1}{x^2} - \frac{1}{3}(x + \frac{1}{x}) = 8$

ОДЗ: $x \neq 0$. Это уравнение также является возвратным.

Сделаем замену переменной. Пусть $z = x + \frac{1}{x}$.

Возведем в квадрат обе части равенства:

$z^2 = (x + \frac{1}{x})^2 = x^2 + 2 \cdot x \cdot \frac{1}{x} + \frac{1}{x^2} = x^2 + 2 + \frac{1}{x^2}$.

Выразим отсюда $x^2 + \frac{1}{x^2} = z^2 - 2$.

Подставим полученные выражения в исходное уравнение:

$(z^2 - 2) - \frac{1}{3}z = 8$

Решим это квадратное уравнение относительно $z$:

$z^2 - \frac{1}{3}z - 2 - 8 = 0$

$z^2 - \frac{1}{3}z - 10 = 0$

Умножим на 3, чтобы избавиться от дроби:

$3z^2 - z - 30 = 0$

Найдем корни через дискриминант: $D = b^2 - 4ac = (-1)^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-30) = 1 + 360 = 361 = 19^2$.

$z_1 = \frac{1 + 19}{2 \cdot 3} = \frac{20}{6} = \frac{10}{3}$

$z_2 = \frac{1 - 19}{2 \cdot 3} = \frac{-18}{6} = -3$

Теперь выполним обратную замену для $x$.

1. Если $z = \frac{10}{3}$, то $x + \frac{1}{x} = \frac{10}{3}$.

Умножим на $3x$ (где $x \neq 0$):

$3x^2 + 3 = 10x$

$3x^2 - 10x + 3 = 0$

$D = (-10)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 3 = 100 - 36 = 64 = 8^2$.

$x_1 = \frac{10 + 8}{6} = \frac{18}{6} = 3$

$x_2 = \frac{10 - 8}{6} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$

2. Если $z = -3$, то $x + \frac{1}{x} = -3$.

Умножим на $x$:

$x^2 + 1 = -3x$

$x^2 + 3x + 1 = 0$

$D = 3^2 - 4 \cdot 1 \cdot 1 = 9 - 4 = 5$.

$x_3 = \frac{-3 + \sqrt{5}}{2}$

$x_4 = \frac{-3 - \sqrt{5}}{2}$

Все четыре корня удовлетворяют ОДЗ.

Ответ: $3; \frac{1}{3}; \frac{-3 + \sqrt{5}}{2}; \frac{-3 - \sqrt{5}}{2}$.