Номер 294, страница 85 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

294. (Для работы в парах.) Решите уравнение:

а) $\frac{1}{x - 4} + \frac{1}{x - 2} = \frac{1}{x + 4} + \frac{1}{x - 5};$

б) $\frac{1}{x + 1} + \frac{1}{x + 3} = \frac{1}{x + 28} + \frac{1}{x}.$

1) Обсудите, в каком виде удобно представить уравнение в каждом случае, и выполните соответствующие преобразования.

2) Распределите, кто выполняет задание а), а кто — задание б), и выполните их.

3) Проверьте друг у друга, правильно ли найдены корни уравнения, и исправьте ошибки, если они допущены.

а)
Исходное уравнение: $ \frac{1}{x-4} + \frac{1}{x-2} = \frac{1}{x+4} + \frac{1}{x-5} $.

Область допустимых значений (ОДЗ): знаменатели не должны быть равны нулю, поэтому $x \neq 4$, $x \neq 2$, $x \neq -4$, $x \neq 5$.

Для решения подобных уравнений удобнее не приводить сразу все дроби к общему знаменателю, а предварительно сгруппировать их. Перенесем дроби из одной части уравнения в другую так, чтобы упростить последующие преобразования. Наиболее удобная группировка здесь — собрать вместе дроби со знаменателями $x-4$ и $x+4$, так как их произведение является разностью квадратов.

$ \frac{1}{x-4} - \frac{1}{x+4} = \frac{1}{x-5} - \frac{1}{x-2} $

Теперь приведем к общему знаменателю дроби в левой и правой частях уравнения по отдельности.

Левая часть: $ \frac{(x+4) - (x-4)}{(x-4)(x+4)} = \frac{x+4-x+4}{x^2 - 16} = \frac{8}{x^2 - 16} $.

Правая часть: $ \frac{(x-2) - (x-5)}{(x-5)(x-2)} = \frac{x-2-x+5}{x^2 - 2x - 5x + 10} = \frac{3}{x^2 - 7x + 10} $.

В результате преобразований получаем более простое уравнение:

$ \frac{8}{x^2 - 16} = \frac{3}{x^2 - 7x + 10} $

Используем основное свойство пропорции (перекрестное умножение), так как $x$ не может принимать значения, при которых знаменатели обращаются в ноль (это учтено в ОДЗ):

$ 8(x^2 - 7x + 10) = 3(x^2 - 16) $

$ 8x^2 - 56x + 80 = 3x^2 - 48 $

Перенесем все слагаемые в левую часть и приведем подобные:

$ 8x^2 - 3x^2 - 56x + 80 + 48 = 0 $

$ 5x^2 - 56x + 128 = 0 $

Решим полученное квадратное уравнение. Найдем дискриминант:

$ D = b^2 - 4ac = (-56)^2 - 4 \cdot 5 \cdot 128 = 3136 - 2560 = 576 $

$ \sqrt{D} = \sqrt{576} = 24 $

Найдем корни уравнения:

$ x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{56 + 24}{2 \cdot 5} = \frac{80}{10} = 8 $

$ x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{56 - 24}{2 \cdot 5} = \frac{32}{10} = 3,2 $

Проверяем, удовлетворяют ли найденные корни ОДЗ ($x \neq 4, x \neq 2, x \neq -4, x \neq 5$). Оба корня $8$ и $3,2$ принадлежат области допустимых значений.

Ответ: 8; 3,2.

б)
Исходное уравнение: $ \frac{1}{x+1} + \frac{1}{x+3} = \frac{1}{x+28} + \frac{1}{x} $.

Область допустимых значений (ОДЗ): $x \neq -1$, $x \neq -3$, $x \neq -28$, $x \neq 0$.

Как и в предыдущем задании, применим метод группировки слагаемых для упрощения решения. Перенесем дроби таким образом, чтобы облегчить приведение к общему знаменателю.

$ \frac{1}{x+1} - \frac{1}{x} = \frac{1}{x+28} - \frac{1}{x+3} $

Приведем к общему знаменателю левую и правую части по отдельности.

Левая часть: $ \frac{x - (x+1)}{x(x+1)} = \frac{x-x-1}{x^2+x} = \frac{-1}{x^2+x} $.

Правая часть: $ \frac{(x+3) - (x+28)}{(x+28)(x+3)} = \frac{x+3-x-28}{x^2+3x+28x+84} = \frac{-25}{x^2+31x+84} $.

Получаем уравнение:

$ \frac{-1}{x^2+x} = \frac{-25}{x^2+31x+84} $

Умножим обе части уравнения на $-1$:

$ \frac{1}{x^2+x} = \frac{25}{x^2+31x+84} $

Применим перекрестное умножение:

$ 1 \cdot (x^2+31x+84) = 25 \cdot (x^2+x) $

$ x^2+31x+84 = 25x^2+25x $

Перенесем все слагаемые в правую часть и приведем подобные:

$ 25x^2 - x^2 + 25x - 31x - 84 = 0 $

$ 24x^2 - 6x - 84 = 0 $

Для упрощения вычислений разделим все члены уравнения на их общий делитель 6:

$ 4x^2 - x - 14 = 0 $

Решим полученное квадратное уравнение через дискриминант:

$ D = b^2 - 4ac = (-1)^2 - 4 \cdot 4 \cdot (-14) = 1 + 224 = 225 $

$ \sqrt{D} = \sqrt{225} = 15 $

Найдем корни:

$ x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{1 + 15}{2 \cdot 4} = \frac{16}{8} = 2 $

$ x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{1 - 15}{2 \cdot 4} = \frac{-14}{8} = -\frac{7}{4} = -1,75 $

Проверяем корни по ОДЗ ($x \neq -1, x \neq -3, x \neq -28, x \neq 0$). Оба корня $2$ и $-1,75$ удовлетворяют этому условию.

Ответ: 2; -1,75.