Номер 199, страница 68 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

199. Докажите, что если $b = \frac{4a}{5}$ и $a > 0$, то верно равенство

$\frac{(a + b)^{\frac{1}{2}} + (a - b)^{\frac{1}{2}}}{(a + b)^{\frac{1}{2}} - (a - b)^{\frac{1}{2}}} = 2.$

Для доказательства данного равенства необходимо преобразовать его левую часть, подставив в нее заданное соотношение $b = \frac{4a}{5}$ при условии $a > 0$.

Сначала убедимся, что выражения под знаком степени $\frac{1}{2}$ (квадратного корня) являются неотрицательными, что необходимо для существования действительных значений выражения.
Найдем $a+b$:
$a + b = a + \frac{4a}{5} = \frac{5a + 4a}{5} = \frac{9a}{5}$
Найдем $a-b$:
$a - b = a - \frac{4a}{5} = \frac{5a - 4a}{5} = \frac{a}{5}$
Поскольку по условию $a > 0$, то оба выражения, $\frac{9a}{5}$ и $\frac{a}{5}$, являются положительными. Это означает, что все корни в выражении определены.

Теперь подставим полученные выражения в левую часть исходного равенства. Учтем, что $x^{\frac{1}{2}}$ это то же самое, что и $\sqrt{x}$.
$ \frac{(a+b)^{\frac{1}{2}} + (a-b)^{\frac{1}{2}}}{(a+b)^{\frac{1}{2}} - (a-b)^{\frac{1}{2}}} = \frac{(\frac{9a}{5})^{\frac{1}{2}} + (\frac{a}{5})^{\frac{1}{2}}}{(\frac{9a}{5})^{\frac{1}{2}} - (\frac{a}{5})^{\frac{1}{2}}} = \frac{\sqrt{\frac{9a}{5}} + \sqrt{\frac{a}{5}}}{\sqrt{\frac{9a}{5}} - \sqrt{\frac{a}{5}}} $

Упростим выражение $\sqrt{\frac{9a}{5}}$, используя свойство корней $\sqrt{xy} = \sqrt{x}\sqrt{y}$:
$\sqrt{\frac{9a}{5}} = \sqrt{9 \cdot \frac{a}{5}} = \sqrt{9} \cdot \sqrt{\frac{a}{5}} = 3\sqrt{\frac{a}{5}}$

Подставим это обратно в дробь:
$ \frac{3\sqrt{\frac{a}{5}} + \sqrt{\frac{a}{5}}}{3\sqrt{\frac{a}{5}} - \sqrt{\frac{a}{5}}} $

Вынесем общий множитель $\sqrt{\frac{a}{5}}$ за скобки в числителе и знаменателе:
$ \frac{\sqrt{\frac{a}{5}}(3 + 1)}{\sqrt{\frac{a}{5}}(3 - 1)} $

Поскольку $a > 0$, то $\sqrt{\frac{a}{5}} \neq 0$, и мы можем сократить дробь на этот множитель:
$ \frac{3 + 1}{3 - 1} = \frac{4}{2} = 2 $

В результате преобразований левая часть равенства оказалась равной 2, что соответствует правой части. Таким образом, исходное равенство верно.

Ответ: Равенство доказано.