Номер 196, страница 67 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

196. Представьте:

a) в виде квадрата $(x > 0)$: $x^6$, $x^5$, $x^{-8}$, $x^{-1}$, $x$, $x^{\frac{1}{3}};

б) в виде куба $(y > 0)$: $y^6$, $y^7$, $y$, $y^{\frac{1}{2}}$, $y^{-1.5}$, $y^{0.2}$, $y^{-\frac{2}{9}}.

а) Чтобы представить выражение в виде квадрата, необходимо найти такое основание, которое при возведении в квадрат даст исходное выражение. Для степенного выражения $x^k$ (где $x > 0$) это будет $(x^{\frac{k}{2}})^2$, так как по свойству степеней $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$. Применим это правило для каждого выражения.

$x^6 = (x^{\frac{6}{2}})^2 = (x^3)^2$

$x^5 = (x^{\frac{5}{2}})^2$

$x^{-8} = (x^{\frac{-8}{2}})^2 = (x^{-4})^2$

$x^{-1} = (x^{\frac{-1}{2}})^2$

$x = x^1 = (x^{\frac{1}{2}})^2$

$x^{\frac{1}{3}} = (x^{\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2}})^2 = (x^{\frac{1}{6}})^2$

Ответ: $(x^3)^2$; $(x^{\frac{5}{2}})^2$; $(x^{-4})^2$; $(x^{-\frac{1}{2}})^2$; $(x^{\frac{1}{2}})^2$; $(x^{\frac{1}{6}})^2$.

б) Аналогично, чтобы представить выражение в виде куба, необходимо найти такое основание, которое при возведении в куб даст исходное выражение. Для степенного выражения $y^k$ (где $y > 0$) это будет $(y^{\frac{k}{3}})^3$. Применим это правило для каждого выражения.

$y^6 = (y^{\frac{6}{3}})^3 = (y^2)^3$

$y^7 = (y^{\frac{7}{3}})^3$

$y = y^1 = (y^{\frac{1}{3}})^3$

$y^{\frac{1}{2}} = (y^{\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{3}})^3 = (y^{\frac{1}{6}})^3$

$y^{-1,5} = (y^{\frac{-1,5}{3}})^3 = (y^{-0,5})^3 = (y^{-\frac{1}{2}})^3$

$y^{0,2} = y^{\frac{1}{5}} = (y^{\frac{1}{5} \cdot \frac{1}{3}})^3 = (y^{\frac{1}{15}})^3$

$y^{-\frac{2}{9}} = (y^{-\frac{2}{9} \cdot \frac{1}{3}})^3 = (y^{-\frac{2}{27}})^3$

Ответ: $(y^2)^3$; $(y^{\frac{7}{3}})^3$; $(y^{\frac{1}{3}})^3$; $(y^{\frac{1}{6}})^3$; $(y^{-\frac{1}{2}})^3$; $(y^{\frac{1}{15}})^3$; $(y^{-\frac{2}{27}})^3$.