Номер 198, страница 67 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

198. Напишите формулу, выражающую зависимость между переменными $u$ и $v$, если:

а) $u = t^{\frac{2}{3}} + 1, v = t^{-\frac{2}{3}} + 1;$

б) $u = (t + 2)^{\frac{1}{4}}, v = (2 - t)^{\frac{1}{4}}.$

а)

Даны параметрические уравнения: $u = t^{\frac{2}{3}} + 1$ и $v = t^{-\frac{2}{3}} + 1$.

Цель состоит в том, чтобы исключить параметр $t$ и найти формулу, связывающую $u$ и $v$.

Из первого уравнения выразим член, содержащий $t$:

$t^{\frac{2}{3}} = u - 1$

Аналогично, из второго уравнения выразим член, содержащий $t$:

$t^{-\frac{2}{3}} = v - 1$

Используем свойство степеней $x^{-a} = \frac{1}{x^a}$. В нашем случае это означает, что $t^{-\frac{2}{3}} = \frac{1}{t^{\frac{2}{3}}}$.

Теперь мы можем подставить выражения для $t^{\frac{2}{3}}$ и $t^{-\frac{2}{3}}$, которые мы получили ранее:

$v - 1 = \frac{1}{u - 1}$

Для того чтобы избавиться от дроби, умножим обе части на $(u - 1)$. Заметим, что $t^{\frac{2}{3}} = (t^{1/3})^2$ всегда неотрицательно. Для существования $v$, $t$ не может быть равно нулю, поэтому $t^{\frac{2}{3}} > 0$. Следовательно, $u = t^{\frac{2}{3}} + 1 > 1$, что означает $u - 1 \neq 0$.

В результате умножения получаем искомую зависимость:

$(u - 1)(v - 1) = 1$

Это уравнение можно также раскрыть и упростить:

$uv - u - v + 1 = 1$

$uv - u - v = 0$

$uv = u + v$

Оба варианта являются верными.

Ответ: $(u - 1)(v - 1) = 1$ (или $uv = u + v$).

б)

Даны параметрические уравнения: $u = (t + 2)^{\frac{1}{4}}$ и $v = (2 - t)^{\frac{1}{4}}$.

Чтобы исключить параметр $t$, возведем оба уравнения в четвертую степень.

Для первого уравнения:

$u^4 = \left((t + 2)^{\frac{1}{4}}\right)^4$

$u^4 = t + 2$

Для второго уравнения:

$v^4 = \left((2 - t)^{\frac{1}{4}}\right)^4$

$v^4 = 2 - t$

Теперь у нас есть система из двух простых уравнений относительно $t$:

$\begin{cases} u^4 = t + 2 \\ v^4 = 2 - t \end{cases}$

Чтобы исключить $t$, проще всего сложить эти два уравнения:

$u^4 + v^4 = (t + 2) + (2 - t)$

$u^4 + v^4 = t + 2 + 2 - t$

$u^4 + v^4 = 4$

Это и есть искомая формула, выражающая зависимость между $u$ и $v$. Следует отметить, что поскольку $u$ и $v$ являются результатами извлечения корня четной степени, их значения должны быть неотрицательными ($u \ge 0$, $v \ge 0$).

Ответ: $u^4 + v^4 = 4$.